3.2-3.3《探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明》同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习聚焦三角形相似判定，通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，实现从单一判定到复杂几何问题的进阶，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（14题）|三角形相似判定（AA/SAS/SSS）、黄金分割概念|选择填空直接考查判定条件，解答题基础证明（如17题证相似）| |中档（8题）|相似性质应用、平行线分线段成比例|结合实际情境（花架、汉字结构），需多步推理（如22题矩形与相似综合）| |提升（3题）|动态几何、多知识点综合|含探究性问题（如25题平行线分线段应用拓展），培养创新意识|

3.2-3.3《探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明》同步练习 一、选择题 1.如图，已知△ABC,∠B=a,AB=8,BC=I0.将△ABC沿图中的DE剪开，则剪下的阴影 三角形与△ABC不相似的是() A. B. 3 D C p. E 6 Ba 2.已知，如图∠DAB=∠CAE,下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是() B AD DE AD AE A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.AB BC D.AB AC 3.如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定△ABCn△ACD的是()· A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB ACAB C.AC2=AD·AB D.CD BC 4.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长是() D E A.3 B.4 C.6 D.8 5.在△ABC和△DEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，一定能判断△ABC和△DEF相似 的是（) AB AC AB AC A.DE DF B.DE EF C.∠B=∠D D.∠A=∠D 6.已知C是线段MB的黄金分割点(4C>BC) 则BC:AC=( 5-1 5+1 3-V5 3+V5 A.2 B.2 C.2 D.2 7.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端 庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PO上，且AB∥NP BC 5-1 “远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AB2.若NP=2,则AC的长 为( C D A.1 B.2 C.3-5 D.5 8.图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中AB∥CD∥EF, BD 4 已知CE=45cm,DF=5,则AC的长度是（）cm· A⊥B E 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 9.如图，直线aWb∥c,直线m、n与这三条平行线分别交于点小、BC和点DE、F若 MB=3,BC=5,DF=12,则DE的值为（) 9 9 15 A.4 B.4 C. D.2 10.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B: AD AE ②DE∥BC;③AC=AB;④ADBC=DE,AC;⑤∠ADE=∠C,能使得以A,D,E为顶点的 三角形与△ABC相似的条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,点D,点E分别是AC边上两点(D在E的右侧) D=0,B=2,连接5，P为BE中点，若BDF=45°，则1B的长为《) BE B A.12 B.65 C.122 D.15 12.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,过A点作AF⊥BF,垂足为F并延长交BC于点G,D 为AB中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=12,BC=20,则线段EF的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题。 13.如图，在△ABD中，点C在AD边上，只添加一个条件，使得△ABCn△ADB, 14.如图，AB∥CD,AD与BC相交于点E,AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F,G.若 AF AB=10,CD=15,则DG的值为 G 15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4,∠A=∠B=90°.E是AB上的任意一点，连接ED, 将线段ED绕点E顺时针旋转9O°得到线段EF,若EF与边BC始终有公共点，则BC长的最小 值是 16.如图，在△ABC中，∠BAC=180°-4∠B,过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M,取BC的 中点N,过点W作ND⊥BC交AB于点D,且AC:BD=7:3,则下列结论：①∠ACB=3∠B;② CN 3 70w17 AM=MN;③CM4;④若BC的长为3W7，则AB的长为17.其中正确结论的序号为 D 三、解答题。 AF CE 17(10分)·如图，△ABC中，点D在边BC上，DEIl AB,DF∥AC,求证：FBAE· E 18(10分)·如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别为AD,BC的中点，连接BE,DF 分别交AC于点G,H.求证：AG=GH=HC. G 19(10分).如图，已知0为△ABC内一点，D,EF分别是OA,OB,OC的中点. (1)求证：△DEF∽△ABC (2)图中还有哪几对相似三角形？ 20(10分).如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8,DC=4. A E B D C (1)求证：△ABC∽△EDC; (2)求AC与EC的长. 21(10分)，如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形ABCD是平行四边形，且 A,B均为格点，C,D均为竖格线上的点，点E是边D与竖格线的交点， B 图① 图② (I)如图①，在线段BC上取点F,连结EF,使得EF‖AB; (2)如图②，点G是边AB上任意一点，仅用无刻度的直尺在边CD上画出点H,连结GH,使 得GH∥AD 22(12分)·如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF, F,CD交F G 。 于点 (1)求证：四边形AEFD为矩形 (2)若AE=3,EC=2CF,CD⊥AF,求EF的长. 23(12分)·如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC上的点，ED的 延长线与CB的延长线交于点F,且∠I=∠A. A (I)求证：FD2=FB.FC: (2)若FB=4,BC=5,求FD的长. 24(12分).如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D是CA延长线上一点，AD<AC,过点 D作DF1BC于点F交B于点B. B (1)求证：AD=AE; 2若4D=44C,BC-8,求线段BF的长： 4 AD (3)若∠BAC=45°，EF=BC,请直接写出AC的值. 25(12分)·综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用. G 图1 图2 ①)【初步探究】在aBC中，DB分别为BC、AC的动点，若BD=DC,ME=BC,连接 2 D,E交于点G.如图1，若过D作DF∥BE,交4C于P,则CF与E的比值为 AG与MD的比值为 (2)在(1)的条件下，求出BG与GE的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF 与AE、AC分别交于点G、M,若CF=DF,△BEG的面积为3，则ABCD的面积为 参考答案 一、选择题 1.B 解：A、∠B=∠DEC=a,∠ACB=∠DCE,由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与△ABC 相似，不符合题意； AD AE 1 B、ABBC=2,但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与 △ABC 相似，符合题意； BD_8-3_1BE_10-6_1 C、BC=10=2,AB=8-2,且∠ABC=∠EBD,由两边对应成比例及夹角相等，可得出 剪下的阴影三角形与△ABC相似，不符合题意； D、由∠B=∠CDE=a，,∠ACB=∠ECD,可得出△ABC∽△EDC,不符合题意. 2.C 解：，∠DAB=∠CAE, .∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE,即∠DAE=∠BAC, A..∠DAE=∠BAC,∠D=∠B,满足“两角分别相等的两个三角形相似”，.△DAESABAC: B..∠DAE=∠BAC,∠E=∠C，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，.△DAEPABAC; AD DE C.:ABBC的两组对应边，不是∠DAB和∠BAC的夹边，.不能判定两个三角形相似； AD AE D.:ABAC,且夹角∠DAE=∠BAC,满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相 似”，∴△DAEABAC 3.D 解：根据题意可知LBAC=LCAD, 选项A,∠B=∠ACD,有两个角相等的三角形相似，故不符合题意. 选项B,∠ADC=∠ACB,有两个角相等的三角形相似，故不符合题意. AB AC 选项CC,AC=AD:AB可转化成AC=AD,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似， 故C不符合题意. 选项D,两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意. 4.C 解：DE∥BC, AD AE ·DBEC, :AD=9,DB=3,CE=2, 9 AE 32’ ∴.AE=6 5.D 解：如图， A、:AB=AC,DE=DF, AB AC DEDF' 不能判定△ABC和△DEF相似，不符合题意； AB AC B、DE=EF,4AC和EF不是对应边，不能判定AABC和ADEF相似，不符合题意； C、∠B=∠D,∠B和∠D不是对应角，不能判定△ABC和△DEF相似，不符合题意； D、·AB=AC,DE=DF, 、ABAC 'DE DF 又∠A=∠D, ∴ABCADEF ，符合题意. 6.A :点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC, BC AC 5-1 根据黄金分割的定义可得ACAB2, Bc:4C=5-1 2. 7.C 解：四边形NPOM为正方形，AB∥NP, .∠N=∠P=90°， ∴.∠NAB=180°-∠N=90°， ∴.四边形ABPN为矩形， ∴.AB=NP=2 BC5-1 “远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AB2, :BC=5-1A8=5-1x2=5-1 2 2 .AC=AB-BC=2-(N5-=3-5 8.B 解：，AB∥CD∥EF, BD AC :DF CE' BD 4 CE=45cm DF5, 4 AC .545’ .'.AC=36cm. 9.c 解：如图， .DF=12, ∴.EF=DF-DE=I2-DE, aWb∥c, AB DE .BC EF, 3 DE .512-DE, 解得：DE=9 2, 经检验，DE=9 =2是此方程的解， ·DE的值为2 10.D 解：∠AED=∠B,∠A=∠A, ∴.△ADEAACB ,故①符合题意； :DE∥BC ∴.△ADE∽△ABC 故②符合题意； AD AE ③.AC=AB,且夹角∠A=∠A? ∴.△ADE∽△ACB 故③符合题意； ④AD·BC=DE·AC, AD DE ..AC BC, “不确定 ∠ADE=∠C 不能确定△MDB1CB,故①不符合题意： ⑤∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴.△ADEP△ACB 故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有4个， 故选：D. 11.B 解：作FK⊥AC于K, .∠C=90°，即BC⊥AC, .FK∥BC, EK EF CK BF, ,F为BE中点， ∴K为CE中点， ∴.FK是△BCE的中位线， .K=BC=号×6=3 2 °，CE=2EK, 又.∠EDF=45°， ∴△FKD是等腰直角三角形， ∴.DK=FK=3, .AD=10,AE=2, ∴.DE=AD-AE=10-2=8, ∴.EK=DE-DK=8-3=5, .CE=2EK=10, ∴.AC=CE+AE=10+2=12, 4B-JAC+BC2-2+6-65 12.C 解：，BF平分∠ABC, .∠ABF=LGBF, ,AF⊥BF, ∴.∠BFA=∠BFG 在△BFA和△BFG中， [∠ABF=∠GBF BF=BF ∠BFA=∠BFG' △BFA≌ABFG(ASA) 。 ∴.BG=AB=12,AF=FG, ∴.GC=BC-BG=8, AD=DB,AF=FG .DE∥BC, 8 .'AE=EC, ..AE=EC,AF=FG :F=6C=4 2 二、填空题。 13.∠ABC=∠D（答案不唯一) 解：在△ABC和△ADB中，已知∠A=∠A, 一有以下三种情况： ①当∠ACB=∠ABD时，△ABC∽△ADB: ②当∠ABC=∠D时，△ABC∽△ADB: AB AC ③当AD=AB时，△ABC∽△ADB· 4.子 解：AB/CD, ∴.∠B=∠DCG, .AF⊥BC,DG⊥BC, ∴.∠AFB=∠DGC=90°， ∴.△ABFADCG, AF AB :DG CD, .AB=10,CD=15, AF102 .DG153· 15.1 解：过F作FM⊥直线AB于M,设EF交CB于N, 则FM IIBC, 由题意：ED=EF,∠DEF=90°， ∴.∠DEA+∠FEM=90° 又∠A=90°， .∠DEA+∠ADE=90° .∴.∠ADE=∠MEF 在△DAE和△EMF中： ∠A=∠EMF=90° ∠ADE=∠MEF DE=EF .△DAE兰△EMF(AAS) ∴.EM=AD=4FM=AE 设狐=x0≤xs4) FM=x,EB=4-x BM-EM-EB=4-(4-x)=x 即BM=FM=x, 又FM IBC, ∴.△EBN∽△EMF BN EB BN 4-x FM EM'x 4 w4习-+=-2， 4 4 则BN大=1， 若EF与边BC始终有公共点， 则BC≥BN恒成立， .BC最小=1 16.①③④ 解：设∠B=a,则∠BAC=180°-4a, .∠ACB=180°-∠B-∠BAC=3Q=3∠B,故①正确： 如图，连接CD, B .取BC的中点N,过点N作ND⊥BC交AB于点D, ∴.DN垂直平分BC, .'CD=BD, ∴.∠B=∠DCB=u, ∴.∠ACD=∠ACB-∠DCB=2C,∠ADC=∠B+∠DCB=2C, .∠ACD=∠ADC, .AC=AD, .∠DNB=∠M=90°， .DNI‖AM MN AD AC 7 .BN BDBD 3 BN 33 .BM3+710, CN 3 .CM4故③正确； 设AC=AD=7x,BN=CN=3m,则BD=3xAB=10x,BM=10m, ∴.MN=7m,CM=4m, 在RtAACM中，AM2=AC2-16m2①， 在RIAABM中，AM2=100x2-100m2②， 由①②得，AC2=100x2-84m2, (7xy°=1002-84m2 2V :x=7m(负值已会)， -m 27 -100m2=10v187 )2 .AM=V100x2-100m2=,10o -m] 17m(负值已舍)， 7m×10187 m 17 ∴.AM≠MN,结论②错误； W-CNc 2 33 `BM10' .BM=5V7、CM=2V7, .∠M=90° AC2-CM2=AB-BM2即(7x-(27=(I0x-57, 解得=7们《食位已合) :B9而，故④正确。 三、解答题. 17.证明：：DE∥AB, ..CE_CD AE BD .·DF∥AC AF CD BF BD 得张 18.证明：：E、F是oABCD对边AD、BC的中点， :DE BF DE=BF ∴.四边形BEDF是平行四边形， ..BE DF 在△ADH中，EG∥DH, AE AG EDGH· 又E是AD的中点， .∴.AE=ED ..AG=GH 同理，在△BCG中，CH=HG, ∴.AG=GH=HC 19.(1)证明：DE、F分别是OA.OB.OC的中点， E-,即-c,0m4c,即2s-影2- 2 2 2 '△DEF∽△ABC (2)解：：D.E、F分别是OA,OB,OC的中点， D6=4B,F=号BC,DF=24C,0C=-20r,0A=20.0B=20E, 2 OF OD DF 1 OF OE EF 1 OD OE DE 1 OC OA AC 2'OC OB BC 2'OA OB AB2 ∴.△ODF△OAC,△OEF∽△OBC,△ODE∽△OAB」 20.(1)证明：DE=3,BC=8,DC=4,AB=6, AB_BC=2 ED DC 设每小格的长度为“，则4C=V4a+(6@P=21Ba,EC=2a}+(6a-a 4C-23a-2 AB BC AC ED DC EC .∴△ABC∽AEDC (2)解：设每小格的长度为a,则4B2=(4a2+(2a2=20a,又AB2=62=36, 3w5 a= 20a2=36,解得5， 由(1)知AC=2W13a,EC=13a, AC-2V13x356v6 BC-Bx35_36 55； 55」 21. (1)解：如图， H B 由网格特点可得GEHD,AG=GH, 5品， ∴AE=ED, ∴.点E是AD的中点， 同理可得点F是BC的中点， BF=BC 2 .在ABCD中，AD∥BC,AD=BC, .AE=BF, .四边形ABFE是平行四边形， ∴.EF∥AB. (2)解：如图， B 由(1)同理可得点E,F分别是AD,BC的中点，EF∥AB∥CD, A0=AE=1, GO_AE=1 ..OH-ED,OD DE .AO=OH,GO=OD ∴.四边形AGHD是平行四边形， ∴.GH∥AD 22.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .ADI‖BCAD=BC 且 又CF=BE, .BC=EF AD/EF且MD=BF 四边形AEFD 为平行四边形. :AE⊥BC ∴.∠AEF=90° “四边形AEFD 矩形. (2)解：设CF=x, .EC=2CF :.EC=2x EF =3x “四边形4EFD为矩形， ∴∠ADF=∠DFC=90°AD=EF=3xDF=AE=3 ∴.∠ADG+∠GDF=90° :CD⊥AF .∠DGA=90° ∴.∠GAD+∠GDA=90° ∴.∠GAD=∠GDF .△ADF∽△DFC AD DF n3x=3 DF=CF,即3=x, 解得5=5.5=5 (舍)， :.EF=3x=33 23.(1)证明：∠1=∠A,∠1=∠2， .∠2=∠A ,CD⊥AB ∴.∠CDB=90° 2 ∴.∠DCB+∠CBD=90° :∠ACB=90° .∠A+∠CBD=90° ∴.∠DCB=∠A=∠2 又·∠DFB=∠CFD, .∴△FBD∽AFDC FB FD FD FC, ..FD2=FB.FC (2)解：FB=4,BC=5, ∴.FC=9 由(1)可知FD=FB.FC, .FD2=36 ∴.FD=6 24.(1)证明：.AB=AC, ∴.∠B=LC, .DF⊥BC, .∠DFC=∠DFB=90°， ∴.∠D+∠C=90°，∠B+∠BEF=90°， ∴.∠D=∠BEF, 又，∠BEF=∠AED, ∴.∠D=∠AED, .AD=AE 2)架：4D=4C,AB=4C, .AB=AC=4AD,CD=AC+AD=5AD, 由（1)得AD=AE, .BE=AB-AE=3AD, .∠B=∠C,∠DFC=∠DFB=90°， ∴.△BFEACFD. BF BE 3AD 3 .CF CD 5AD 5' .BF+CF=BC=8. 3 .BF= -×8=3 3+5 (3)解：如图，在EF上截取BF=FH, D B FG .∠DFB=90°， .∠HBF=45°， 设BF=1,则FH=1, .BH=VBF2+FH2=√2， .AB=AC,∠BAC=45°， :∠ABC=-180°-，∠BMC=67.50 ∴.∠EBH=∠ABC-∠HBF=22.5°，∠BEF=90°-∠ABC=22.5°， ∴.∠EBH=∠BEF, .EH BH=2, ∴.EF=EH+FH=V2+1, 过点A作AG⊥BC于点G, 又AB=AC, BG-CG-nc 2, :G=BG-s=2-1 2, .DF⊥BC,AG⊥BC, ∴.DFIAG, √2-1 4DGe22-1=2-=3-2N2 .ACCG2+12+1 2 25.(1)解：.DF∥BE,BD=DC, 0-1, FEBD ∴.CF=FE, ∴.EC=2FE, AE=IEC 2 .EC=2AE, ∴.AE=FE. AG _AE=1 .GD EF .'AG=GD, AG AG 1 .ADAG+GD2· (2)解：D是BC的中点，F是EC的中点， ..DF 是△B6C 中位线， 2.DFE 又G是AD的中点，E是AF的中点， ∴.GE是△ADF的中位线， GE-TDF- BE=BG+GE 1 3 ..BG=BE--BE=BE 4 4 3BE BG4=3 因此GBE (3)解：延长AD交BF延长线于H, --------- :平行四边形ABCD中，AD‖BC, ∴.∠CBF=∠H, .∠BFC=∠HFD,CF=DF, △BCF≌AHDF(AAS) .BC=DH, AD=BC, ∴AD=DH. 取HM的中点N,连接DN, 则AM=2DN,DNI‖AM, .∠NDF=∠MCF, .CF=DF,∠CFM=∠DFN, ACFM≌aDFN(ASA) .CM=DN, .AM =2CM, 延长AC到点P,使MP=AM, 则MP=2CM, ∴.CP=CM, 在BF上取点T,Q,使GT=BG,M=GM,连接CT,PO, .·∠AMG=∠PMg ,△AGM≌aPQM(SAS) ∴.AG=PO∠GAM=∠P, .AG∥PQ :E是BC中点， .BE=CE, ∴.CT=2EG,CT‖EG, .CT∥Pe, MT MC =1 .TO CP ..MT=TO PQ=2CT=4EG, .'AG=4EG, ∴.AE=AG+EG=5EG, ,△ABE的边AE上的高和△BEG的边EG上的高相同， S4mE=5S.mG .S.mG=3, SARCD=2S.ARC=4S.ADE=20S.WEG=60