函数与导数第13讲极值点偏移讲义-2027届高考数学一轮复习

极值点偏移 函数与导数 · 专题篇 · 双变量对称式的证明 一、和型： 与 比大小 把一条水平线放在曲线上一划，交出来的两个点，是不是关于极值点对称？这是本讲要回答的问题。设函数在一个区间上只有一个极值点，而且是极大值点，记作 ；在它左边函数递增，右边递减。在极大值下方画一条水平线，只要它仍落在两端函数的取值范围内，就与曲线交于两个点，一左一右，记作 与 。 很多人默认这两个点关于 对称，也就是 。这个默认只在一种情形下成立：曲线本身关于直线 对称，比如抛物线。除此之外它几乎总是错的 —— 一条曲线左右两支「掉得快慢」通常不一样：哪一支掉得慢，为了降到同一高度就得多走一段路，那一侧的交点离极值点就更远，两个交点合起来就整体偏向了另一侧。这个偏向就是极值点偏移。方向由曲线形状决定，不能凭印象猜，必须算。 算的标准路子叫对称构造。以判断 与 谁大为例。把右支关于直线 翻折到左边来，翻折后的曲线与原来的左支一比，就知道两个交点谁离得远。落到式子上：要比较 与 的大小，而这两个点都落在极值点右侧、那里函数单调递减，所以比自变量可以换成比函数值；又 ，于是只需比较 与 。这两个点关于 一左一右，正是新函数 要管的事。 有两个现成的好性质：，定义域可以取成极值点左边的整段。所以只要判断 在这一段上是增还是减，它的符号立刻就有了。求导得 ，是两个关于 对称的点上的导数值之和，这个和往往能用基本不等式估出来 —— 这一步是整条链子的支点。 最后提醒一句：图画得再准也只是指出方向，偏移的结论一律要用上面这条链子推出来，不能拿「由图可知」代替证明。 例1（解答·★★★★★） 已知函数 （）．设 ， 为 的两个零点（），证明：． 变式1-1（解答·★★★★★） 已知函数 （， 且 ）．当 ， 时，若函数 有两个不相等的零点 ，，证明：． 变式1-2（解答·★★★★★） 已知函数 （）．当 时， 有两个极值点 ，，且 ．若 ，证明：． 例2（解答·★★★★★） 已知函数 （）有两个零点 ，，且 ，证明：． 二、积型： 与 比大小 和型能靠对称构造解决，是因为 里两个变量是相加的，关于极值点翻折一下，位置关系就调换过来了。可如果结论里出现的是 ，翻折就够不着了 —— 翻折改变的是「位置」，改变不了「乘积」。这时候换一套工具：比值换元。 做法很直接。设 （不妨设 ，则 ），把 写成 ，代进「两个函数值相等」那条式子，就得到一个只含 与 的关系。把 解出来，再代回目标式，原本两个变量就压成了一个 。 这一步能走通，靠的是那条条件式同时约束了参数与两点。很多题的参数藏在函数式里，直接用会碍事；但「」把参数解出来并不难，解出来一代，参数就消失了。所以比值换元的第一步常常不是换元，而是先「把参数解出来」。 积型还有一个常用的中间桥梁：取对数。 取对数后变成 ，乘法换成了加法，与和型就打通了 —— 这也是为什么很多积型题最后仍然落到「 与 的某个分式比大小」上。与之配套的是几个常用估值，比如 （，把对数差换成更容易处理的分式），以及 这类基本的不等式。 说到底，本讲所有题型的收尾都是同一个动作：把结论化成同一个变量的不等式，再构造函数、求导、定单调、与端点的值比大小。区别只在中间那一步用什么把变量消掉 —— 和型靠翻折，积型靠比值，差型靠放缩。 例3（解答·★★★★★） 已知函数 ，．若存在 ，，且 ，使 ，证明：． 变式3-1（解答·★★★★★） 已知函数 （）．设 ，（）是 的两个极值点，证明：． 变式3-2（解答·★★★★★） 设函数 （）．设 ，若方程 有两个实数根 ，，且 ，证明：，且 ． 例4（解答·★★★★☆） 已知函数 ．若函数 有两个不同极值点 ，，证明：． 三、差值型： 与某数比大小 和型靠翻折、积型靠比值，到了差值型这两招都不好使了。原因很简单：比值换元能把 消成一个 ，但 里还留着 ；而翻折只能比较位置，比较不出距离。所以差值型要另找办法，好在办法也不复杂。 常用的第一条路是「把 表示出来」。如果两个点都是某个方程的根，那就用它们满足的等式把 解出来或估出来，再代进 。这条路的难点在于：解出的表达式往往很丑，所以真正要做的不是精确求解，而是给它一个够用的下界。 第二条路是「用直线夹住曲线」。把曲线夹在两条好算的直线之间（割线常常比切线好算，因为割线过两个已知点，方程直接写出来），水平线 与这两条直线的交点横坐标是能解出来的。于是真实的两个交点，一定落在这两个「假交点」的外侧，差值的下界（或上界）就有了。 第三条路最省事，却最容易想不到：如果能证明某个关于 的式子在全体 上都非正，而目标式恰好整理成「 大于这个式子」，那么用 一句话就收工了。这听起来像捡便宜，其实是把功夫全花在了「整理目标式」上 —— 把 里出现的 用已知等式换成参数，剩下的部分能不能凑成那个恒非正的式子，才是关键。 最后要说一句：差值的界一般比和型、积型要松，等号往往取不到。所以做这类题不必纠结「能不能取等」，推出了一个严格的、方向正确的不等式，就算成功。 例5（解答·★★★★★） 已知函数 ．若函数 （）有两个零点 ，，且 ，证明：． 变式5-1（解答·★★★★★） 已知函数 （），．证明：当 时，函数 有两个不同的极值点 ，（），且 ． 变式5-2（解答·★★★★★） 已知函数 （，且 ）．当 时，设 ，且 ，证明：． 例6（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 的两个极值点分别为 和 ，且 ，证明：． 四、推广型：偏移只是一个架子 回头看前三节，会发现它们其实在做同一件事：在「两个点取到同一个函数值」这个约束下，证明某个关于两点的式子成立。和型证的是和、积型证的是积、差值型证的是差 —— 换的只是结论这件外套，里子一直是那条约束。认清这一点，就能应付各种「不像偏移」的偏移题。 第一种换装是把「比大小」换成「求定值」。比如结论写成「两点满足某一个线性关系」，它看上去不像不等式，其实还是同一条约束推出来的，只不过最后一步不是估出一个界，而是解出一个数。一个常用的帮手是韦达定理：如果两个点恰好是某个二次方程（或能化成二次的方程）的两根，那么它们的和与积可以直接读出来，一步到位，根本不用换元。所以动手之前先看一眼：这两个点满不满足一个二次方程？ 第二种换装是把两个变量变成三个。三个点共用一个函数值，结论往往是三点的某个线性组合比大小。对付它的办法是「拆」：把它拆成两个「两点之和」，每一段用前面的办法单独处理，最后相加。拆的时候要留意有没有现成的对称性可用 —— 如果函数是偶函数，左右两支的点可以配对，三变量题会立刻退化成两变量题。 第三种换装是让「函数值相等」这件事换个说法：两个极值点、两条曲线的交点、方程的两个根，说到底都是「两点取值相同」。所以做陌生题时，第一件事永远是：把题目给的条件翻译成「哪两个量相等」，翻译对了，方法就自动浮出来了。 例7（解答·★★★★★） 已知函数 （）．若函数 有 1 个极值点 ，且 ，设 的两个零点分别为 ，（），证明：． 变式7-1（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 ，且 ，证明：． 变式7-2（解答·★★★★★） 已知 （）．若 有三个极值点 ，，（），证明：． 例8（解答·★★★★★） 已知函数 ．设函数 ．若 为 的一个极值点，且 ，，证明： 为定值，并求出这个定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 极值点偏移 函数与导数 · 专题篇 · 双变量对称式的证明 一、和型： 与 比大小 把一条水平线放在曲线上一划，交出来的两个点，是不是关于极值点对称？这是本讲要回答的问题。设函数在一个区间上只有一个极值点，而且是极大值点，记作 ；在它左边函数递增，右边递减。在极大值下方画一条水平线，只要它仍落在两端函数的取值范围内，就与曲线交于两个点，一左一右，记作 与 。 很多人默认这两个点关于 对称，也就是 。这个默认只在一种情形下成立：曲线本身关于直线 对称，比如抛物线。除此之外它几乎总是错的 —— 一条曲线左右两支「掉得快慢」通常不一样：哪一支掉得慢，为了降到同一高度就得多走一段路，那一侧的交点离极值点就更远，两个交点合起来就整体偏向了另一侧。这个偏向就是极值点偏移。方向由曲线形状决定，不能凭印象猜，必须算。 算的标准路子叫对称构造。以判断 与 谁大为例。把右支关于直线 翻折到左边来，翻折后的曲线与原来的左支一比，就知道两个交点谁离得远。落到式子上：要比较 与 的大小，而这两个点都落在极值点右侧、那里函数单调递减，所以比自变量可以换成比函数值；又 ，于是只需比较 与 。这两个点关于 一左一右，正是新函数 要管的事。 有两个现成的好性质：，定义域可以取成极值点左边的整段。所以只要判断 在这一段上是增还是减，它的符号立刻就有了。求导得 ，是两个关于 对称的点上的导数值之和，这个和往往能用基本不等式估出来 —— 这一步是整条链子的支点。 最后提醒一句：图画得再准也只是指出方向，偏移的结论一律要用上面这条链子推出来，不能拿「由图可知」代替证明。 例1（解答·★★★★★） 已知函数 （）．设 ， 为 的两个零点（），证明：． 【切入点】先把形状弄清楚。定义域是 ，。题设说 有两个零点，这件事本身就先把 的范围卡住了 —— 若 ，则 时 ， 恒成立， 在 上严格递增，至多一个零点，矛盾。所以 。 【关键】第一段：定形状，并把偏的方向判出来。由 得： 时 ， 时 。所以 在 上递增，在 上递减，极值点为 ，极大值为 。要它有两个零点，必须极大值为正，即 ，所以 。又 在 上递增、在 上递减，而 ，所以 。第二段：对称构造。记 ，。先算 ：。对两个正数 与 用「倒数和大于等于和分之四」：。又 ，所以 。于是 ， 在 上单调递增。又 ，所以 时 ，即 。 【关键】第三段：代回两个零点，把不等式落回自变量。在 中取 ：。由 得 。因为 ，所以 ；又 。两个点都在 上，而 在那里单调递减，由 得 ，即 。又 ，所以 。 【易错】三处要留意。第一， 不是题设给的，要从「有两个零点」推出来 —— 时函数单调，不可能有两个零点。这一步不能省：结论 本身要求 为正数。第二，「倒数和大于等于和分之四」这条不等式要写出依据： 等价于 ，、 为正时成立。第三，把函数值的不等式换回自变量的不等式时，一定要先说明两个点都在递减段上 —— 少了这一句，单调性是不能反过来用的。 【答案】证明见解析 变式1-1（解答·★★★★★） 已知函数 （， 且 ）．当 ， 时，若函数 有两个不相等的零点 ，，证明：． 【切入点】先把 写清楚。当 时 ，于是 ，，定义域 。它有两个零点，形状与上一题同型：先减后增，最小值点就是下面算出的 。 【关键】第一段：定形状，并说明两个零点确实一左一右。。因为 ，方程 的两根一正一负，正根为 。所以 时 ， 时 ， 在 上递减、在 上递增。题设说 有两个零点 ，，于是 （最小值小于零），所以 。第二段：对称构造。记 ，。。对正数 与 用两条基本不等式：，而 ，所以 ；又 。两式合起来得。 【关键】第三段：用 满足的方程把上界算成零。由 得 ，两边除以 ：。代入上界：。所以 在 上单调递减；又 ，故 时 ，即 。第四段：代回两个零点。取 得 ；又 ，所以 。由 知 ，而 ，两点都在递增段上，故 ，即 。最后由 与 ，得 ，于是 。 【易错】三处要留意。第一， 这条要两头都估到位： 与 各用一次基本不等式，中间还要用 ，少一步就算不出那个「零」。第二，把 的界化成零，靠的是 这个方程 —— 这正是「 是极值点」提供的全部信息，必须用上。第三，结论只要 ，比 更宽松；但 仍要一句话交代，不能直接跳到答案。 【答案】证明见解析 变式1-2（解答·★★★★★） 已知函数 （）．当 时， 有两个极值点 ，，且 ．若 ，证明：． 【切入点】先把 化简。当 时 ，所以 ，。 有两个极值点，就是 有两个零点。 【关键】第一段：定形状。，由 知 在 上递减、在 上递增，最小值 （因为 ）。又 ，，所以 在 内恰有一个零点 ；在 上 递增且 ，所以另一个零点 落在 内。于是 （且 ）。第二段：把 化成只含两点之差的式子。由 、 都是 的零点，得 ，。两式相除：，所以 ，其中 。于是 ，且 ，解得 ，，从而 —— 两个变量被压成了一个 。 【关键】第三段：证 。因为 ，只要证 ，即 。若 ，则 ，而 ，式子显然为正。若 ，记 ，则上式等价于 。，所以 在 上单调递减；又 ，，所以 在 上先增后减。两端点处 、，于是 。所以 。第四段：证 （改用对称构造）。记 。。由基本不等式 ，得 。由题设 ，而 等价于 ，即 ，成立，所以 ， 单调递增。又 ，故 时 ，即 。取 （）：，于是 。而 ，又 ，所以 ；同样 。两点都在递增段上，故 ，即 。两边合起来，。 【易错】四处要留意。第一， 的极值点就是 的零点，这一步要写清楚（），否则后面所有关于 、 的推理都没有出处。第二，两个界用了两种不同的换元：左边用「差值换元」（因为 可以整体约出来），右边用「对称构造」（因为右边那个界 3 并非两倍极值点）。选错工具，式子会越算越长。第三，第二段相除之前要说明 —— 只有正数才谈得上约分后的正负。第四， 那一步要讲清为什么「先增后减 + 两端不为负」就能推出 ：增减各一段，只可能在这些点取到最小值。 【答案】证明见解析 例2（解答·★★★★★） 已知函数 （）有两个零点 ，，且 ，证明：． 【切入点】函数里同时有 与 ，直接求导看不出名堂。把 写开：。两边都乘 ，得 。右边正好可以写成一个同构的样子：。所以方程变成 ，其中 。 【关键】第一段：同构消掉指数，把零点问题转成一条曲线与水平线的交点。由 知 ，所以要 ，即 ，。在 上 ， 严格递增，于是 等价于 ，也就是 。记 ，，则 ，当 时 ，当 时 ，所以 的最大值为 。 有两个零点，就是 有两个根，所以 ，从而 。 【关键】第二段：把 写成只含比值的式子。两个零点都满足 ，所以。把最后那个式子代进 ：。记 。由 在 上递增、在 上递减，且 ，可知 ，所以 。第三段：证一个只含 的不等式。由 得。于是只要证： 时 ，也就是 。记 ，。；。由常用不等式 （），得 ，所以 递增，。于是 。 【易错】三处要留意。第一，同构那一步要把 的范围交代清楚：只有在 （即 ）时， 才在涉及的范围内严格递增。第二， 必须由「两个零点」推出来 —— 它是 的来处，而 又是不等式成立的支点，少了它整条链子断掉。第三，辅助不等式 要写出出处：令 ，则 ， 在 处取到最小值 。 【答案】证明见解析 二、积型： 与 比大小 和型能靠对称构造解决，是因为 里两个变量是相加的，关于极值点翻折一下，位置关系就调换过来了。可如果结论里出现的是 ，翻折就够不着了 —— 翻折改变的是「位置」，改变不了「乘积」。这时候换一套工具：比值换元。 做法很直接。设 （不妨设 ，则 ），把 写成 ，代进「两个函数值相等」那条式子，就得到一个只含 与 的关系。把 解出来，再代回目标式，原本两个变量就压成了一个 。 这一步能走通，靠的是那条条件式同时约束了参数与两点。很多题的参数藏在函数式里，直接用会碍事；但「」把参数解出来并不难，解出来一代，参数就消失了。所以比值换元的第一步常常不是换元，而是先「把参数解出来」。 积型还有一个常用的中间桥梁：取对数。 取对数后变成 ，乘法换成了加法，与和型就打通了 —— 这也是为什么很多积型题最后仍然落到「 与 的某个分式比大小」上。与之配套的是几个常用估值，比如 （，把对数差换成更容易处理的分式），以及 这类基本的不等式。 说到底，本讲所有题型的收尾都是同一个动作：把结论化成同一个变量的不等式，再构造函数、求导、定单调、与端点的值比大小。区别只在中间那一步用什么把变量消掉 —— 和型靠翻折，积型靠比值，差型靠放缩。 例3（解答·★★★★★） 已知函数 ，．若存在 ，，且 ，使 ，证明：． 【切入点】把两个函数合起来看。条件式是 ，所以记 ，它满足 ，。要证的是 ，里面同时有 与 ，正路是把「函数值相等」这条式子展开，看看能挤出什么。 【关键】第一段：展开条件式。不妨设 。由 得，移项整理：。右边第一项是正的；而由 （因为 ，而 ），得 。于是 。第二段：由上式先定出 的符号。因为 ，所以 。把它除过去：。这一步说明要证的 是正数，也说明下面可以放心地两边同除。 【关键】第三段：用一个对数估值把分母换掉。要证 ，即 。记 ，（）。先证辅助不等式。两边同除以 并令 ，它等价于 。记 ，则 ，（），所以 ，即 。第四段：合起来收口。把 写成，再与第三段的不等式比：。约去正数 ，得 ，即 ，所以 。 【易错】三处要留意。第一， 与 都要写出依据，前者用和差化积，后者是常用估值。第二，辅助不等式 的证明要一步步写到「完全平方」，这是整条链子的支点；顺便注意它是严格不等式，所以最后能约出严格大于。第三， 是从条件式推出来的，不是题设给的 —— 没有它就不能说 与 都在正数范围内比大小。 【答案】证明见解析 变式3-1（解答·★★★★★） 已知函数 （）．设 ，（）是 的两个极值点，证明：． 【切入点】先看极值点满足什么方程。 的定义域是 ，。所以极值点就是 的正根，也就是 的正根。记 ，则 、 满足 。 【关键】第一段：比值换元，把两个对数都解出来。由 知 在 上递减、在 上递增，最小值 。 有两个极值点，等价于 有两个正根，所以 ；不妨设 ，则 。设 ，把 代进 ：，两边约去正数 ：，所以 ，即 。于是 。 【关键】第二段：把目标式化成 的式子。两式相加：。因为 ，要证 ，只要证 ，即 。第三段：构造单变量函数证完。记 ，。；。由常用不等式 （）得，所以 在 上单调递增，。因此 。 【易错】三处要留意。第一，题给的结论是 ，它等价于 ，两种写法都要会认 —— 对数形式往往更容易跟上后面的换元。第二， 是从「有两个极值点」推出来的，它同时给出了 ，为 提供了依据。第三，这个辅助函数 与前面例 2 里那个是同一个形状，说明「 与 比大小」是本讲反复出现的收口式，值得记住。 【答案】证明见解析 变式3-2（解答·★★★★★） 设函数 （）．设 ，若方程 有两个实数根 ，，且 ，证明：，且 ． 【切入点】把方程写成差函数。由 得，它有两个零点 、（题设 ）。。注意 ，所以 ，从而 。 【关键】第一段：先定出 。若 ，则 时 ，结合 得 ， 在 上严格递增，至多一个零点，与题设矛盾。所以 。再由 得。第二段：用一个单调函数把余弦项压掉。记 ，则 ， 在 上单调递增。由 得 ，即 ，所以 。两边乘正数 ：。代回第一段的等式，得 。 【关键】第三段：把不等式整理成对数平均的形式。记 ，。由 及 所在的原始等式可知两边同号；而 且 ，故 、。把 两边同除以 ：它是个负数（，），所以不等号变向，得，即 。又 ，所以两边都是正数，平方不改变方向。第四段：用对数平均估值收口。取 ，（）。前面例 1 已经证过：，也就是 。所以 ，两边平方得 。综上，，且 。 【易错】四处要留意。第一， 是结论的一半，必须先证 —— 它同时也是后面不等式两边「都是负数」的依据。第二，把余弦换成一次式，靠的是 单调；这一步的方向不能反（是 ，不是大于）。第三，第三段两边都是负数，作除法时不等号要变向，这一步最容易写反；稳妥的写法是先取绝对值再平方。第四，最后一步用的是「对数平均大于几何平均」，它在例 1 里证过，这里可以直接引用，但要写明引用。 【答案】证明见解析 例4（解答·★★★★☆） 已知函数 ．若函数 有两个不同极值点 ，，证明：． 【切入点】先把 展开，找出极值点满足的方程。，。所以 的极值点就是方程 的正根，也就是 的正根。设两个极值点为 ，则 。 【关键】第一段：比值换元，把 解出来。设 ，则 。由 交叉相乘：。把 代进去，两边约去正数 ：。整理：，即 ，所以 。再取对数得 。 【关键】第二段：把目标式也化成 的式子。两式相加：。要证 ，两边取对数即证 ，也就是 。因为 ，去分母得，即 。第三段：构造单变量函数证完。记 ，。；。由常用不等式 （）得，所以 在 上单调递增，。于是 ，即 。 【易错】三处要留意。第一，两个极值点满足的是 而不是 ，这一步弄错整个式子都会变形。第二，比值换元之后要把 真正解出来（写成 ），只写到「」就停住，后面加起来会很别扭。第三， 要写出出处：令 ，， 在 处取最小值 。 【答案】证明见解析 三、差值型： 与某数比大小 和型靠翻折、积型靠比值，到了差值型这两招都不好使了。原因很简单：比值换元能把 消成一个 ，但 里还留着 ；而翻折只能比较位置，比较不出距离。所以差值型要另找办法，好在办法也不复杂。 常用的第一条路是「把 表示出来」。如果两个点都是某个方程的根，那就用它们满足的等式把 解出来或估出来，再代进 。这条路的难点在于：解出的表达式往往很丑，所以真正要做的不是精确求解，而是给它一个够用的下界。 第二条路是「用直线夹住曲线」。把曲线夹在两条好算的直线之间（割线常常比切线好算，因为割线过两个已知点，方程直接写出来），水平线 与这两条直线的交点横坐标是能解出来的。于是真实的两个交点，一定落在这两个「假交点」的外侧，差值的下界（或上界）就有了。 第三条路最省事，却最容易想不到：如果能证明某个关于 的式子在全体 上都非正，而目标式恰好整理成「 大于这个式子」，那么用 一句话就收工了。这听起来像捡便宜，其实是把功夫全花在了「整理目标式」上 —— 把 里出现的 用已知等式换成参数，剩下的部分能不能凑成那个恒非正的式子，才是关键。 最后要说一句：差值的界一般比和型、积型要松，等号往往取不到。所以做这类题不必纠结「能不能取等」，推出了一个严格的、方向正确的不等式，就算成功。 例5（解答·★★★★★） 已知函数 ．若函数 （）有两个零点 ，，且 ，证明：． 【切入点】先把 写简单。，它有两个零点，就是 有两个不同正根。记 ，则 、 满足 。要证的是 ，差值型 —— 目标是给差的下界，所以要把 压住（找上界）、把 抬起来（找下界）。 【关键】第一段：定形状，把两个零点的位置定下来。，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。又 ， 当 。 有两个正根，所以 ，且 、。第二段：用两条割线把曲线夹住。记 、。直线 的方程是 ：因为 与 作差得 ，而 时 ，所以 。直线 的方程是 。要说明 ，作差构造函数：令 ，。，。，所以 单调递减；而 ，（因为 ），所以 在 上先增后减，两端点处又都为零，故 在区间内部成立，即 。 【关键】第三段：把两个假交点解出来，比较。直线 与 的交点横坐标是 ；与 的交点横坐标是 。由 得 ；由 得 。两式相减方向上要留神： 给出 ，所以 。 【易错】三处要留意。第一，两条割线的下标对应不能乱：左边的割线管 （给出上界），右边的割线管 （给出下界），一左一右才能相减得到下界。第二，第二段的弦式不等式不能凭图说话，要作差构造函数 并求出它的增减与两端取值，才叫证明。第三， 是从「有两个零点」推出来的，它保证了 （即 ，等价于 ，由 可得）。 【答案】证明见解析 变式5-1（解答·★★★★★） 已知函数 （），．证明：当 时，函数 有两个不同的极值点 ，（），且 ． 【切入点】先把 写开。，所以 。记 。 的极值点就是方程 的根，也就是曲线 与水平线 的交点横坐标。由 得 ，这是后面所有估计的前提。 【关键】第一段：说明确实有两个极值点。记 ，则 ， 在 上递减、在 上递增，最小值 。因为 ，所以 ，从而 。取两个点：（因为 ）；（因为 时 ：，且 对 成立）。而 ，所以 在 与 内各恰有一个根，即 。第二段：用一次估计把 压住。要的是两条一次估计，把它们都化成同一个常用不等式。其一：，即 。作差：令 ，，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 ，故 ，成立。取 ：，因为 ，所以 。 【关键】第三段：用另一次估计把 垫起来。其二：，即 。作差：令 ，，所以 在 处取最小值 ，故 成立。取 ：，所以 。两段合起来：。第四段：化简收口。。把 代回：分子等于 。所以 。最后说明等号其实取不到： 的等号只在 处成立，而若 则 ，与 矛盾，所以 ，从而 ；同理 的等号只在 处成立，而 会给出 ，也与 矛盾，所以 。于是 。 【易错】四处要留意。第一，两条一次估计都要作差、求导、找最值才算证明，不能写一句「由图象可见」了事。第二，两条切线要选得让两个估计「一头压、一头垫」： 附近的切线用来压 ， 附近的切线用来垫 ，方向弄反就白算了。第三， 恰好等于 ，这不是巧合 —— 是题目把 设计在分母上的来源。第四，最后化简要合并到 这个形状，中途不要急着代 的近似值。 【答案】证明见解析 变式5-2（解答·★★★★★） 已知函数 （，且 ）．当 时，设 ，且 ，证明：． 【切入点】 时 （）。，所以 在 上递增、在 上递减，最大值 。题设 且 ，所以 ，且不妨设 。 【关键】第一段：把 的范围夹住，顺便说明 的上界。因为 ，所以 ，。又 ，而 在 上递减、，所以 。于是 。第二段：对 的两条切线做放缩。记 ，。要的是两条一次估计，都把差函数单调性求出来。其一：，等价于 ，即 。作差：令 ，，所以 在 处取最小值 ，故 ， 成立。其二：，等价于 。作差：令 ，，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 ，故 ， 成立。 【关键】第三段：把两个零点分别代进去。取 ：，所以 。取 代进另一条：，所以 。两式相减（注意方向：一个压 、一个垫 ）：。第四段：把严格性补上。上面用的是「」，而题目要的是严格小于。因为 ，而 中的等号只在 （切点）处取到，所以 ，即 ，于是 。又 ，所以 ，即 。 【易错】四处要留意。第一， 处的切线方程是 ，不是 —— 因为切点是 ，斜率是 。第二，两条一次估计都靠作差构造的函数 、 求出最值才得到；记得先写单调性，再下结论。第三，两条不等式的用法是「一个压上面、一个垫下面」，顺序乱了相减出来的方向就不对。第四，严格性要单独补一句：等号只在切点取到，而切点恰好不是零点所在的位置。 【答案】证明见解析 例6（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 的两个极值点分别为 和 ，且 ，证明：． 【切入点】先求导，把极值点满足的方程写出来。（），。所以极值点就是 的正根，即 、 满足 。 【关键】第一段：定形状。，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。 有两个极值点，所以 ，且 。第二段：造一个恒非正的式子。要证 ，而 ，所以目标等价于。记 。求导：，所以 在 上递增、在 上递减，最大值 。于是对一切 都有 。 【关键】第三段：一句话收口。由第一段，；由第二段，。所以 ，即 。第四段：这个恒非正式子的来历（写出来，别让它显得凭空冒出来）。把 整理：。令 （），左边变成 ，所以它等价于 ，也就是 —— 正是本讲反复用到的那条常用不等式。 【易错】三处要留意。第一，目标式里 要用 换掉，换成 的那一侧（ 也行，但那样会把 留在右边、 留在左边，方向反而不好用）。第二， 的最大值在 处取到，而 恰好等于 ，与极值点 无关 —— 不要误以为是对称构造。第三，这一步用的是 这个最弱的估计，看似粗糙，但因为 ，方向刚好对得上；写的时候要把「 恒非正」放在前面，逻辑才顺。 【答案】证明见解析 四、推广型：偏移只是一个架子 回头看前三节，会发现它们其实在做同一件事：在「两个点取到同一个函数值」这个约束下，证明某个关于两点的式子成立。和型证的是和、积型证的是积、差值型证的是差 —— 换的只是结论这件外套，里子一直是那条约束。认清这一点，就能应付各种「不像偏移」的偏移题。 第一种换装是把「比大小」换成「求定值」。比如结论写成「两点满足某一个线性关系」，它看上去不像不等式，其实还是同一条约束推出来的，只不过最后一步不是估出一个界，而是解出一个数。一个常用的帮手是韦达定理：如果两个点恰好是某个二次方程（或能化成二次的方程）的两根，那么它们的和与积可以直接读出来，一步到位，根本不用换元。所以动手之前先看一眼：这两个点满不满足一个二次方程？ 第二种换装是把两个变量变成三个。三个点共用一个函数值，结论往往是三点的某个线性组合比大小。对付它的办法是「拆」：把它拆成两个「两点之和」，每一段用前面的办法单独处理，最后相加。拆的时候要留意有没有现成的对称性可用 —— 如果函数是偶函数，左右两支的点可以配对，三变量题会立刻退化成两变量题。 第三种换装是让「函数值相等」这件事换个说法：两个极值点、两条曲线的交点、方程的两个根，说到底都是「两点取值相同」。所以做陌生题时，第一件事永远是：把题目给的条件翻译成「哪两个量相等」，翻译对了，方法就自动浮出来了。 例7（解答·★★★★★） 已知函数 （）．若函数 有 1 个极值点 ，且 ，设 的两个零点分别为 ，（），证明：． 【切入点】题设给了三个事实： 有唯一极值点 ， 有两个零点 。先把第二个零点 认出来：，而 在 上单调递减、在 上单调递增，所以 。要证 ，这是个「极值点与零点比大小」的题 —— 结论不平移在两个零点之间，所以不能直接套对称构造。 【关键】第一段：把 的零点条件写成参数的样子。。 只有一个极值点 ，所以 ，即 。把它代回 ：。这样函数里就只剩 一个参数了。第二段：把「比自变量」换成「比函数值」。因为 在 上单调递增，且 、，两点同在递增段上，所以 等价于 。于是只需证 ，即。 【关键】第三段：把这个式子整理成一个更简单的命题。左边提出正因子 ：。由 得 ，所以只要证 。第四段：构造单变量函数证完。记 （）。。记 ，则 。 时 ，所以 ， 在 上单调递增。又 ，而 、，所以 ，所以 ，即 ， 在 上单调递增。又 ，所以 ，即 ，从而 ，。 【易错】三处要留意。第一， 要自己认出来 —— 是题目埋好的，认出它才知道要证的是 与 的关系。第二，把「比自变量」换成「比函数值」之前，必须说明 与 都在递增段上；这一步是把结论挂钩到「」的依据。第三， 这个数值判断要给出理由或验算，不能直接当显然。 【答案】证明见解析 变式7-1（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 ，且 ，证明：． 【切入点】三个点取同一个函数值，而且 里带着 ，直接求导会很乱。注意到 ，两边取对数不改变「相等」：等价于 ，其中 。再记 ，则三个条件变成 。 【关键】第一段：把三个点的位置定下来。当 时 ，，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。当 时 ，，所以 在 上单调递增。三个点取值相同，说明这个公共值大于 ，且 。第二段：把目标拆成两段之和。。下面分别给两段找下界。 【关键】第三段：第一段 。由 ：，移项得 。左边为正，所以 ，即 ，所以 。第四段：第二段 。由 ：。设 ，则 ，所以 ，，从而 。要证它大于 ，只要证 。记 ，，，由常用不等式 得 ，所以 ，。第五段：相加收口。两段合起来：，所以 。 【易错】三处要留意。第一， 时 ，求导是 ，所以 ；这一步的链式法则不能漏，否则单调性判反。第二， 取对数得到 ，两边的零点集合同样（都要求 ），所以「三个点取值相同」这个条件原样保留。第三，把三变量拆成两段之后，两段各自的下界要分别证，不能指望一次换元解决全部。 【答案】证明见解析 变式7-2（解答·★★★★★） 已知 （）．若 有三个极值点 ，，（），证明：． 【切入点】先把导数分解。。所以 的极值点由两部分组成：一定有一个 （来自因子 ），其余来自 的变号零点。 有三个极值点，说明 恰有两个变号零点，记为 、。 【关键】第一段：定出 与 的范围。。若 ，则 ， 单调，至多一个零点，与题设矛盾，所以 。此时 在 上递减、在 上递增，最小值 。要有两个零点，必须 ，即 。又 时 且 ，所以 ，即 的两个零点都大于 ，从而三个极值点中 最小，且 。第二段：把结论化简。（这里用了 ）。因为 、 都是正数，通分得 。所以只要证 。 【关键】第三段：换元把两个零点压成一个变量。由 得，。记 、，则两式变成 、，也就是 、，其中 。设 ，两式相除得 ，所以 ，从而 、。第四段：证明 。。记 ，则 等价于 。记 ，，（），所以 ，即 。于是 ，倒推回去得 。 【易错】四处要留意。第一， 分解后的两个因子要分别看： 贡献一个极值点 ， 贡献两个，合起来才是三个。第二， 的两个零点都大于 这一步不能省 —— 它是 最小的依据，也是后面通分时能确定符号的前提。第三，换元时用 而不是直接对 换元，因为 化成 的形式后，两式相除能把 消干净。第四， 这个辅助函数在本讲出现了多次（例 1 证对数平均时用过），说明「 与 比大小」是通用工具，值得记住。 【答案】证明见解析 例8（解答·★★★★★） 已知函数 ．设函数 ．若 为 的一个极值点，且 ，，证明： 为定值，并求出这个定值． 【切入点】先把 写开：。条件说 是 的一个极值点，又说 ，，要证 为定值。结论不是不等式，而是一个线性关系 —— 这种题通常不用换元，直接看方程的结构。 【关键】第一段：把条件翻译成「 的重根」。。 是极值点，所以 ，即 。于是多项式 满足「 时取值为零、且导数也为零」，所以 是它的因式。 【关键】第二段：因式分解，直接对系数。 是首项系数为 的三次多项式， 整除它；又由 且 知 也是一个根，所以 整除它。两者都是首项系数为 的三次多项式，故。第三段：比较二次项系数。右边展开后， 的系数是 （因为 ，乘以 后 项来自 与 ）。左边 的 系数与 相同，是 。所以 ，即 。这说明 恒等于定值 。 【易错】三处要留意。第一，「 是极值点」给出的不只是 ，还意味着 是 的二重因式 —— 后者才是能对上系数的关键，不能只写前半句。第二，为什么可以直接写等号而不是「整除」：两个都是首项系数为 的三次多项式，次数相同、首项相同，整除即相等。第三，这一类题的正解是对系数，不是换元；看到「证线性式为定值」就该想到韦达定理或系数比较。 【答案】证明见解析 学科网（北京）股份有限公司 $