几何法解决高考中立体几何空间角等问题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以几何法为核心，系统构建空间角（线线角、线面角、二面角）及距离问题的解题体系，通过定义-求法-典例逻辑链培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线线角|6题|平移法（异面直线平面化）|从定义出发，通过平移转化为三角形内角求解，体现空间到平面的转化思想| |线面角|14题|射影法（等体积求距离）|定义斜线与射影夹角，结合等体积法求高，强化空间垂直关系推理| |二面角|12题|定义法、三垂线法、射影面积法等|从平面角定义切入，提供五种方法适配不同图形特征，培养几何直观| |距离等问题|15题|体积法、转化法|综合应用空间角求法，解决距离、体积及存在性问题，提升运算能力与应用意识|

几何法解决高考中立体几何空间角等问题 一 线与线的夹角 异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 二 线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 三 二面角 （1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角） （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围． （3）二面角的求法 法一：定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3 法三：射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； 法四：补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题． 法五：垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． 例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少 一 线线角 1.（25-26高一下·内蒙古阿拉善·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 4.（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6.（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 二 线面角 7.（1）（2026·安徽合肥·模拟预测）在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． （2）（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． （3）（2026·山西忻州·模拟预测）在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． （4）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 8.（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台，其中，. （1）当时，求和平面所成角； （2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 9.（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 10.（2026·浙江·模拟预测）在多面体中，已知，，且，．    （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 11.（2026·四川雅安·模拟预测）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 12.（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与底面所成角的正弦值. 13.（2026·河北邢台·三模）如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD为平面四边形，四边形ABEF为平行四边形，R在线段CD上， P，Q分别为BF，FR的中点. （1）求证：PQ∥平面FAD. （2）若AF平面ABCD，AF=AB． （i）求四棱锥C-ABEF外接球的表面积； （ii）求直线AD与平面BCF所成角的大小. 14.（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．    （1）求证： （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值 （3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 三 面面角 15.（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． （1）设平面平面，证明：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 16.（2026·北京·高考真题）如图，在直三棱柱中，,分别为,的中点，，，． （1）求证：平面； （2）设点在的内部，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面．       注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17.（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18.（2026·云南昭通·二模）如图，在四棱锥中， （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面的夹角的正弦值． 19.（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 20.（2026·湖南长沙·一模）如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求平面与平面的夹角的正弦值. 21.（2026·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且．将四边形沿折起，，分别到达，位置． （1）求证：平面平面； （2）若折到某位置时，点在平面上的射影恰好落在线段上． ①求二面角的余弦值； ②设点，分别是四边形，内的动点，求的最小值． 22.（2026·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 23.（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 24.（2026·湖南浙江·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正弦值． 25.（2026·四川德阳·三模）如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F． （1）证明：平面ABCD； （2）求二面角的平面角的正弦值． （3）求多面体ABCDEF外接球的面积． 26.（25-26高三上·山东德州·期中）在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 27.（2025·河北邯郸·一模）如图，在四棱锥中，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； （3）若异面直线与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值. 四 距离等其它问题 28.（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 29.（26-27高三上·陕西西安·开学考试）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点．    （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 30.（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到的距离. 31.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 32.（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 33.（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在三棱锥中，为的中点．点在棱上，．      （1）在直线上是否存在点F，使得平面？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （2）若是边长为1的等边三角形，平面平面，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 34.（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 35.（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的正切值为，求四棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的余弦值的最小值． 36.（2025·山西晋城·模拟预测）已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.    （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 37.（2026·江西南昌·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为．    （1）求三棱锥体积的最大值； （2）在中，，． （i）当时，求证：； （ii）若与面所成角的正弦值为，求实数的值． 38.（2025·陕西西安·模拟预测）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： （1）设平面与平面的交线为，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 39.（2026·江苏无锡·三模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 40.（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 41.（25-26高一下·安徽合肥一中·期末）如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为，已知，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）若点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 几何法解决高考中立体几何空间角等问题 一 线与线的夹角 异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 二 线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 三 二面角 （1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角） （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围． （3）二面角的求法 法一：定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3 法三：射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； 法四：补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题． 法五：垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． 例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少 一 线线角 1.（25-26高一下·内蒙古阿拉善·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【详解】连结，交于点，取的中点，连结，因为点分别是和的中点，所以，所以异面直线与所成角为或其补角，设，则，，，，所以异面直线与所成角的余弦值为. 2.（2026·福建泉州·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，，， 在中，由余弦定理可得，，由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角，因为为等边三角形，所以直线与所成角为，即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 3.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，，异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角，设正方体的棱长为2，则，，在中，，，即是直角三角形，，即异面直线与所成角的余弦值为. 4.（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由于，所以，设分别是的中点，连接，则，所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角），在中，，所以，所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 5.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【详解】 作交于，如图，连接，则，又，所以，所以，所以是与所成的角或其补角，由，， 所以，，，所以，在中，，所以与所成角的余弦值为. 6.（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故，故或其补角即为直线与所成角，因为平面，平面，故，而，故，同理，而为中位线，故，而是边长为的等边三角形，，所以，在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 二 线面角 7.（1）（2026·安徽合肥·模拟预测）在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意可将该正三棱台补成一个正四面体，平面即为平面． 正四面体进一步又可以放到一个正方体内研究，设正方体棱长为2，，设点到平面的距离为，则，所以，则.设与平面所成角为，则． （2）（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，，取的中点，连接，是中点，是中点，，底面，故底面，是在底面的射影，是直线与底面所成角，   则，，， .底面，底面，，即是直角三角形，． （3）（2026·山西忻州·模拟预测）在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】取线段的中点，连接，，在正方体中，，分别为，的中点，所以 平面，所以与平面所成角为，因为，，，所以，所以，所以. （4）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【详解】解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得，结合等腰梯形可得,即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B. 8.（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台，其中，. （1）当时，求和平面所成角； （2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接，过分别作于于,连接,如图为在平面上的投影,由于平面，所以，由于平面，所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形,所以，为在平面上的投影,又因平面平面,所以和平面所成角即，,故和平面所成角为. （2）由正棱台性质,与上下底面均垂直,则，因为，平面，所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: 9.（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为且，，且， 所以平面.因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面，所以平面，故. （2）在 中，，在 中，，由（1）知，则.在 中，.在 中，. ， 为直角三角形，则.设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得：，即， 解得：.所以. 10.（2026·浙江·模拟预测）在多面体中，已知，，且，．    （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）如图，分别取，的中点、，连接、、，则且，   因为且，所以且则四边形为平行四边形，所以且，因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）取的中点为，的中点为，连接，，，如图所示，   因为，所以，在等腰梯形中，易得， 又因为，、平面，所以平面，因为平面， 所以平面平面，过作于点，由平面平面，平面， 则平面，连接，则就是直线与平面所成的角， 因为平面，所以，由，，得，，是中点，，在等腰梯形中，， 所以在等腰中，腰上的高，又因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为． 11.（2026·四川雅安·模拟预测）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为为线段的中点，所以，在等腰梯形中，作于，则由得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，平面，所以平面， 因为在平面内，所以，因为在平面内，所以平面. （2）因为，所以，取的中点，连接，则， 因为平面，平面PCA，所以，又，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，在正中，，又因为，在中，，所以，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. 12.（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，点满足. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与底面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为底面是边长为2的菱形，，所以，因为底面，底面，所以，所以， 因为，所以异面直线与所成角为，在中，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为点满足，所以点为的四等分点且靠近点C，所以点到平面的距离为，在中，，又，所以，所以，所以直线与底面所成角的正弦值为. 13.（2026·河北邢台·三模）如图，在多面体EFABCD中，四边形ABCD为平面四边形，四边形ABEF为平行四边形，R在线段CD上， P，Q分别为BF，FR的中点. （1）求证：PQ∥平面FAD. （2）若AF平面ABCD，AF=AB． （i）求四棱锥C-ABEF外接球的表面积； （ii）求直线AD与平面BCF所成角的大小. 【答案】(1)因为，分别为，的中点，所以 ，又在线段上， ， ，，所以，，所以，，且，所以，所以四边形为直角梯形，且，所以平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以 ，又 ，所以，又平面，平面，所以平面； （2） （i）若平面，平面，，则，又平面，平面，，所以平面，且四边形为正方形，所以四棱锥是棱长为的正方体的一部分，所以外接球的直径为棱长为的正方体的体对角线长，所以，所以四棱锥外接球的表面积为 ； （ii）因为四边形为正方形，所以，又由（i）可知平面，平面，所以，且，平面，所以平面，所以直线与平面所成角的正弦值为与所成角的余弦值，又易知，，所以直线与平面所成角的正弦值为 所以直线与平面所成角的大小为 14.（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．    （1）求证： （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值 （3）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为在平面内，所以  又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）因为，所以，所以  又因为为等腰直角三角形，为的中点，所以  取的中点为，连接，则，且，所以为异面直线，所成的角或其补角  在直角中，，所以，在中，，所以，直线与直线所成角的余弦值为． （3）设，则，   设，则．过点作的垂线，垂足为， 由于是确定的，所以当三棱锥的体积最大时，即为点到平面的距离最大， 即点到平面的距离最大．过点向作垂线，垂足为，又因为平面， 所以，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离．故， ，当，即时等号成立   此时，，则点到平面的距离为，故直线与平面所成角的正弦值为． 三 面面角 15.（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． （1）设平面平面，证明：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为为正方形，所以，又因为平面，面， 所以平面，又因为平面平面，平面所以 （2）连接，作，连接因为，，，面，， 所以面.又因为面，所以.又因为，，面，，所以面.因为面，所以.因为，面，面，所以为二面角的平面角.在中，，，，所以，所以， 所以二面角的余弦值为 16.（2026·北京·高考真题）如图，在直三棱柱中，,分别为,的中点，，，． （1）求证：平面； （2）设点在的内部，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面．       注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)解法一：取的中点，连接，， 因为分别为，的中点，则，且， 又因为为矩形，且为的中点，则，且，可得，且，可知为平行四边形，则，且平面，平面，所以平面； 解法二：设，的中点分别为，，连接，，，， 因为分别为，的中点，则，， 且平面，平面，所以平面，又因为分别为，的中点，则，且平面，平面，所以平面，又因为分别为，的中点，则，可得，可知四点共面，因为，平面，则平面平面，且平面，所以平面； （2）由（1）可知，则， 若选①：设，，的中点分别为， 可知为线段的中垂线，则，因为，由题意可知：平面，即平面，则，，可得，符合题意，取的中点，连接，设，因为，则，又因为平面，平面，则，且，平面，则平面，即平面，且平面平面，可得平面，且平面，可得， 过点作，且，平面，则平面，可得， 可知平面与平面的夹角为，由题意可知：，， 则，，则，， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 若选②：取的中点，连接，设， 因为，则，又因为平面，平面，则，且，平面，则平面，即平面， 且平面平面，可得平面，取的中点，连接，，可知， 设，可知点为的中点，因为，，可得平面，则，因为平面且平面，可得，过点作， 且，平面，则平面，可得，可知平面与平面的夹角为，由题意可知：，，则，，则，，所以平面与平面的夹角余弦值为. 17.（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【详解】（1）连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，又平面，平面，于是//平面. （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则，于是 （3）[方法一：几何法]过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.由题干数据可得，，，根据勾股定理，，由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.又平面，则，又，，平面，故平面.在中，，又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点到平面的距离为. ，. 由，即. 18.（2026·云南昭通·二模）如图，在四棱锥中， （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示：在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故；在三角形中，，又为中点，故，；在三角形中，，故；又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点，过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面，则，又，面，故面，又面，故；又面面，，面面，故即为平面与平面的夹角；在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；；由（1）知，，故三角形为等边三角形，；在三角形中，，又，故；又面面，故，故三角形为直角三角形；故.，故，故平面与平面的夹角的正弦值为. 19.（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【详解】（1）连接，设，则，，， 则，解得，则为的中点，由分别为的中点，  于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面. （2）由（1）可知，则，得，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面. （3）过点作交于点，设，由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，即有，又，即有， ，解得，同理得，于是，即有，则，从而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值为.      20.（2026·湖南长沙·一模）如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【详解】（1）记的交点为，的交点为，连接，因为是三角形的中线，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知，，，所以，所以，因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且，所以，所以，因为，所以，所以，，所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面. （3）由（2）知，，，所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以，所以四边形为平行四边形，，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以，则，又，， 所以，因为，所以即为平面与平面的夹角，所以. 21.（2026·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且．将四边形沿折起，，分别到达，位置． （1）求证：平面平面； （2）若折到某位置时，点在平面上的射影恰好落在线段上． ①求二面角的余弦值； ②设点，分别是四边形，内的动点，求的最小值． 【详解】（1）在翻折过程中，，平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面，，所以平面平面． （2）①如图，在平面内过点作，交于点，连接． 因为点是点在平面上的射影，所以平面，因为平面，所以， 又，，所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角，则翻折前、、三点共线，且， 所以，，所以． 延长至点，使，则，在平面中，过点作于， 由①知平面，即平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面，所以平面， 所以（当且仅当点与点重合，且点为线段与平面交点时取“”）， 因为，所以，所以，所以点在线段上， 所以点在四边形内，此时 ，综上，最小值即为，长为，所以的最小值为． 22.（2026·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）取线段的中点，连接，因为，，所以， 因为平面，所以平面，因为平面，所以； （2）作，垂足为，连接，因为，所以全等， 所以，，则或其补角为平面与平面所成角，设，则，因为平面平面平面，平面平面，，所以平面，因为平面，所以，则， 所以等腰底边上的高为，则，得，在中，故平面与平面的夹角的余弦值为. 23.（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 【详解】（1）由平面，平面，则，由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面，由平面，则平面平面； （2）由（1）知平面，平面，则，由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面，则平面，由平面，则，由且，则，所以，即为等腰三角形，又为等边三角形，取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面，则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，，所以，故，所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 24.（2026·湖南浙江·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点为，连接，由，所以， 又为正三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以； （2）作于，作交于，所以是二面角的平面角， 因为，是以为斜边的直角三角形，，所以，又为正三角形，所以，所以为的中点，所以，所以，又，所以，所以为的中点，所以，又是以为斜边的直角三角形，所以，在中，由余弦定理有：，所以. 25.（2026·四川德阳·三模）如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F． （1）证明：平面ABCD； （2）求二面角的平面角的正弦值． （3）求多面体ABCDEF外接球的面积． 【答案】(1)连接，，如图， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以四边形是矩形，所以，，又，分别为AB，CD的中点，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形， 又对角线，所以点E为线段的中点，同理，点F为线段的中点， 所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）连接，交EF于点N，连接，由题意知，故，所以, 同理可得，,所以即为二面角的平面角.又在中，，所以，同理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以. （3）取中点，连接，则由题意知平面，由外接球的性质可知，球心在或的延长线上，连接，若在线段上，， ，故，不合题意；故在线段的延长线上，设，则,因为，， 即，解得，所以，故外接球的面积. 26.（25-26高三上·山东德州·期中）在四面体中，底面、、 分别是的中点，点 在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明：取 的中点为 ，在线段上取点 ， 使得，连接、、.因为，所以， 所以，且.因为 和 分别为和 的中点，所以，且因此且，所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面，所以平面. （2）因为，所以．因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为故.连接． 因为分别是的中点，所以，又因为平面所以平面 过点 作，垂足为点 ，连接因为平面，且平面， 所以，又因为，且，所以平面.又因为平面，所以，又，所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以．故为直角三角形．在Rt中，，所以所以平面与平面的夹角大小为. 四 距离等其它问题 28.（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)由题意证明如下：如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面. （2）由题意及（1）得，在直三棱柱中，，，四边形与四边形是矩形，∴，，，∵，平面，平面，平面，∴平面，，∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角，直线与平面所成的角为，在中，，分别为，中点，，∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，，∴，在Rt中，，，为等腰直角三角形，过点作，则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 29.（26-27高三上·陕西西安·开学考试）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点．    （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)如图所示，取中点，连结，．由题意可知，，，且，．故且，故四边形为平行四边形．．，平面，平面，平面 （2）取中点O，连结，，，，    ， 由题意可知，平面，平面， 因此，而，，平面，平面．故平面，则为直线与平面所成角即，故，而，故．四棱锥的体积. 30.（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到的距离. 【详解】（1）由题意得，，且，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，故.又平面，所以平面，易知.在中，，所以.设点到平面的距离为，由， 得，得，故点到平面的距离为. 31.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【详解】（1）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以， 根据平面知识可知，又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即． 32.（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：在内任取一点P，过点P作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.过作于，同理可得，又平面，平面，，所以平面. （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面.又平面，所以再过点作于，连接，因为 ， 平面， 则平面，所以即为二面角的平面角.所以，又，故为等边三角形，所以，，故， 又中，，所以，故，所以，又为等边三角形，故，所以三棱锥的体积. 33.（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在三棱锥中，为的中点．点在棱上，．      （1）在直线上是否存在点F，使得平面？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （2）若是边长为1的等边三角形，平面平面，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【详解】（1）如图，延长线段至，使得，延长线段至，使得，连接.   为的中点，，.又，.又平面，平面，同理平面.又，平面，平面平面.又平面，平面. 存在点，位于线段的延长线上，且满足，使得平面 （2）在中，，为的中点，.又平面平面，平面平面，平面.平面.在中，过作交于，则平面，.，，即.在中，过作交于，则，连接.   平面.为二面角的平面角.又知二面角的大小为，.为等腰直角三角形，又由得.，..故三棱锥的体积为. 34.（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明如下：连接交于点，，，故为菱形，故，由长方体得平面，由平面，知；由，平面，平面，知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上，故直线与平面所成角即为，在中，， ，，故由余弦定理得，即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则，另一方面，故，综上所述，存在符合题意的点，. 35.（2025·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的正切值为，求四棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的余弦值的最小值． 【答案】(1)因为，为的中点，所以，延长交于点，连接， 因为，则，所以，所以，因为，则，在底面中，，，所以，因为为的中点，故为的中点，因为，即为的中点，所以，因为，即，故， 因为，、平面，故平面. （2）由（1）可知，因为平面，、平面，故，，所以，二面角的平面角为，因为，，所以， 过点在平面内作，垂足为点，则，故，由勾股定理可得，解得， 所以点到平面的距离为.由（1）可知， 因为，因此. （3）因为，故直线与平面所成角等于与平面所成的角，过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，故平面，所以，与平面所成的角为，在中，，，由正弦定理得， 故，当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦值的最大值为，即直线与平面所成角的余弦值的最小值为. 36.（2025·山西晋城·模拟预测）已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.    （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 【答案】(1)因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面，又平面，所以，因为四边形为菱形，所以，因为，、平面，所以平面，又平面，所以． （2）   如图，过在平面内作于，连接，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面， 又平面，所以，故为二面角的平面角，因菱形中，，则，，又是等边三角形，故，由，知，在中，，故二面角的正切值为. （3）因为，且平面平面，所以平面，所以到平面的距离即为到平面的距离，因为，所以，即，所以，设直线与平面所成的角为，则，，因正弦函数在第一象限单调递增，故要使最大，即使最大，则需使最小，此时，由对称性知，，所以，此时，故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，且最大角的正弦值为. 37.（2026·江西南昌·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为．    （1）求三棱锥体积的最大值； （2）在中，，． （i）当时，求证：； （ii）若与面所成角的正弦值为，求实数的值． 【详解】（1）因为平面，平面，所以.因为，所以. 又 平面，所以平面.因为平面，所以. 如图，把三棱锥放入长方体中，可得其外接球为长方体的外接球.设该外接球半径为，则 ，得 .又长方体的外接球半径为，所以 ，所以 .三棱锥的体积为 ，当且仅当时，等号成立. 所以三棱锥体积的最大值为.    （2）由（1）知， ，即，.由，得 ，所以. （i）当时，，所以为的中点.所以.又平面，平面， 所以.因为 平面，所以平面.因为平面，所以. （ii）三棱锥的体积等于的体积，记点到平面的距离为，则 ，得.因为，所以点到平面的距离为，又，所以与面所成角的正弦值为，化简得， ，所以或. 38.（2025·陕西西安·模拟预测）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： （1）设平面与平面的交线为，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：过点在平面内作，垂足为点，，，，则平面，平面，，，，平面， 平面，则，故当平面时，四棱锥的体积取最大值， ，，，平面， 因为，，为的中点，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，因为平面，平面平面，，因此，平面. （2）因为平面，与平面所成角为，因为平面，， 所以，，解得，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，解得或.因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 39.（2026·江苏无锡·三模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)由，为的中点，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，所以. （2）由是边长为1的等边三角形，得，则，作交于点，由平面，得平面，而平面，则，过作于，连接，平面，因此平面，又平面，则，为二面角的平面角，即，由，得， 而，则，，， ，，所以三棱锥的体积. 40.（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为四边形是正方形，所以，因为平面平面，所以，又平面，所以平面； （2）如下图所示，因为，则四点共面，延长交于E，延长交于F，易得平面平面，作，连接，因为平面平面，所以，又平面，所以平面，由平面，则，，即平面与平面夹角为，易知，所以，则，； （3）假设线段上存在点M满足题意，由平面平面，平面，平面，则，又平面平面，平面，平面，则， 所以，即是上靠近的三等分点，此时 41.（25-26高一下·安徽合肥一中·期末）如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为，已知，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）若点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置． 【答案】(1) 延长交于点，延长交于点，连接，因为平面，平面，所以，，所以，即是线段上靠近的三等分点，又因为平面，所以，，可得，即是线段上靠近的三等分点，因为为中点，可得是线段上靠近的三等分点，所以， 所以，又因为平面，平面，所以平面； （2） 在直角梯形中，，，，， 可得，在直角梯形中，，，，，可得，所以又因为为中点，所以，即，在平面中，，，， 可得，，所以， 所以，所以，又因为平面平面，所以是平面与平面的夹角的平面角，因为，，所以，即平面与平面的夹角的正弦值为； （3）因为，，，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，在三棱锥中，设的外心为，的外心为，过点作直线平面， 过点作直线平面，，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为，在中，，，，设外接圆半径为，则，解得，所以， 在平面中，四边形为矩形，即，在中，，设外接圆半径为，由正弦定理得，即，又因为， 所以要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小，因为在线段上，，所以，即三棱锥的外接球半径的最小值为，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，此时为线段上靠近的三等分点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $