3.3 第2课时 相似三角形判定定理的证明&专题六 相似三角形的几种常见模型-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

53 第2课时 相似三角形判定定理的证明 01 基础达标 5.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC= 20cm,两只小虫P,Q同时分别从A,B出发沿 知识点三角形相似的判定与证明 AB,BC向终点B,C方向前进，小虫P每秒走 1.如图，D是△ABC一边BC上的点，连接AD, 使△ABCP△DBA的条件是 ( 1cm,小虫Q每秒走2cm,请问它们同时出发多 ACAD A.BC-BD B瓷铝 少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、 D为顶点的三角形相似？ C.AB=CD·BC D.AB2=BD·BC D 第1题图 第2题图 2.如图，在□ABCD中，E,F分别是AD,CD边 上的点，连接BE,AF,它们相交于点G,延长 BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三 角形共有 ( A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 3.【尺规作图】用“尺规作图”将一个三角形分割 成一个小三角形和一个四边形，则下列图形 中，△ABC与△AEF不一定相似的是( ) 6.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格，图中的点A、B、C、D均在格点上 1在图1中，盼 ;(填数字之比) (2)如图2，在线段AB上找-点P,使部-： (利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不 写作法) (3)如图3，在4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A,B,C都在小正方形的格点上，请在 02能力提升 图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个 4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD 三角形， AB,点E在AC边上，且∠DEC=∠ADB.求 证：AB2=AE·AC D 图1 图2 图3 54 专题六相似三角形的几种常见模型 熟悉如图所示的常见三角形相似的基本图：模型三旋转型 形，在具体问题中要善于分解出这些基本图形，3.如图，已知∠DAB=∠EAC,∠ADE= 从而快速找到判定相似的方法 ∠ABC,求证： (1)△ADEp△ABC; (2)△ADB∽△AEC. A字型 X字型 子母型（∠1=∠2） 2 斜截型(L1=∠2) 旋转型 双垂直型 2 三垂直型 反射型（∠1=∠2） “两高”型 模型一A字型 1.如图，在△ABC中，AB =4cm,BC=8cm,点P 从点A开始沿AB边向 A 点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始 模型四双垂直型 沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果 4.如图，已知直角△ABC中， P、Q分别从A、B同时出发，经过 后， CD是斜边AB上的高，AC =4,BC=3,则AD=A △PBQ与△ABC相似. A.0.8s B.2s C.0.8s或2s 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, D.0.4s或1s 模型二X字型 在AB边上取一点D,使BD=BC,过点D作 2.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上， DE⊥AB交AC于点E,求DE的长， 连接CE并延长，与BA的延长线交于点F.若 AE=2ED,CD=6cm,求AF的长， 55 模型五三垂直型（一线等三角型） 模型七反射型 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,若折8.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的 叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合， 点，EB=3AB=1,∠DEA=∠FEB,求EF的 折痕交AD于点F,交BC于点G,边DC折叠 长 后与BC交于点M. (1)AF的长为. (2)求BM的长. D 模型六子母型 7.如图，在△ABC中，AC=4,CD=x,BC=y,点 D在BC边上 模型八“两高”型 (1)当CD=2,BC=8时，判 9.如图，已知BD,CE为△ABC的高，求证： 断△ABC与△DAC是否相 △ADEP△ABC. 似？请说明理由， (2)当∠CAD=∠B时，求y关于x的函数关 系式.8.x=12,y= 3 2∠a=83. 5.54 75 6.证明略 9.D 10.D 11.5+1 2 12.6 7.A8.A9.D10.C 13.图略， 11.(-1,0)或(-4,0)或(1,0) 14.1)A"=1,AE-1DE1 AB 3'AC3'BC3 12.△APB与△PCE相似，理由略. (2)证明略. 13.(1)△PBA与△ABC相似，理由 15.不能使小路内外边缘形成的两 略； 矩形相似.理由略。 (2)∠BAC=135°. 第2课时 等比性质 14.PB=2或12或号时，△PAB与 2 1.B2.A3. 4.4. △PCD相似. 5.A6.C7.5. 第3课时利用三边证相似 8.△ABC为直角三角形 1.A2.B3.D4.B5.1.5 3.2探索三角形相似的条件 6.∠A=∠D或BC=2EF 第1课时利用两角证相似 7.证明略 8.D9.C 10.B11.B 1LB243告是 4 4.C 12.①②④ 5.56.157.证明略 13~14.证明略。 8.AC=2√/21cm. 15.(1)△ABCc∽△DEF,由三边对 A10.号11.9 应成比例可知； (2)不唯一，△PPD,△PPF, 12.AE=7. △PPD,△PPD,△P2PP, 13.(1)证明略；(2)DE=4.9. △PFD中，选2个即可.图略 14.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, 第4课时黄金分割 ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 1.C2.B3.D4.23 .∠BAD+∠ADB=90°， 5.AB=6+2√5. ∠ADB+∠CDG=90°， 6.D7.1.730 .∠BAE=∠CDG, BFLAC,∴∠ABE+∠BAC&.ID-15 2 =90°，.∠C+∠BAC=90°， (2)右边窗户BCNM是黄金矩 ∴.∠ABE=∠C, 形.证明：设AB=CD=1,矩形 ∴.△ABE△DCG. ABCD是黄金矩形， (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △DCGC∽△ACD.易证∠BAE ∴AD=AM=MN=5-1 2 =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 知△ABEP△ACD. ∴MB=AB-AM=1-5-1 第2课时利用两边及其夹角 3-√5 证相似 3-5.MB 2 3-5 2…MN 5-15-1 1.B2.D3.B4.B 55 (3-√5)(W5+1) 25-2 3.4相似三角形的性质 (5-1)(5+1) 4 第1课时相似三角形对应线段的 5-1 比与相似比的关系 2 1.D2.A3.B ∴.矩形BCNM是黄金矩形 4.A'E'=12cm. 3.3相似三角形判定定理的证明 2h 第1课时 平行线分线段成比例 5.B6.A7.68. 1.D2.43. EF AD 9.(1)证明略； BD (2)PQ=30,PN=20. 5.B6.6 第2课时相似三角形对应周长、 7.BF= ,CF16 面积的比与相似比的关系 1.B2.C3.B4.C5.C6.D 8.B9.C10.6或12 7.98.4:25或9：259.26 11.BC= 9,DB=1 10.(1)PC=22; 12.(1)AB=4,BC=10: (2)CP-24 7 (2)BE=9. 3.5图形的位似 微课堂 第1课时位似图形的概念及性质 【变式练】B 1.D2.A3.D4.B5.36.D 第2课时 相似三角形判定定理 7.图略.8.A9.A10.C 的证明 11.A12.18cm13.图略. 1.D2.B3.D 14.(1)AC∥A'C',理由略； 4.证明略. (2)CC=5. 5.经过5秒或2秒时，以P、B、Q为 15.24040 顶点的三角形与以A、C、D为顶 第2课时坐标系中的位似变换 点的三角形相似. 1.A2.D3.(-5,-1) 6.(1)1:3(2)(3)略. 专题六相似三角形的几种常见模型 4.(-2,号) 5.(-2,2) 1.C2.AF=12cm. 6.(1)~(2)图略，点B2的坐标为 3证明略。4号 (-4,-6) 5.DE=3. 7.(2,1)或(-2，-1) 8.D9.C 6.(1)专；(2)BM= 4 10.00或（号4 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 略； 11.(1)D(2,1),D(6,3) 1 (2)y=16 (2)yM=x,yw= (3)是位似图形，先证明相似，再 8.EF的长为图 2 证明AA',BB',CC',DD都经过 9.证明略 点O. 56 12.(1)(0,-1); 1.PE 2…PF的值是定值，该定值为 (2)(-3,4)(-2,2); (3).AE=m,∴.BE=2-m, (3)(-3,0) 13.(1)①(5,6)：②1：2： ①当'=时，：∠B=∠EPF (2)△A'B'C'的面积为4m. ☆问题解决活动利用相似三角 =90,∴△BPE△PFE∴8器 形测高 1 1.C2.C3.B4.11.55.D 6.5.1m7.D8.2000 ②当器-时，∠B=∠BPF 3 90°，∴.△BPE∽△PEF, 9.河宽AB的长为17米. 10.由题意得：DA⊥AC,∴.∠DAC =90°，.∠ACB=35°，∴.∠ABC 综上所述，当m=0或号时，△BPE =90°-∠ACB=55°， .∠AED=55°，.∠AED= 与△PEF相似. ∠ABC=55°，又：∠DAC= 综合与实践（二）折叠相似变换 ∠BAC,'.△BACP△EAD, (1)证明：四边形ABCD是矩形， -器即品 .∠A=∠D=∠C=90°，.∠1+ ∠3=90°， 10.8+9.2,解得AD=18, 由折叠的性质，可知∠EPH=∠A AD 7 =90°，.∠1+∠2=90°，.∠3= ∴.BD=AD-AB≈1.4m, ∠2，.△EDP△PCH: 答：教学楼顶部宣传牌BD的高 (2),四边形ABCD是矩形，.CD 度约为1.4m. =AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D 综合与实践（一）旋转相似变换 =∠C=90°，P为CD中点， (1)证明：，四边形ABCD是矩形， .DP=CP=1,设EP=AE=x, .∠B=∠C=90°，.∠BAP+ ∴.ED=AD-AE=3-x, ∠BPA=90°， 在Rt△EDP中，EP=ED+DP, ∠MPN=90°，∴.∠CPD+ 即x2=(3-x)2+1,解得x=号， 5 ∠BPA=90°，∴∠BAP=∠CPD, .△ABPp△PCD: EP=AP=号ED=AD-AE (2票的值为定值，理由如下： 过点F作FG⊥BC于G,∴∠FGP -告，：△EDP△rCH0 =90°，∴.∠FGP=∠B,∠PFG+ 4 5 ∠FPG90,易知四边形ABF是開即-高PH-是， EP 3 矩形，∴.FG=AB=2, .PG=AB=2,..GH=PG-PH .∠MPN=90°，∴.∠EPB+ 4 ∠FPG=90°，∴.∠EPB=∠FPG, (3)延长AB,PG交于一点M,连接 △EBPO△PG,器-器 :AP,由折叠的性质，可知AP⊥EF, 57