第80讲正态分布与统计数字特征讲义-2027届高考数学一轮复习

第80讲 正态分布与统计数字特征 正态对称性·均值方差·百分位数·频率分布直方图 一、正态分布的对称性与概率 1. 正态分布三句话. 密度曲线关于 对称；；区间概率=曲线下面积——对称轴两侧等距区间概率相等，是全部计算的支点. 2. 3σ 原则与 σ 的意义. ； 越小曲线越"瘦高"、取值越集中—— 与 无关. 【通法】对称轴两侧等距等概率. 【通法】3σ 原则；σ 小则瘦高集中. 例1（解答·★★★★☆） 某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布．（1）求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率；（2）某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由．附：若，则，，． 【切入点】(1) ，故 。(2) 两次独立分类都超 99 分的概率 ，是千万分之一量级的极端小概率事件——小概率事件在一次试验中几乎不发生，居然连续两次发生，说明"正常情况下"的假设很可能不再成立，测试人员暂停排查的判断合理。 【关键】正态应用题的钥匙是"把给定点写成 "再套 3σ 数据；小概率原理（概率极小的事几乎不发生）是统计推断的语言——反证的思想藏在"异常判断"背后. 【答案】（1）；（2）判断合理 变式1（多选·★★★☆☆） 赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（ ） A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B. 已知优秀率为20%，则 C. 越大，的值越小 D. 越小，评分在的概率越大 【切入点】及格率 80% 即 ，故 ，，对称得 ，A 对。优秀率 20% 时 而非 85，B 错； 与 无关，C 错； 越小曲线越瘦高， 内面积越大，D 对。选 AD。 【关键】所有区间概率都从"对称轴到端点的半区"拼出来——先算 再镜像；"σ 变化只改胖瘦不改对称轴两侧的 "是 C、D 的判据. 【答案】AD 变式2（多选·★★★☆☆） 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（ ） A. B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C. D. 【切入点】：甲组更"瘦高"，，A 对；乙组更分散，B 错。C：，与 相加为 1，对。D：，D 错。选 AC。 【关键】密度函数值比较只看"离各自对称轴的标准化距离"——以 为单位越近峰值越高；对称性把 类等式一眼看穿. 【答案】AC 变式3（多选·★★★☆☆） 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】，对称轴 ，A 对；，B 对。抽查 4 件中落在 的件数 ：，C 错；，D 对。选 ABD。 【关键】两个等概率端点夹出对称轴——正态定 的最快通道；"逐件独立、同概率"接二项分布，正态与二项在这里握手（78 记二项、本讲正态）. 【答案】ABD 二、均值、方差与百分位数 1. 线性变换全家桶. ：均值 、中位数 、方差 、极差 ——中位数跟着平移伸缩、方差只吃 、与 无关. 2. 百分位数与分组数据. 第 百分位数： 为整数取第 、 项的平均，否则取第 项；直方图中位数=累积频率到 0.5 的位置，用"前组累计+组内比例插入"求. 【通法】y=ax+b：中位数平移，方差 a²s. 【通法】百分位数：np 整数取均，否则进一. 例2（多选·★★★☆☆） 设 的极差为，平均值为，中位数为m，方差为，，其中的极差为，平均值为，中位数为 ，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 保持大小次序：极差 （ 时反向），A 错；均值 ，中位数 ，B、C 对；方差 （ 消失），D 错。选 BC。 【关键】线性变换下四个数字特征各自的"账"——均值中位数带 、方差不带 、极差不带 且要加绝对值；记住"平移不动方差"这一条，其余逐条推. 【答案】BC 例3（填空·★★★★☆） 已知数据，，，的平均数为1，方差为2；数据，，，，，的平均数为2，方差为1．现将两组数据合并，则数据，，，，，，，，，的平均数为___________，方差为___________． 【切入点】合并均值按两组规模加权：。合并方差用"平方和守恒"：。 【关键】两组数据合并：均值=加权平均；方差=各组"方差+（组均值−总均值）²"的加权——多出来的平方项是组间离散度，别只加权组方差. 【答案】； 变式4（单选·★★★☆☆） 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 【切入点】；。选 D。 【关键】分层均值的方差公式 ——方差不加权平均，要补各组均值到总均值的偏离平方. 【答案】D 变式5（单选·★☆☆☆☆） 样本数据10，12，15，16，22，26，27，34的第分位数是（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 22 【切入点】 不是整数，取第 5 个数据——第 60 百分位数为 22。选 D。 【关键】百分位数口诀："整数取均、小数进一"—— 进到第 5 项；数据必须先从小到大排队. 【答案】D 变式6（多选·★★★☆☆） 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】A：排序后原中位数与去极值后都是 ，对。B：，可取等，错。C：，故 ，对。D：，对。选 ACD。 【关键】"去掉两端"后均值不变是本题的隐藏福利——方差分解成"剩余部分+两端贡献"； 一式串起 C、D 两项. 【答案】ACD 变式7（单选·★★★☆☆） 有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中（）则两组样本数据的数字特征不一定相同的是（ ） A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差 【切入点】 是关于均值的"翻转"：，中位数 变 （次序全反），方差不变、极差不变。选 A。 【关键】关于均值翻转是线性变换 的特例——均值归零、方差与极差不变，只有"位置类"数字特征（均值、中位数）改变. 【答案】A 变式8（多选·★★★☆☆） 有一组样本数据，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（ ） A. 两组数据的极差一定相等 B. 两组数据的平均数一定相等 C. 两组数据的中位数可能相等 D. 两组数据的方差不可能相等 【切入点】B：新数据之和 与原数据相同，均值一定相等，对。A：反例 变 极差变了，错。C：同反例中位数由 3 变 2.5 再取它组可能相等——可能相等，对。D：反例 变 两组完全相同，方差可能相等，错。选 BC。 【关键】"一定/可能/不可能"三档判断全部用反例说话——找一个数据集推翻"一定"，找两个数据集支持"可能"；平移不对称（前两减后两加）时均值不变是唯一确定的. 【答案】BC 变式9（多选·★★★☆☆） 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 【切入点】A：极差为 ，对。B：方差为 ，对。C： 为整数，第 80 百分位数是 ，错。D：两组平均数 ，对。选 ABD。 【关键】递增数据的百分位数当 为整数时取相邻两项平均——C 是最典型的设错点；线性变换后两组数据合在一起的均值就是两个均值的平均（组大小相等时）. 【答案】ABD 三、频率分布直方图与二项收口 1. 直方图三算. 频率=纵坐标×组距；中位数=累积频率 0.5 的横坐标（在组内按比例插入）；平均数=每组中点值×频率求和. 2. 频率估计概率. 直方图给出某事件的频率 后，"抽取 个中该事件发生数"即 ——统计图表与二项分布的接口，期望方差直取 、. 【通法】直方图：频率=纵×距，中位插入. 【通法】频率估概率→二项 E=np. 例4（解答·★★★★☆） 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图． （1）求直方图中的值；（2）估计该小区用户月用电量的中位数；（3）用频率估计概率，假设各户月用电量是否小于相互独立，从该小区随机抽取10户居民用户，表示月用电量小于的户数，求． 【切入点】(1) 频率和为 1：，。(2) 前两组累计 、前三组累计 ，中位数在 内：，。(3) 用电量小于 150 的频率 估作概率，，。 【关键】直方图三算一流程：小矩形面积=频率→累积到 0.5 插中位数→"频率估概率"接二项分布；(2) 的插入公式 是标准动作. 【答案】（1）；（2）；（3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第80讲 正态分布与统计数字特征 正态对称性·均值方差·百分位数·频率分布直方图 一、正态分布的对称性与概率 1. 正态分布三句话. 密度曲线关于 对称；；区间概率=曲线下面积——对称轴两侧等距区间概率相等，是全部计算的支点. 2. 3σ 原则与 σ 的意义. ； 越小曲线越"瘦高"、取值越集中—— 与 无关. 例1（解答·★★★★☆） 某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布．（1）求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率；（2）某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由．附：若，则，，． 变式1（多选·★★★☆☆） 赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（ ） A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B. 已知优秀率为20%，则 C. 越大，的值越小 D. 越小，评分在的概率越大 变式2（多选·★★★☆☆） 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（ ） A. B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中 C. D. 变式3（多选·★★★☆☆） 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. C. D. 二、均值、方差与百分位数 1. 线性变换全家桶. ：均值 、中位数 、方差 、极差 ——中位数跟着平移伸缩、方差只吃 、与 无关. 2. 百分位数与分组数据. 第 百分位数： 为整数取第 、 项的平均，否则取第 项；直方图中位数=累积频率到 0.5 的位置，用"前组累计+组内比例插入"求. 例2（多选·★★★☆☆） 设 的极差为，平均值为，中位数为m，方差为，，其中的极差为，平均值为，中位数为 ，方差为，则（ ） A. B. C. D. 例3（填空·★★★★☆） 已知数据，，，的平均数为1，方差为2；数据，，，，，的平均数为2，方差为1．现将两组数据合并，则数据，，，，，，，，，的平均数为___________，方差为___________． 变式4（单选·★★★☆☆） 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 变式5（单选·★☆☆☆☆） 样本数据10，12，15，16，22，26，27，34的第分位数是（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 22 变式6（多选·★★★☆☆） 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★★☆☆） 有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中（）则两组样本数据的数字特征不一定相同的是（ ） A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差 变式8（多选·★★★☆☆） 有一组样本数据，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（ ） A. 两组数据的极差一定相等 B. 两组数据的平均数一定相等 C. 两组数据的中位数可能相等 D. 两组数据的方差不可能相等 变式9（多选·★★★☆☆） 一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（ ） A. ,,,,的极差为12 B. ,,,,的方差为16 C. ,,,,的第80百分位数为 D. ,,,,,,,,,的平均数为5 三、频率分布直方图与二项收口 1. 直方图三算. 频率=纵坐标×组距；中位数=累积频率 0.5 的横坐标（在组内按比例插入）；平均数=每组中点值×频率求和. 2. 频率估计概率. 直方图给出某事件的频率 后，"抽取 个中该事件发生数"即 ——统计图表与二项分布的接口，期望方差直取 、. 例4（解答·★★★★☆） 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图． （1）求直方图中的值；（2）估计该小区用户月用电量的中位数；（3）用频率估计概率，假设各户月用电量是否小于相互独立，从该小区随机抽取10户居民用户，表示月用电量小于的户数，求． 学科网（北京）股份有限公司 $