精品解析：上海市南洋模范初级中学2026-2027学年九年级上学期 数学9月作业反馈

南洋模范初级中学九年级第一学期9月作业反馈 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：A． 3. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ ． 4. 二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置判断的符号，与轴的交点个数判断判别式的符号. 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，与轴有2个交点， ∴，，，， 故选项B不正确，符合题意. 5. 二次函数的最大值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据题意可知二次函数开口向下，最大值在顶点处取得． 【详解】解：∵ ∴顶点横坐标 代入得 ∴最大值为 1． 故选：C． 6. 如图，已知，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线之间分线段成比例的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 直接利用平行线之间分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的结构确定顶点坐标． 【详解】解：对于二次函数的顶点式，其顶点坐标为， 抛物线解析式为，对应可得，， 因此抛物线的顶点坐标为． 8. 抛物线的对称轴是________________． 【答案】直线 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式的特征直接求对称轴． 【详解】解：二次函数顶点式（）的对称轴为直线， 故抛物线的对称轴为直线． 9. 当________________时，二次函数有最____________值0． 【答案】 ①. ②. 大 【解析】 【分析】已知二次函数为顶点式，根据二次项系数判断开口方向，即可得到最值对应的横坐标和最值类型． 【详解】解：二次函数是顶点式，顶点坐标为，二次项系数为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴二次函数在顶点处取得最大值，即当时，二次函数有最大值． 10. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的开口方向和形状大小由二次项系数决定，由此可得的二次项系数，结合已知顶点坐标即可求出表达式． 【详解】解：∵抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ∴的二次项系数为， ∵的顶点坐标为， ∴将，顶点坐标代入抛物线顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），得 的表达式为． 11. 若点均在二次函数的图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 由题意可知抛物线的对称轴是、开口方向向下等知识点，再利用二次函数的性质，点在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴是，抛物线的开口向下， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是； ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大； ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 13. 若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴可知的关系式，进而即可求解 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ∴对称轴为直线， 即， 解得， 将点代入二次函数 得， ． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式为，则小球的最大高度为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h． 【详解】解：， ∵，函数有最大值， 当时，小球运动中的最大高度为20． 故答案为：20． 15. 如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 17. 如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 【答案】25 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出线段比相等，结合三角形面积公式，将线段比转化为面积比，建立方程求解中间三角形面积，进而求得的面积． 【详解】解：设的面积为， 与等高， ，即， 与等高， ，即， ， ， ， 整理 得， 解得，（舍去）， ， ． 18. 如图，二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中正确的结论为______（填序号）． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数图象，依次判断、、，可判断①；根据抛物线的对称性与过点，可得抛物线与x轴的另一个交点为，可判断②；根据图象，可知是有最大值，但不一定是，可判断③；由函数与的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为，可知，再根据、推导，可判断⑤；从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由可得， 根据图象，抛物线与直线有交点， ∴有实数根，故④正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即，故⑤正确． 综上所述，正确的为②④⑤． 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，再证明，得到，进而求出，然后证明四边形是平行四边形，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 20. 如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作交于点G，根据平行线分线段成比例可知，由D是边上的中点即可求，进而求解． 【详解】解：过点F作交于点G， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ． 21. 定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点C是线段上一点，，且，则点C是线段的黄金分割点． （1）如图1，若线段，求线段的长．（不能直接使用黄金分割数） （2）如图2，线段，C，D是线段的黄金分割点．（可以使用黄金分割数）用黄金分割的概念证明点D是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2）证明：，是线段的黄金分割点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点D是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割点的定义列一元二次方程求解即可； （2）根据黄金分割数分别求，，的长，根据黄金分割点的定义进行验证即可． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 略 22. 如图，已知在中，中线，交于点，交于点． （1）如果，求和的长． （2）求证：． 【答案】（1）， （2） 证明：， ， 由（1）得， ， 点为重心， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）结合重心的性质、平行线分线段成比例定理推得，将，代入可得，又，即可求得； （2）证明，由相似三角形的性质可得，再由重心性质得到，即可证明． 【小问1详解】 解：中线，交于点， 点为重心， ， ， ， ，， ， ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的知识点是重心的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握重心的性质． 23. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为 （2）当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．掌握二次函数的性质也是关键． （1）根据题意可得，整理出一般式，最后再求出取值范围即可； （2）将（1）所求的二次函数一般式化为顶点式，再根据其性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， 根据题意得：， 整理，得：． ∵每件售价不能高于65元， ∴， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：将化为顶点式为：， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为2560． ∴（元/件）， ∴当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元． 24. 某消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，能建立如图所示的平面直角坐标系进行表示．其中，，为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点．已知点与点的垂直距离与水平距离均为米，水流在与点水平距离为米处达到最高点． （1）求水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点所形成的抛物线解析式，并标出的取值范围； （2）若将水枪喷口从点处沿水平方向向左平移米到点处，其他条件不变，此时水流能否到达点正上方米处的着火点？请说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 根据题意可知，水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状相同，位置不同， 所以可得水枪喷口位于点处水流形成的抛物线的解析式为 ，即． 所以当时，，即水流正好到点处． 因为，． 所以水流不能到达点正上方米处的着火点． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）设抛物线的解析式为，抛物线经过点，，采用待定系数法，即可求得答案； （2）水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点处水流形成的抛物线形状相同，位置不同，所以可得水枪喷口位于点处水流形成的抛物线的解析式为． 【小问1详解】 设抛物线的解析式为． 由题意得抛物线经过点，，可得 解得 所以，水流所在抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8， （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南洋模范初级中学九年级第一学期9月作业反馈 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 3. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的最大值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 如图，已知，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 12 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 抛物线的顶点坐标为______． 8. 抛物线的对称轴是________________． 9. 当________________时，二次函数有最____________值0． 10. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为________________． 11. 若点均在二次函数的图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 12. 已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是； ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大； ④当时，函数的最大值是10． 13. 若二次函数的图象经过点和点，则的值为_______． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式为，则小球的最大高度为______． 15. 如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 16. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 17. 如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 18. 如图，二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中正确的结论为______（填序号）． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，，，，求的长． 20. 如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，求的值． 21. 定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点C是线段上一点，，且，则点C是线段的黄金分割点． （1）如图1，若线段，求线段的长．（不能直接使用黄金分割数） （2）如图2，线段，C，D是线段的黄金分割点．（可以使用黄金分割数）用黄金分割的概念证明点D是线段的黄金分割点． 22. 如图，已知在中，中线，交于点，交于点． （1）如果，求和的长． （2）求证：． 23. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 24. 某消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，能建立如图所示的平面直角坐标系进行表示．其中，，为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点．已知点与点的垂直距离与水平距离均为米，水流在与点水平距离为米处达到最高点． （1）求水枪喷口位于点处时，水流恰好到达处着火点所形成的抛物线解析式，并标出的取值范围； （2）若将水枪喷口从点处沿水平方向向左平移米到点处，其他条件不变，此时水流能否到达点正上方米处的着火点？请说明理由． 25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $