第75讲 概率与统计的综合应用·讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦概率与统计综合应用，覆盖条件概率、离散型随机变量、正态分布、独立性检验及概率与数列递推等核心考点，按“概念-模型-综合应用”逻辑构建知识体系。通过考情分析明确命题规律，知识清单梳理核心概念，典题精练分考点突破，高考真题强化实战，形成系统复习链条。 讲义突出情境化与模型化教学，结合抽卡片游戏、医疗检验等实际情境构建概率模型，培养学生数据观念与模型意识。设置“考法+方法总结”模块，如用导数法求期望最值、全概率公式建立递推关系，提升推理能力与运算能力。分层练习与真题训练结合，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生综合解题与应考能力。

第75讲 概率与统计的综合应用 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 3 考点一：概率统计核心概念与数据分析应用 3 考点二：离散型随机变量的分布列与期望决策 10 考点三：复杂赛制与游戏规则的概率分析 21 考点四：概率与数列递推的综合应用 28 四、高考真题 39 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第9题 多选 第14题 填空 11分 直接考察 正态分布的性质与概率计算、离散型随机变量的期望 2025 第14题 填空 第15题 解答 18分 直接考察 离散型随机变量的期望、独立性检验 2026 第1题 单选 第8题 单选 第17题 解答 25分 直接考察 中位数、古典概型与期望、离散型随机变量的分布列与条件概率 2. 命题角度与特色 （1） 注重基础概念与模型的考查，如正态分布、独立性检验、古典概型等. （2） 强调概率统计与实际情境的结合，如抽卡片游戏、投篮练习、超声波检查等. （3） 突出期望的计算与条件概率、全概率公式的综合应用. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握概率统计的核心概念与常见模型，如二项分布、超几何分布、正态分布等. （2） 强化对复杂情境的分析能力，准确提取信息，建立概率模型求解. （3） 重视条件概率与全概率公式的理解与应用，提高综合解题能力. 二、知识清单 1. 随机事件的概率与条件概率 （1） 条件概率：已知事件 发生的条件下事件 发生的概率，记为 ，公式为 （其中 ）. （2） 乘法公式：. （3） 全概率公式：设事件 是一组完备事件组，且 ，则对任意事件 ，有 . 2. 离散型随机变量及其数字特征 （1） 数学期望与方差的性质： ① . ② . ③ 若 相互独立，则 ，. （2） 常见分布的数字特征： ① 若 ，则 ，. ② 若 服从参数为 的超几何分布，则 . 3. 正态分布 （1） 若随机变量 ，则其密度曲线关于直线 对称. （2） 原则： ① . ② . ③ . 4. 统计与数据分析 （1） 独立性检验：用于判断两个分类变量是否相关.统计量 ，其中 . （2） 经验回归方程：，其中 ，.经验回归直线必过样本中心点 . 5. 概率统计综合应用常见模型 （1） 决策与期望模型：常以保险问题、纳税问题、彩票问题、道路通行等为背景，核心是构建收益、损失或时间的随机变量 ，通过计算数学期望 进行方案比对与最优化决策. （2） 体育比赛与赛制模型：常涉及单循环赛、淘汰赛、多局胜负制（如五局三胜）等.需利用独立重复试验、条件概率等知识，分析比赛结束的局数或最终胜负的概率，有时需结合排列组合分析出场顺序排位问题. （3） 医疗与疾病检验模型：常结合独立性检验、条件概率（如误诊率、漏诊率、阳性预测值）进行考查，或利用二项分布分析群体发病情况. （4） 概率与数列递推模型（马尔可夫链基础）：在动态变化过程（如高尔顿板、随机游走、硬币游戏、博彩问题等）中，第 次的状态仅与第 次的状态有关.常利用全概率公式建立概率 与 或期望 与 的递推关系，进而转化为等差或等比数列求解. 【防坑警示】 ① 在处理条件概率时，务必分清“在 发生的条件下 发生”的概率 与“ 和 同时发生”的概率 的区别. ② 利用全概率公式建立递推关系时，要准确找到状态转移的节点，确保分类不重不漏. 三、典题精讲 考点一：概率统计核心概念与数据分析应用 考法1：概率统计核心概念的综合判断 1.（2026·山东菏泽·一模）（多选）下列说法正确的有（　　） A. 已知，若，则 B. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为2 C. 已知样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若，是两个随机事件，，，，则 【答案】ACD 【思路】根据正态分布的对称性判断A；利用方差的性质判断B；根据残差的定义列出等式求解判断C；利用条件概率公式及相互对立事件的概率公式计算判断D. 【解析】对于A，， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，样本点的残差为， 样本点的残差为， 由残差相等可得，可得，故C正确； 对于D，，， ，，故D正确. 考法2：频率分布直方图与概率分布的综合应用 2.（2025·河北NT20·二模）为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”. （1） 试求频率分布直方图中的值； （2） 用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3） 从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在100～120分钟之间的学生数，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2） （3） 分布列见解析，期望为 【思路】（1） 根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1列方程求解；（2） 设出事件，利用条件概率公式进行计算；（3） 确定随机变量的可能取值，求出对应的概率，列出分布列并计算数学期望. 【解析】（1） 由频率分布直方图可知， 解得 （2） 设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件， “该学生是‘运动爱好者’”为事件， 则， 所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为 （3） 由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在100～120分钟之间的学生有5人 所以. ，， 的分布列为 0 1 2 . 3.（2026·湖南长沙·模拟）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为. 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. （1） 当漏诊率时，求临界值和误诊率； （2） 设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值. 【答案】（1） 临界值，误诊率 （2） ，最小值为 【思路】（1） 根据漏诊率的定义，结合患病者的频率分布直方图建立关于的方程求解，再代入未患病者的直方图计算误诊率；（2） 分和两段，分别写出和的表达式，求和得到分段函数，利用一次函数的单调性求最小值. 【解析】（1） 依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， . （2） 当时， ； 当时， ， 故， 所以在区间的最小值为. 考法3：独立性检验与概率统计的综合应用 4.（2025·河北沧衡八县·一模）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1） 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2） 若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响. （i） 用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望； （ii） 记有人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 5.1 6.05 7.01 8.005 9.001 10.706 11.841 12.635 13.879 14.828 【答案】（1） 列联表见解析，能认为满意程度与性别有关系 （2） （i） ；（ii） 12 【思路】（1） 根据总计关系补全列联表，代入公式计算并与临界值比较得出结论；（2） （i） 先计算单人进入总决赛的概率，再利用二项分布的期望公式求解；（ii） 构建的表达式，利用作商法或解不等式组求最大项对应的值. 【解析】（1） 列联表如下： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 零假设为：满意程度与性别无关系. ， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2） （i） 依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， ， 依题意，，所以. （ii） 依题意，，. 若最大，则， 解得， 因为，所以. 所以取最大值时的值为12. 5.（2025·河北沧州·二模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式. 为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1） 依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2） 某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束. 规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜. 两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为. （i） 求比赛结束后甲获胜的概率； （ii） 求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附：，其中. 16.1 17.05 18.01 19.005 20.001 21.706 22.841 23.635 24.879 25.828 【答案】（1） 能认为DeepSeek的使用情况与学历有关 （2） （i） ；（ii） 【思路】（1） 提出零假设，代入公式计算值，与临界值比较得出结论；（2） （i） 分析单道题甲得分的分布列，再求出3道题总得分为正数的各种情况概率之和；（ii） 利用条件概率公式，分别求出交事件的概率和条件事件的概率，作商求解. 【解析】（1） 零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关. 根据列联表中的数据，可得 . 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关. （2） （i） 当甲、乙同时回答第道题时，甲得分为， ，，. 比赛结束后甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30. 则，， . 所以比赛结束后甲获胜的概率 . （ii） 设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”， 则. 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 6.（2026·河北八省八校·联考）甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为. 现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击. （1） 前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； （2） 若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为. ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为. 求. 【答案】（1） （2） ①；② 【思路】（1） 分析前3次射击中丙未射击的情形，利用独立事件概率乘法公式求解；（2） ①根据全概率公式建立递推关系，构造等比数列求通项；②将分解为每次射击指示变量的和，利用期望的线性性质求和. 【解析】（1） 依题意得前两次射击情形为甲命中，乙未命中，其概率为. （2） ①依题意得， 且， 故，且， ， 综上所述，. ②设第次射击时，丙射击的次数为，则的可能取值为0，1. ， . 【考点一 方法总结】 1. 概率统计核心概念的判断：需熟练掌握正态分布的对称性及 原则，方差的线性性质 ，以及经验回归直线的性质. 2. 频率分布直方图的应用：利用直方图面积和为1求参数，结合组中值估算平均数，并能根据频率转化为概率进行条件概率或分布列的计算. 3. 独立性检验：准确提取数据构建 列联表，代入公式计算 值，并与临界值比较得出结论. 考点二：离散型随机变量的分布列与期望决策 考法4：实际情境下的分布列与期望求解 7.（2026·安徽安庆·二模）某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若棋手输给机器人，则棋手得分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1分，则棋手获胜. 在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为0.3，棋手输给机器人的概率为0.5，平局的概率为0.2. 每局比赛的结果互不影响. （1） 求三局比赛结束后棋手得2分的概率； （2） 在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金1000元，输给机器人或平局都没有奖金. 记三局比赛结束后棋手获得的奖金为元，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） 0.054 （2） 分布列见解析，数学期望为900元 【思路】（1） 分析得2分的局势构成，利用独立重复试验概率公式求解；（2） 确定奖金与赢局数的关系，利用二项分布求出分布列，进而计算数学期望. 【解析】（1） 记事件“三局比赛结束后棋手得2分”，即棋手在三局比赛中赢了2局，平了1局， 则概率为. （2） 记表示三局比赛结束后棋手恰好赢局，则， ， ， ， ， 所以， 0 1000 2000 3000 28.343 29.441 30.189 31.027 则（元）， 所以三局比赛结束后棋手获得的奖金的数学期望为900元. 8.（2026·山东枣庄·模拟）为促进销售，某生产商联合超市对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动. 规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”. 记消费者答题闯关成功的概率为. 已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. （1） 消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； （2） 已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的，“进阶优惠券”面额的. 记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为. 已知，商品成本为41元. 试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润消费者购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望 【答案】（1） 分布列见解析， （2） 最大值为6.7，此时 【思路】（1） 列举实际支付金额的所有可能取值，计算对应概率，列出分布列并求期望；（2） 根据题意构建期望利润函数，利用导数研究其单调性，求出最大值及对应的值. 【解析】（1） 依题意，的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， . 分布列为： 100 90 80 70 60 33.2 34.24 35.16 36.24 37.16 数学期望为：. （2） （ⅰ） 期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为： ； 优惠券成本的期望为 . . （ⅱ） 令. 解得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 在内存在唯一极大值点， 又， 当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元. 9.（2026·安徽阜阳·一模）某学校为了了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示. 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得，且该校现有在读学生1万人.（近似替代时按四舍五入保留到整数位） （1） 试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2） 该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助. 具体赠送方案如下： 方案1：每人每月人均赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补. 如果方案二比方案一支出不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】（1） 0.8186 （2） 能，理由见解析 【思路】（1） 先利用组中值估计样本平均数，确定正态分布参数，再利用正态分布的对称性及原则计算概率；（2） 分别计算两种方案的总支出期望值，作差比较并计算百分点，得出结论. 【解析】（1） 由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575. ， 根据要求，， 由题知， 所以，，， 因此 . （2） 已知月度餐费，总学生人数为10000人. 方案一，每人补助100元，总补助为万元； 方案二，按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，， 元 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元万元万元 且 所以方案二比方案一支出高29.519个百分点，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二. 考法5：期望比较与方案决策分析 10.（2026·山东德州·模拟）甲、乙两人玩轮流掷骰子(质地均匀)的游戏，游戏规则为：①每次掷一枚骰子；②若甲掷出的点数小于5，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数，则下一次仍由乙掷骰子，否则下一次由甲掷骰子. 现由甲第一次抛掷. （1） 记前3次中甲掷骰子的次数为，求的分布列与数学期望； （2） 记第次由乙掷骰子的概率为. （i） 证明：数列为等比数列； （ii） 求数列的前项和. 【答案】（1） 分布列见解析，期望为 （2） （i） 证明见解析；（ii） 【思路】（1） 分析前3次掷骰子的所有可能情形，计算对应概率，列出分布列并求期望；（2） （i） 利用全概率公式建立与的递推关系式，构造等比数列证明；（ii） 根据等比数列通项公式求出，再利用分组求和法求前项和. 【解析】（1） 用表示事件“甲掷出的点数小于5”，表示事件“乙掷出的点数为偶数”， 则， （1） 由题设的所有可能取值为1，2，3. 由 故的分布列为 1 2 3 （2） 由题设得 （i） 即 又因为，所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列 （ii） 由（i）得，故 所以 . 11.（2026·江苏栖霞联盟·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动.消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. （1） 若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2） 设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）.（期望利润=购买概率（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【答案】（1） 分布列见解析，80.8 （2） （ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元. 【思路】（1） 明确实际支付金额的可能取值，计算对应概率，列出分布列并求期望；（2） 根据期望利润的定义构建函数模型，利用导数研究其单调性与极值，从而求出最大期望利润. 【解析】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， . 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 41.2 42.24 43.16 44.24 45.16 数学期望为：. （2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为： ； 优惠券成本的期望为 . ∴ . （ⅱ） 令.解得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； ∴在内存在唯一极大值点， 又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元. 考法6：条件概率与全概率公式的综合应用 12.（2026·湖南炎德英才·模拟）为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下： 第二轮答对 第二轮答错 合计 第一轮答对 60 20 80 第一轮答错 10 10 20 合计 70 30 100 （1） 从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率； （2） 正式竞赛规则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮(不可查看第二轮题目后再作决策). ②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束. 已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计. 小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程. 【答案】（1） （2） 小张应选择放弃第二轮的策略，分析过程见解析 【思路】（1） 根据表格数据，利用条件概率公式计算；（2） 分别计算“放弃第二轮”和“作答第二轮”两种策略下最终得分的期望，比较大小后得出结论. 【解析】（1） 设事件：第一轮答对，事件：第二轮答对. 由表中数据，，， 所以. （2） 由模拟测试频率，小张第一轮答对的概率，第二轮答对的概率，且两轮相互独立. 若选择第一轮答对后放弃第二轮，则最终得分的分布为： 第一轮答错（概率0.2），得0分； 第一轮答对（概率0.8），得9分. 期望. 若选择第一轮答对后作答第二轮，则最终得分的分布为： 第一轮答错（概率0.2），得0分； 第一轮答对且第二轮答对（概率），得10分； 第一轮答对且第二轮答错（概率），得5分. 分布列如下： 0 5 10 47.2 48.24 49.56 期望. 因为，所以小张应选择放弃第二轮的策略. 13.（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. （1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； （2）证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； （3）如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【思路】（1） 分别计算“不换门”和“换门”中奖的概率，比较大小说明；（2） 设山羊门数为，计算换门和不换门的中奖概率，作差比较证明；（3） 计算换门的中奖概率，建立投入值得的不等式求解的范围. 【解析】（1）如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，故：应该换门. （2）假设山羊门数为（），如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门比不换门中奖概率更高. （3）不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元时值得的，须有：. 整理得：. 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 考法7：导数法求概率期望最值 14.某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品. 已知这种电子元件次品率为0.01，且这种电子元件是否为次品相互独立. 现要检测3000个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，设每组有个电子元件，将每组的个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件是次品，再对本组个电子元件逐一检测. （1） 当时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率； （2） 设一组电子元件的检测次数为，求的数学期望； （3） 估算当为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数(提示：利用进行估算). 【答案】（1） 0.05 （2） （3） 时，检验次数最小，此时总检验次数为600次 【思路】（1） 利用对立事件概率公式和近似计算公式估算；（2） 确定检测次数的可能取值，求出分布列并计算期望；（3） 构造每个元件平均检测次数的函数，利用近似计算求出最值点. 【解析】（1） 设事件A：一组待检测电子元件中由次品，则事件表示一组待检测电子元件中没有次品； 因为 所以 （2） 依题意，的可能取值为 分布列如下： X 1 P 所以的数学期望为： （3） 由（2）可得：每个元件的平均检验次数为： 因为 当且仅当时，检验次数最小 此时总检验次数(次) 考法8：概率模型与不等式的综合证明 15.（2026·山东菏泽·一模）甲参与了一个有奖闯关游戏，游戏共设置3关，他每次从装有1个红球，2个黑球，3个黄球的袋中有放回地摸出1个球（这些球除颜色外完全相同），规则如下：过第一关时，若摸到黄球则前进到第二关，否则留在第一关；过第二关时，若摸到黑球则前进到第三关，否则留在第二关；过第三关时，若摸到红球则通关成功，游戏结束，否则留在第三关.假设甲的摸球次数不受限制. 参考公式：若，则. （1）求甲摸球3次恰好通关成功的概率； （2）已知，是随机变量，则，现用表示“甲通关成功所需的摸球次数”，求； （3）设甲摸球次后通关成功的概率为，求出与的递推关系式，并证明. 【答案】（1） （2）11 （3），证明见解析 【思路】（1） 每一关都一次通过即为摸球3次恰好通关，利用独立事件概率乘法公式计算；（2） 将总次数分解为每一关所需次数之和，利用参考公式分别求期望后相加；（3） 设出停在各关的概率，利用全概率公式建立递推关系，化简得到的递推式，再利用放缩法证明不等式. 【解析】（1）每一关都一次通过则刚好摸球3次恰好通关，直接计算即可； （2）设表示甲从第关过关所需的摸球次数 则,所以 ,所以 所以 由， 得 【小问3详解】 设甲摸球次通关成功的概率为，摸球次停在第3关的概率为，摸球次停在第2关的概率为， 则 由， 可得 又因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以，，所以时成立， 所以 又当时， 所以 【考点二 方法总结】 1. 分布列与期望求解：明确随机变量的所有可能取值，利用古典概型、独立重复试验等公式计算对应概率，列表并利用公式 求解. 2. 方案决策分析：分别计算不同方案下的收益或支出的数学期望，通过比较期望值的大小或构建关于概率 的函数求导求最值，从而做出最优决策. 3. 条件概率与全概率公式：设出相关事件，准确识别“已知条件”，利用 计算.对于复杂过程，利用全概率公式将复杂事件分解为互斥的简单事件. 4. 导数法求概率最值：将概率或期望表示为某个参数（如概率 ）的函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出极值和最值. 考点三：复杂赛制与游戏规则的概率分析 考法9：淘汰赛与多局赛制的概率综合计算 16.（2026·广东东莞·一模）（多选）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为. 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为，记“第次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为，则以下结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】根据条件概率定义判断A；利用全概率公式计算判断B；列出的所有可能情况求概率判断C；求出的分布列，计算期望判断D. 【解析】事件表示第次投篮的是甲，表示第次投篮的是乙. ，. 甲命中率，未命中率. 乙命中率，未命中率. 对于A选项：表示第1次是乙投篮的条件下，第2次是甲投篮的概率.这说明第1次乙未命中，概率为.故A正确. 对于B选项：. 表示第1次甲投篮，第2次也是甲投篮，说明第1次甲命中，概率为. 所以.故B错误. 对于C选项：为前3次中甲投篮的次数.意味着前3次中只有1次是甲投篮. 可能的情况有：甲乙乙，乙甲乙，乙乙甲. 甲乙乙：第1次甲，第2次乙（甲未命中），第3次乙（乙命中）. 概率为. 乙甲乙：第1次乙，第2次甲（乙未命中），第3次乙（甲未命中）. 概率为. 乙乙甲：第1次乙，第2次乙（乙命中），第3次甲（乙未命中）. 概率为. 所以.故C正确. 对于D选项：求的取值可能为0,1,2,3. ：乙乙乙.概率为. ：甲甲甲.概率为. ：甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲. 甲甲乙：. 甲乙甲：. 乙甲甲：. . .故D正确. 17.（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计. 具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0,2,6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2,0,2,6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1） 求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2） 若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； （3） 从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】（1） （2） 分布列见解析，期望为 （3） 应该选择参加游戏Ⅱ，理由见解析 【思路】（1） 根据古典概型直接计算抛三枚硬币图案相同的概率；（2） 先求出单人前两局均未获胜的概率，再利用二项分布求的分布列与期望；（3） 分别计算两个游戏奖金的期望，比较大小得出结论. 【解析】（1） 游戏Ⅰ第2局获胜的概率. （2） 游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为， 第1局和第2局均没获胜的概率为， ， ，， ，， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望（或）. （3） 游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为，第3局获胜的概率为， 参加， 游戏Ⅱ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为， 第3局获胜的概率为， ， ， 从奖金期望角度来看，应该选择参加游戏Ⅱ. 18.（2026·山东德州·二模）某社区举行乒乓球比赛，现有甲、乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. （1）若，求乙获得冠军的概率； （2）记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； （3）记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 【答案】（1）0.0272 （2） （3） 【思路】（1） 利用对称性求出除甲外其他选手夺冠的概率；（2） 分析甲乙在第轮相遇的条件，结合等比数列求和公式计算；（3） 结合第轮相遇的概率，乘以后续乙夺冠的概率，再求和. 【解析】（1）记：事件A为“甲获得冠军”，事件B为“乙获得冠军”，则， 由对称性知：除甲以外的所有选手获得冠军的概率相同， 因此， 解得， 所以乙获得冠军的概率为. （2）由对称性不妨设甲编号为1，若乙在第轮比赛中与甲对战，则抽签时乙的编号，其概率为， 甲和乙在第轮之前不被淘汰的概率分别为，， 所以， 所以. 该结果表示甲与乙在整场比赛中对战过的概率. （3）设表示甲与乙在第轮比赛对战过且乙获得冠军的概率， 则， 所以. 考法10：比赛出场顺序与策略优化决策 19.为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立. 根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表： 乙 丙 丁 比赛的次数 60 60 50 甲获胜的次数 20 30 40 以上表中的频率作为概率，求解下列问题. （1） 如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛. (ⅰ) 求甲至少胜一场的概率； (ⅱ) 如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为，求的分布列与期望； （2） 记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为，那么以什么样的出场顺序才能使概率最大，并求出的最大值. 【答案】（1） (ⅰ) ；(ⅱ) 分布列见解析，期望为 （2） 出场顺序为丙丁乙或乙丁丙时概率最大，最大值为 【思路】（1） （i） 利用对立事件求至少胜一场的概率；（ii） 确定得分的可能取值，计算对应概率，列出分布列求期望；（2） 列举所有可能的出场顺序，分别计算连胜两场的概率，比较得出最大值. 【解析】（1） 甲与乙比赛获胜概率为；与丙比赛获胜概率为； 与丁比赛获胜概率为； (ⅰ) 则甲至少胜一场的概率 (ⅱ)的可能取值为0，2，4，6 则， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 2 4 6 P （2） 若出场顺序为乙丙丁：； 若出场顺序为乙丁丙：； 若出场顺序为丙乙丁：； 若出场顺序为丙丁乙：； 若出场顺序为丁丙乙：； 若出场顺序为丁乙丙：； 故出场顺序为丙丁乙或乙丁丙时概率最大，最大值为. 考法11：新定义情境与特殊模型的概率计算 20.（2026·湖北云学联盟·模拟）现有（）个互不相同的点.这个点中任意两点之间都被随机赋予一个数值，且这对点之间的数值恰好为1，2，…，，这个互不相同的整数.对于每个点，它会在其余个点中，选择与之对应数值最大的点作为自己的“目标点”.若点A的目标点是点B，且点B的目标点也是点A，则称A与B构成一对“双向目标点”. （1）现有A，B，C，D四个互不相同的点，求点A与点B互为“双向目标点”的概率； （2）当时，设这4个点中构成的“双向目标点”的对数为，求的分布列与数学期望； （3）对于任意给定的（），设这个点中构成的“双向目标点”的对数为，求关于的表达式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望值为 （3） 【思路】（1） 明确互为“双向目标点”的充要条件，计算关联数值个数，利用古典概型求概率；（2） 确定对数的可能取值，计算对应概率，列出分布列求期望；（3） 引入指示变量，利用期望的线性性质，求出任意两点构成“双向目标点”的概率后求和. 【解析】（1）设所有对点之间的数值集合， 其中. 由于数值分配是完全随机的，则任取一对点，其两点间数值取集合中任意一个值的概率均为， 4个点共有对点之间有数值，点与点互为＂双向目标点＂的充要条件： 点与点之间的数值是所有与点或点关联的数值中最大的. 与点关联的数值有3个，与点关联的数值有3个，其并集共有个互不相同的数值， 在完全随机分配的情况下，这5个数值中每一个数值都有相等的机会获得其中的最大数值. 因此，点和点互为＂双向目标点＂的概率. （2）设这4个点中构成的＂双向目标点＂的对数为， 所有6对点之间的数值中必定存在一个最大值，取得该最大值的两个点必定互为＂双向目标点＂，则. 因为共有4个点，最多只能构成2对＂双向目标点＂， 所以的所有可能取值为1,2. 当时，意味着这4个点构成了两对没有公共顶点的＂双向目标点＂， 此时所有6个数值中最大的两个数值恰好分配给互不相交的两对点. 将4个点分为互不相交的两对点，共有种分法. 从6对点中任选两对点被赋予最大的两个数值. 因为这两对点互不相交，其余的4条边必然是连接这两对点的边， 所以只要这两条不相交的边对应6个数值中最大的2个， 那么与它们关联的任何其他边的数值必然小于这两个最大值， 从而满足这两对点均满足＂双向目标点＂的条件，选法有种. 故， 从而， 所以的分布列为 1 2 故. （3）设变量满足若点与点构成一对＂双向目标点＂， 则，否则，则的充要条件是点与点之间的数值是所有与点或点关联的数值中最大的. 与点关联的数值有个，与点关联的数值有个， 其中点与点之间的数值为两者共有，计算并集时需扣除重复计算的1次. 故与点或点关联的总数值个数为. 因为所有的数值分配是完全随机的，所以由对称性可知， 这个数值中每一个数值都有相等的机会成为其中的最大值， 故点与点之间的数值成为最大者的概率为. ＂双向目标点＂的总对数， 在这个点中，任意两点构成一对，共有项相加. 由题意可知，服从两点分布，这个变量和的期望等于各变量概率之和， 即. 【考点三 方法总结】 1. 赛制概率计算：理清比赛规则（如单循环、淘汰赛、五局三胜等），将复杂事件分解为若干个互斥的简单事件序列，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解. 2. 出场顺序与策略优化：列举所有可能的出场顺序，分别计算目标事件（如连胜、得分期望）的概率或期望值，通过比较大小得出最优出场顺序. 3. 新定义情境处理：紧扣题目新定义（如“双向目标点”），将其转化为熟悉的概率模型，利用组合数、对称性或期望的线性性质 简化计算. 考点四：概率与数列递推的综合应用 考法12：马尔可夫链模型的概率与期望计算 21.（2026·广东佛山·检测）某款AI（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，时获胜，时落败，已知该款AI机器人射门的命中率为，各次射门相互独立. （1） 求机器人恰好射门4次后获胜的概率； （2） 表示“机器人射门次，游戏仍未结束”. （i）若，求和； （ii）若，求游戏结束时的数学期望. 【答案】（1） （2） （i）；；（ii） 【思路】（1） 分析恰好4次获胜的得分轨迹，利用独立事件概率公式计算；（2） （i） 利用条件概率公式，结合游戏未结束的条件计算；（ii） 根据条件概率建立关于的方程求出，再利用期望的递推关系式求出游戏结束时的数学期望. 【解析】（1）若机器人恰好射4次获胜，则前两次仅射中一次，后两次射中， 故； （2）（i）由题意得，， 所以； 若第次，游戏结束，则第次，第次仅射中一次（）为奇数， 可得； 所以； （ii）， 得到，解得； 设的数学期望为，分如下情况， ①第2次游戏结束，，游戏进行2次； ②第2次游戏未结束，， 则游戏相当于重新开始，游戏将进行次数， 所以， 解得，即游戏结束时的数学期望为. 22.（2026·山东淄博·一模）甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为. （1） 求，和，； （2） 求的数学期望 (用表示)； （3） ，若，有，求所有元素之和. 【答案】（1），，， （2） （3） 【思路】（1） 结合题意，利用古典概型和全概率公式分布计算；（2） 利用全概率公式建立的递推关系，进而求出的递推式，构造等比数列求解；（3） 代入的表达式，分析集合中元素的构成规律，利用组合数求和公式计算所有元素之和. 【解析】（1）， ， ， . （2）法1：， ， 因此， 从而，， 即，. 又的分布列为 0 1 2 故. 法2：记第次操作后，乙口袋中黄球个数为，则甲口袋中黄球个数为， 则第次操作时， 从甲口袋中取出黄球的个数服从超几何分布，则取出黄球个数的期望为 从乙口袋中取出黄球的个数服从超几何分布，则取出黄球个数的期望为 则第次操作后，乙口袋中黄球个数满足 则 所以 （2）法3：记第次操作后，乙袋中黄球个数为，红球个数为，则甲袋中黄球个数为，红球个数为， 则第次操作中， 情况①：甲袋取红球，乙袋取黄球，则第次操作后，乙袋中黄球个数为； 情况②：甲袋取黄球，乙袋取红球，则第次操作后，乙袋中黄球个数为； 情况③：甲袋取红球，乙袋取红球，或者甲袋取黄球，乙袋取黄球，则第次操作后，乙袋中黄球个数为； 所以， 所以，由（1）知，，所以， 所以是以为公比的等比数列，首项为， 所以 所以 （3）令， 由题意知或， 当时，设 ， 所以， 所以 ， 所以， 法一：由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有3个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为 共有个， 则这个元素的和为； ... 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为 共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由题意可得 ， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为 次， 所以中的所有元素之和为 . 考法13：全概率公式与概率递推数列的综合应用 23.（2026·湖南雅礼中学·模拟）记为数列的前项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】记是奇数的概率为，根据全概率公式找出与之间的递推关系，构造等比数列求出通项公式，进而求出是奇数的概率. 【解析】记事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为. 当为奇数时，若，则仍然为奇数. 当为偶数时，若或3，则也为奇数. 即，即，整理可得. 又，所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，故是奇数的概率为. 考法14：全概率公式与期望递推的综合应用 24.（2026·山东九五联盟·一模）甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片. 规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束. （1） 已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和. 对于正整数，求，并根据，求. （2） 记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为. （i） 求；（ii） 求. 【答案】（1） ， （2） （i） ；（ii） (当为偶数时)， (当为奇数时) 【思路】（1） 分析时抽取卡片的过程，得出的概率，再利用错位相减法求和并取极限求期望；（2） （i） 根据全概率公式建立的方程求解；（ii） 建立与的递推关系式，分奇偶讨论求出通项公式. 【解析】（1） 由题意可知， 所以， 所以. （2） （i） 由题意可知， 所以. （ii） 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 所以数列的奇数项与偶数项都是 公差为1的等差数列， 又因为， 所以当为奇数时，， 所以； 所以当为偶数时，， 所以； 综上： 25.（2026·安徽A10联盟·模拟）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球. 从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则红球不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中. 重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. （1） 求随机变量的期望； （2） 求随机变量的分布列； （3） 求的表达式. 【答案】（1） （2） 分布列见解析 （3） 【思路】（1） 确定的可能取值，计算对应概率，列出分布列求期望；（2） 确定的可能取值，利用全概率公式计算概率，列出分布列；（3） 建立与的递推关系，构造等比数列求通项公式. 【解析】（1）的可能取值为2,3,4， 则，，， 则. （2）操作2次后，的可能取值为2,3,4,5， 操作2次后，盒子中2个黑球，则2次操作均为取出2黑， 则， 盒子中3个黑球，则2次操作中，其中1次取出2黑，另1次取出1红1黑， 则， 盒子中4个黑球，则2次操作中，其中1次取出2红，另1次取出2黑，或2次均取出1红1黑， 则， 盒子中5个黑球，则2次操作中，其中1次取出2红，另1次取出1红1黑， 则， 所以的分布列为 2 3 4 5 （3）记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设，， 则，， 则，， ， ， 所以 ， 所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 考法15：随机游走模型的概率与期望计算 26.（2026·湖南新高考联盟·联考）（多选）在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”. 与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动. 下列说法中正确的是（　　） A. 机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B. 已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C. 机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D. 移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 【答案】BD 【思路】根据随机游走模型的规则，逐一分析各个选项的路径条数及概率，结合条件概率公式和古典概型进行计算判断. 【解析】机器人移动4秒到达舞台中心，则机器人需要有两步向西，剩下两步为东西各一步或者南北各一步，那么路径条数共有种，故A错误； 机器人移动4秒到达舞台中心，由A可知，在4秒移动中存在一步向正南移动的可能情况是两步向西且南北各一步，故所求概率为，故B正确； 移动3秒机器人移动到正北方向上，即移动到正北方向距离舞台中心1米、3米处，则距离为3米可能的情况有1种，距离为1米可能的情况有向北两步向南一步、向北一步向西一步向东一步，即种，故所求概率为，故C错误； 移动1秒后机器人与的距离为米，即向北向西、向东向北、向东向南、向南向西，共4种情况，而与在移动1秒后有种情况，故所求概率为，故D正确. 27.（2026·浙江县域联盟·模拟）如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动.当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿. 【答案】；3 【思路】分析粒子移动的路径，求出前几小时停止的概率，找出规律后利用错位相减法求期望；或利用全概率公式建立期望的方程组求解. 【解析】解法一：（1）第0小时，在B； 第1小时，只能到A，概率为； 第2小时，可能到B，可能到D，概率为； 第3小时，到C，概率为； 故； （2）由题意知；；；； ； 由此可得，偶数小时时，粒子都在B或D，无法停止，故； 奇数小时时： 由可知：， 即； 令， 则 将（1）式两边同时乘以可得： （2）式减（1）式可得：， ； 故，即. 解法二： 设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率， 分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率. 当时，则，，，， 则，因为，，则， 则，则，化简得. 28.（2026·安徽皖江联盟·模拟）将坐标平面上横坐标和纵坐标都是整数的点叫作格点. 格点按照以下规则移动：①最初点在原点处；②点每一秒钟移动一次，若某个时刻点在格点处，则1秒钟之后点随机移动到相邻的格点，，，之一处，且点移动到其中每个格点处的概率相等. （1） 设点，记，求点移动2秒钟后的期望； （2） 求点移动4秒钟后回到原点的概率； （3） 求点移动且秒钟后落在直线上的概率.（用含的式子表示）. 【答案】（1） 0 （2） （3） 【思路】（1） 列举移动2秒后点的所有可能坐标，计算的分布列并求期望；（2） 设向四个方向移动的次数，利用组合数计算回到原点的所有路径条数，再求概率；（3） 设移动次数，根据点落在直线上的条件建立方程组，利用组合数求和公式计算概率. 【解析】（1） 设点移动1秒钟后到达点，则的坐标可能为，，，， 点移动2秒钟后到达点，则的坐标可能为，，，，，，，，， 所以可能取值为2，，0， ， 同理可得， 所以， 所以. （2） 设点向右，左，上，下移动的次数分别为， 由题意可得， 若点移动4秒钟后回到原点，则，， 所以，或，或， 当，时，概率； 当，时，概率； 当时，概率； 所以点移动4秒钟后回到原点的概率. （3） 设点向右，左，上，下移动的次数分别为， 由题意可得， 移动秒后，点的坐标为， 若点落在直线上，则， 所以， 又因为， 所以，， 所以点移动秒钟后落在直线上的概率 . 29.（2024·江西上饶六校·模拟）如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格. 直到飞机移到第且格 (失败集中营) 或第格 (胜利大本营) 时，游戏结束. 则飞机移到第3格的概率为＿＿＿＿＿＿，游戏胜利的概率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】； 【思路】利用全概率公式建立飞机移到第格概率的递推关系式，构造等比数列求出通项公式，进而求出移到第3格的概率以及游戏胜利（即移到第格，只能从第格跳入）的概率. 【解析】记飞机移到第格的概率为，则，，；，可化为，则数列为常数列， ，上式可化为，则数列是首项为、公比为的等比数列，，即. 第格只能由第格跳到， 游戏胜利的概率为. 【考点四 方法总结】 1. 概率递推关系的建立：在动态变化过程中，第 次的状态通常只与第 次的状态有关.利用全概率公式，找出 与 之间的等量关系，构建递推式. 2. 期望递推关系的建立：类似概率递推，分析第 次操作后期望值 与第 次操作后期望值 的关系，构建期望的递推式. 3. 递推数列的求解：得到 形式的递推式后，常通过构造等比数列 求出通项公式. 4. 随机游走模型：结合坐标系或网络图，明确每一步移动的概率，利用组合数计算到达特定位置的路径条数，或利用递推关系求解最终到达某状态的概率和期望. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷·第9题）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 ，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入 服从正态分布 ，则（　　）（若随机变量 服从正态分布 ，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】依题可知，，，所以 ， 故 ，C正确，D错误. 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 而 ，B正确，A错误. 故选：BC. 2.（2024·全国一卷·第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字 2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为 ，四轮的总得分为 . 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率 ，所以 . 从而 . 记 . 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以 . 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以 . 而 的所有可能取值是0，1，2，3，故 ，. 所以 ，，两式相减即得 ，故 . 所以甲的总得分不小于2的概率为 . 3.（2025·全国一卷·第14题）一个箱子里有 5 个相同的球，分别以 1~5 标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数 X，则数学期望 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】法一：依题意， 的可能取值为1、2、3. 总的选取可能数为 . 其中 ：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故 . ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件 的可能情况有 种， 故 . ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件 的可能情有况 种， 故 . 所以 . 法二：依题意，假设随机变量 ，其中 ： 其中 ，则 . 由于球的对称性，易知所有 相等， 则由期望的线性性质，得 . 由题意可知，球 在单次抽取中未被取出的概率为 . 由于抽取独立，三次均未取出球 的概率为 . 因此球 至少被取出一次的概率为：. 故 . 所以 . 4.（2025·全国一卷·第15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000 人，得到如下列联表： 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1） 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 P，求 P 的估计值； （2） 根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附 ， 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 有关 【解析】（1） 根据表格可知，检查结果不正常的 200 人中有 180 人患病，所以 P 的估计值为 . （2） 零假设为 ：超声波检查结果与患病无关. 根据表中数据可得，. 根据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过 0.001. 5.（2026·全国一卷·第1题）样本数据 6，8，4，5，12 的中位数为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】将已知数据从小到大排序为 4，5，6，8，12，则中位数为 6. 故选：B. 6.（2026·全国一卷·第8题）设 为空间中 64 个点构成的集合，点 ，记样本空间 ，从 中随机取一个点，定义随机变量 如下：对 中的每个点 ，令 ，则 的数学期望值为（　　） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】由题意可知：，且随机变量 的取值为 -6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得 . . ，. ，. 所以 . 解法二：根据对称性可知：，，，，. 又 ，. 所以 . 解法三：因为 ，. 对于任意一点 ，均存在 与之对应，可知这两点的坐标和为 0. 因为 ，样本空间 . 可知样本空间 中存在唯一点 与点 对应. 所以 中所有点的坐标和的总和为 . 故 . 故选：A. 7.（2026·全国一卷·第17题）设整数 .某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 次，当且仅当投中 1 次时或 次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立.记 为停止练习时该同学的投篮次数. （1） 当 ， 时，求 的分布列； （2） 设 ， 均为自然数. （i）当 时，求 ； （ii）当 时，证明：. 【答案】（1） 的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i） （ii）证明见解析 【解析】（1） 由题意， 整数 ，某同学进行投篮练习，至多投篮 次， 当且仅当投中 1 次时或 次均未投中时，停止练习， ∴ 的可能取值为 1，2，3，4. 当 时，表示第一次就投进球，. 当 时，表示第 2 次投进球，第 1 次没有投进，. 当 时，表示第 3 次投进球，前两次没有投进，. 当 时，表示在第 4 次停止，此事件等价于前 3 次投篮均未投中，. 作出 的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得， 整数 ，某同学进行投篮练习，至多投篮 次， 当且仅当投中 1 次时或 次均未投中时，停止练习， 当 时， 表示前 次均未投中， ∴ . （ii）由题意及（2）（i）证明如下： . 即 . 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第75讲 概率与统计的综合应用 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 3 考点一：概率统计核心概念与数据分析应用 3 考点二：离散型随机变量的分布列与期望决策 6 考点三：复杂赛制与游戏规则的概率分析 11 考点四：概率与数列递推的综合应用 13 四、高考真题 16 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第9题 多选 第14题 填空 11分 直接考察 正态分布的性质与概率计算、离散型随机变量的期望 2025 第14题 填空 第15题 解答 18分 直接考察 离散型随机变量的期望、独立性检验 2026 第1题 单选 第8题 单选 第17题 解答 25分 直接考察 中位数、古典概型与期望、离散型随机变量的分布列与条件概率 2. 命题角度与特色 （1） 注重基础概念与模型的考查，如正态分布、独立性检验、古典概型等. （2） 强调概率统计与实际情境的结合，如抽卡片游戏、投篮练习、超声波检查等. （3） 突出期望的计算与条件概率、全概率公式的综合应用. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握概率统计的核心概念与常见模型，如二项分布、超几何分布、正态分布等. （2） 强化对复杂情境的分析能力，准确提取信息，建立概率模型求解. （3） 重视条件概率与全概率公式的理解与应用，提高综合解题能力. 二、知识清单 1. 随机事件的概率与条件概率 （1） 条件概率：已知事件 发生的条件下事件 发生的概率，记为 ，公式为 （其中 ）. （2） 乘法公式：. （3） 全概率公式：设事件 是一组完备事件组，且 ，则对任意事件 ，有 . 2. 离散型随机变量及其数字特征 （1） 数学期望与方差的性质： ① . ② . ③ 若 相互独立，则 ，. （2） 常见分布的数字特征： ① 若 ，则 ，. ② 若 服从参数为 的超几何分布，则 . 3. 正态分布 （1） 若随机变量 ，则其密度曲线关于直线 对称. （2） 原则： ① . ② . ③ . 4. 统计与数据分析 （1） 独立性检验：用于判断两个分类变量是否相关.统计量 ，其中 . （2） 经验回归方程：，其中 ，.经验回归直线必过样本中心点 . 5. 概率统计综合应用常见模型 （1） 决策与期望模型：常以保险问题、纳税问题、彩票问题、道路通行等为背景，核心是构建收益、损失或时间的随机变量 ，通过计算数学期望 进行方案比对与最优化决策. （2） 体育比赛与赛制模型：常涉及单循环赛、淘汰赛、多局胜负制（如五局三胜）等.需利用独立重复试验、条件概率等知识，分析比赛结束的局数或最终胜负的概率，有时需结合排列组合分析出场顺序排位问题. （3） 医疗与疾病检验模型：常结合独立性检验、条件概率（如误诊率、漏诊率、阳性预测值）进行考查，或利用二项分布分析群体发病情况. （4） 概率与数列递推模型（马尔可夫链基础）：在动态变化过程（如高尔顿板、随机游走、硬币游戏、博彩问题等）中，第 次的状态仅与第 次的状态有关.常利用全概率公式建立概率 与 或期望 与 的递推关系，进而转化为等差或等比数列求解. 【防坑警示】 ① 在处理条件概率时，务必分清“在 发生的条件下 发生”的概率 与“ 和 同时发生”的概率 的区别. ② 利用全概率公式建立递推关系时，要准确找到状态转移的节点，确保分类不重不漏. 三、典题精练 考点一：概率统计核心概念与数据分析应用 考法1：概率统计核心概念的综合判断 1.（2026·山东菏泽·一模）（多选）下列说法正确的有（　　） A. 已知，若，则 B. 若样本数据的方差为1，则数据的方差为2 C. 已知样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. 若，是两个随机事件，，，，则 考法2：频率分布直方图与概率分布的综合应用 2.（2025·河北NT20·二模）为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”. （1） 试求频率分布直方图中的值； （2） 用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3） 从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在100～120分钟之间的学生数，求的分布列及期望. 3.（2026·湖南长沙·模拟）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为. 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. （1） 当漏诊率时，求临界值和误诊率； （2） 设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值. 考法3：独立性检验与概率统计的综合应用 4.（2025·河北沧衡八县·一模）某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 （1） 请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； （2） 若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响. （i） 用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望； （ii） 记有人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值. 附：，其中. 5.1 6.05 7.01 8.005 9.001 10.706 11.841 12.635 13.879 14.828 5.（2025·河北沧州·二模）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式. 为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1） 依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2） 某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束. 规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜. 两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为. （i） 求比赛结束后甲获胜的概率； （ii） 求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附：，其中. 16.1 17.05 18.01 19.005 20.001 21.706 22.841 23.635 24.879 25.828 6.（2026·河北八省八校·联考）甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为. 现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击. （1） 前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； （2） 若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为. ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为. 求. 【考点一 方法总结】 1. 概率统计核心概念的判断：需熟练掌握正态分布的对称性及 原则，方差的线性性质 ，以及经验回归直线的性质. 2. 频率分布直方图的应用：利用直方图面积和为1求参数，结合组中值估算平均数，并能根据频率转化为概率进行条件概率或分布列的计算. 3. 独立性检验：准确提取数据构建 列联表，代入公式计算 值，并与临界值比较得出结论. 考点二：离散型随机变量的分布列与期望决策 考法4：实际情境下的分布列与期望求解 7.（2026·安徽安庆·二模）某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若棋手输给机器人，则棋手得分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1分，则棋手获胜. 在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为0.3，棋手输给机器人的概率为0.5，平局的概率为0.2. 每局比赛的结果互不影响. （1） 求三局比赛结束后棋手得2分的概率； （2） 在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金1000元，输给机器人或平局都没有奖金. 记三局比赛结束后棋手获得的奖金为元，求的分布列与数学期望. 8.（2026·山东枣庄·模拟）为促进销售，某生产商联合超市对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动. 规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”. 记消费者答题闯关成功的概率为. 已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. （1） 消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； （2） 已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的，“进阶优惠券”面额的. 记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为. 已知，商品成本为41元. 试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润消费者购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望 9.（2026·安徽阜阳·一模）某学校为了了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示. 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得，且该校现有在读学生1万人.（近似替代时按四舍五入保留到整数位） （1） 试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2） 该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助. 具体赠送方案如下： 方案1：每人每月人均赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补. 如果方案二比方案一支出不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 考法5：期望比较与方案决策分析 10.（2026·山东德州·模拟）甲、乙两人玩轮流掷骰子(质地均匀)的游戏，游戏规则为：①每次掷一枚骰子；②若甲掷出的点数小于5，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数，则下一次仍由乙掷骰子，否则下一次由甲掷骰子. 现由甲第一次抛掷. （1） 记前3次中甲掷骰子的次数为，求的分布列与数学期望； （2） 记第次由乙掷骰子的概率为. （i） 证明：数列为等比数列； （ii） 求数列的前项和. 11.（2026·江苏栖霞联盟·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动.消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）.闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%. （1） 若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2） 设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）.（期望利润=购买概率（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 考法6：条件概率与全概率公式的综合应用 12.（2026·湖南炎德英才·模拟）为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下： 第二轮答对 第二轮答错 合计 第一轮答对 60 20 80 第一轮答错 10 10 20 合计 70 30 100 （1） 从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率； （2） 正式竞赛规则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮(不可查看第二轮题目后再作决策). ②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束. 已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计. 小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程. 13.（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. （1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； （2）证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； （3）如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 考法7：导数法求概率期望最值 14.某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品. 已知这种电子元件次品率为0.01，且这种电子元件是否为次品相互独立. 现要检测3000个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，设每组有个电子元件，将每组的个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件是次品，再对本组个电子元件逐一检测. （1） 当时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率； （2） 设一组电子元件的检测次数为，求的数学期望； （3） 估算当为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数(提示：利用进行估算). 考法8：概率模型与不等式的综合证明 15.（2026·山东菏泽·一模）甲参与了一个有奖闯关游戏，游戏共设置3关，他每次从装有1个红球，2个黑球，3个黄球的袋中有放回地摸出1个球（这些球除颜色外完全相同），规则如下：过第一关时，若摸到黄球则前进到第二关，否则留在第一关；过第二关时，若摸到黑球则前进到第三关，否则留在第二关；过第三关时，若摸到红球则通关成功，游戏结束，否则留在第三关.假设甲的摸球次数不受限制. 参考公式：若，则. （1）求甲摸球3次恰好通关成功的概率； （2）已知，是随机变量，则，现用表示“甲通关成功所需的摸球次数”，求； （3）设甲摸球次后通关成功的概率为，求出与的递推关系式，并证明. 【考点二 方法总结】 1. 分布列与期望求解：明确随机变量的所有可能取值，利用古典概型、独立重复试验等公式计算对应概率，列表并利用公式 求解. 2. 方案决策分析：分别计算不同方案下的收益或支出的数学期望，通过比较期望值的大小或构建关于概率 的函数求导求最值，从而做出最优决策. 3. 条件概率与全概率公式：设出相关事件，准确识别“已知条件”，利用 计算.对于复杂过程，利用全概率公式将复杂事件分解为互斥的简单事件. 4. 导数法求概率最值：将概率或期望表示为某个参数（如概率 ）的函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出极值和最值. 考点三：复杂赛制与游戏规则的概率分析 考法9：淘汰赛与多局赛制的概率综合计算 16.（2026·广东东莞·一模）（多选）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为. 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为，记“第次投篮的人是甲”为事件，前3次中甲投篮的次数为，则以下结论正确的是（　　） A. B. C. D. 17.（2026·山东临沂·一模）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计. 具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0,2,6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2,0,2,6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1） 求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2） 若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； （3） 从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 18.（2026·山东德州·二模）某社区举行乒乓球比赛，现有甲、乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立. （1）若，求乙获得冠军的概率； （2）记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求； （3）记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求. 考法10：比赛出场顺序与策略优化决策 19.为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立. 根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表： 乙 丙 丁 比赛的次数 60 60 50 甲获胜的次数 20 30 40 以上表中的频率作为概率，求解下列问题. （1） 如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛. (ⅰ) 求甲至少胜一场的概率； (ⅱ) 如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为，求的分布列与期望； （2） 记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为，那么以什么样的出场顺序才能使概率最大，并求出的最大值. 考法11：新定义情境与特殊模型的概率计算 20.（2026·湖北云学联盟·模拟）现有（）个互不相同的点.这个点中任意两点之间都被随机赋予一个数值，且这对点之间的数值恰好为1，2，…，，这个互不相同的整数.对于每个点，它会在其余个点中，选择与之对应数值最大的点作为自己的“目标点”.若点A的目标点是点B，且点B的目标点也是点A，则称A与B构成一对“双向目标点”. （1）现有A，B，C，D四个互不相同的点，求点A与点B互为“双向目标点”的概率； （2）当时，设这4个点中构成的“双向目标点”的对数为，求的分布列与数学期望； （3）对于任意给定的（），设这个点中构成的“双向目标点”的对数为，求关于的表达式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 【考点三 方法总结】 1. 赛制概率计算：理清比赛规则（如单循环、淘汰赛、五局三胜等），将复杂事件分解为若干个互斥的简单事件序列，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解. 2. 出场顺序与策略优化：列举所有可能的出场顺序，分别计算目标事件（如连胜、得分期望）的概率或期望值，通过比较大小得出最优出场顺序. 3. 新定义情境处理：紧扣题目新定义（如“双向目标点”），将其转化为熟悉的概率模型，利用组合数、对称性或期望的线性性质 简化计算. 考点四：概率与数列递推的综合应用 考法12：马尔可夫链模型的概率与期望计算 21.（2026·广东佛山·检测）某款AI（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，时获胜，时落败，已知该款AI机器人射门的命中率为，各次射门相互独立. （1） 求机器人恰好射门4次后获胜的概率； （2） 表示“机器人射门次，游戏仍未结束”. （i）若，求和； （ii）若，求游戏结束时的数学期望. 22.（2026·山东淄博·一模）甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为. （1） 求，和，； （2） 求的数学期望 (用表示)； （3） ，若，有，求所有元素之和. 考法13：全概率公式与概率递推数列的综合应用 23.（2026·湖南雅礼中学·模拟）记为数列的前项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（　　） A. B. C. D. 考法14：全概率公式与期望递推的综合应用 24.（2026·山东九五联盟·一模）甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片. 规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束. （1） 已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和. 对于正整数，求，并根据，求. （2） 记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为. （i） 求；（ii） 求. 25.（2026·安徽A10联盟·模拟）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球. 从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则红球不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中. 重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. （1） 求随机变量的期望； （2） 求随机变量的分布列； （3） 求的表达式. 考法15：随机游走模型的概率与期望计算 26.（2026·湖南新高考联盟·联考）（多选）在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”. 与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动. 下列说法中正确的是（　　） A. 机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B. 已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C. 机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D. 移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 27.（2026·浙江县域联盟·模拟）如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动.当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿. 28.（2026·安徽皖江联盟·模拟）将坐标平面上横坐标和纵坐标都是整数的点叫作格点. 格点按照以下规则移动：①最初点在原点处；②点每一秒钟移动一次，若某个时刻点在格点处，则1秒钟之后点随机移动到相邻的格点，，，之一处，且点移动到其中每个格点处的概率相等. （1） 设点，记，求点移动2秒钟后的期望； （2） 求点移动4秒钟后回到原点的概率； （3） 求点移动且秒钟后落在直线上的概率.（用含的式子表示）. 29.（2024·江西上饶六校·模拟）如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格. 直到飞机移到第且格 (失败集中营) 或第格 (胜利大本营) 时，游戏结束. 则飞机移到第3格的概率为＿＿＿＿＿＿，游戏胜利的概率为＿＿＿＿＿＿. 【考点四 方法总结】 1. 概率递推关系的建立：在动态变化过程中，第 次的状态通常只与第 次的状态有关.利用全概率公式，找出 与 之间的等量关系，构建递推式. 2. 期望递推关系的建立：类似概率递推，分析第 次操作后期望值 与第 次操作后期望值 的关系，构建期望的递推式. 3. 递推数列的求解：得到 形式的递推式后，常通过构造等比数列 求出通项公式. 4. 随机游走模型：结合坐标系或网络图，明确每一步移动的概率，利用组合数计算到达特定位置的路径条数，或利用递推关系求解最终到达某状态的概率和期望. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷·第9题）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 ，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入 服从正态分布 ，则（　　）（若随机变量 服从正态分布 ，） A. B. C. D. 2.（2024·全国一卷·第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字 2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为＿＿＿＿＿＿. 3.（2025·全国一卷·第14题）一个箱子里有 5 个相同的球，分别以 1~5 标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数 X，则数学期望 ＿＿＿＿＿＿. 4.（2025·全国一卷·第15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000 人，得到如下列联表： 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1） 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 P，求 P 的估计值； （2） 根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附 ， 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 5.（2026·全国一卷·第1题）样本数据 6，8，4，5，12 的中位数为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 6.（2026·全国一卷·第8题）设 为空间中 64 个点构成的集合，点 ，记样本空间 ，从 中随机取一个点，定义随机变量 如下：对 中的每个点 ，令 ，则 的数学期望值为（　　） A. B. C. 0 D. 7.（2026·全国一卷·第17题）设整数 .某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 次，当且仅当投中 1 次时或 次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立.记 为停止练习时该同学的投篮次数. （1） 当 ， 时，求 的分布列； （2） 设 ， 均为自然数. （i）当 时，求 ； （ii）当 时，证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $