第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（高效培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列.docx

该高中数学高考复习讲义聚焦两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布四大核心考点，按“概念辨析-模型应用-综合突破”逻辑架构知识体系，通过考情解读明确命题方向，知识梳理夯实基础，重难突破结合典例提炼解题策略，分层集训实现从基础到真题的能力进阶。 讲义突出数学建模与数据分析素养，如在二项分布与超几何分布综合题中，设计放回与不放回抽样情境辨析活动，引导学生用数学思维构建概率模型。设置考法预测与真题实战模块，配合方法技巧总结，帮助学生高效突破模型识别与综合应用难点，为教师把控复习节奏提供系统教学方案。

第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 二项分布 知识2 超几何分布 知识3 正态分布 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 两点分布 考点02 二项分布 方法技巧 二项分布解题策略 考点03 超几何分布 方法技巧 超几何分布解题策略 考点04 二项分布与超几何分布的综合应用 方法技巧 二项分布与超几何分布综合题解题策略 考点05 正态分布 方法技巧 正态分布题解题策略 考情·分析解读 课标要求 辨识两点、二项、超几何、正态分布模型，会计算对应数字特征，依托模型解决简单实际概率问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 两点、二项、超几何、正态分布模型 全国Ⅰ卷第17题，第8题；全国Ⅱ卷第15题 全国Ⅰ卷第19题，全国Ⅱ卷第19题 全国Ⅰ卷第9题，第19题，全国Ⅱ卷第18题 考情解读 结合近五年高考真题可以总结如下命题规律：概率统计大题分值较高，二项分布、超几何分布交替出现在新高考Ⅰ、Ⅱ卷解答题中，正态分布多以小题形式考查，条件概率常作为综合题的基础工具。命题多结合现实情境，不直接告知分布模型，要求学生自主识别放回、不放回抽样，还经常结合方案决策、分布列与期望进行综合设问，注重考查数学建模能力。 备考策略 （1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． （2） 借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． （3） 重视决策类题型答题思路，落实大题完整步骤. 知识・归纳梳理 知识1 二项分布 1.次独立重复试验 在 重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在 中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A 的概率为 ②均值和方差： 知识2 超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中 ，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是 问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是 问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 知识3 正态分布 1.正态分布的概念 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从 ． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为 曲线是 的，它关于直线 对称 曲线在 处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“ ”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“ ”，表示随机变量的分布比较分散 3.三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 重难・核心突破 考点01 两点分布 典例1．（25-26高二下·河北保定·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 典例2．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应），则（   ） A．的所有取值分别为 B．服从两点分布 C． D． 【考法预测1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【考法预测2】（2026·陕西商洛·三模）已知随机变量，均服从两点分布，与相互独立，且．若，则__________，的期望为__________． 考点02 二项分布 典例1．（25-26高二下·河北·阶段检测）暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（     ） A． B． C． D． 典例2．（2026·云南昭通·模拟预测）为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 方法技巧 二项分布解题策略 先判断试验是否满足独立重复条件，确定单次成功概率p与试验次数n。明确随机变量服从二项分布后，直接套用概率、均值与方差公式。计算时留心组合数运算，做完可借助数字特征核验，区分二项分布和超几何分布，切忌混淆抽取有无放回的条件。 【考法预测1】（25-26高二下·广东佛山·期末）投骰子的游戏规则如下：每次投1个骰子，若骰子正面向上的点数为偶数时，加1分；若点数为奇数时，减1分．如果起始分为0分，投了6次骰子之后，分数为2分的概率为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高二下·甘肃武威·期末）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 【考法预测3】（2026·陕西汉中·模拟预测）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率，记为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望． 考点03 超几何分布 典例1．（25-26高二下·天津静海·期末）亮相2026年春节联欢晚会的机器人团体舞蹈表演场面震撼、配合默契，尽显人工智能科技魅力，深受观众喜爱．某机构随机抽取了50名观众进行问卷调查，其中男性22人，女性28人，结果显示不喜欢的观众有12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍． (1)在上述不喜欢的观众中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； (2)现从28名女性观众中随机选出2人，求选出的2人中恰有1人不喜欢的概率． 典例2．（2026·北京朝阳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． (1)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计该用户是青年用户的概率； (2)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计抽取的名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； (3)已知该AI工具对某个问题能准确答对其中的且个．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 方法技巧 超几何分布解题策略 先确认抽样属于不放回抽取，找准总体容量、符合特征的个体数以及抽取样本容量。确定随机变量可取的全部数值，代入超几何分布公式求取各个概率。计算完成核对概率总和是否为1，注意和二项分布区分，看清题干有无放回，最后规范书写分布列。 【考法预测1】（2026·江苏南京·三模），两盒中各有10件产品，其中盒中有4件次品，盒中有5件次品. (1)在盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量，求变量的概率分布及. (2)若随机交换盒与盒中两件产品后，再从，盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量，求. (3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？ 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛． (1)设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自不同协会”，求事件发生的概率； (2)设随机变量为选出的人中种子选手的人数，求的分布列． 【考法预测3】（25-26高二下·北京丰台·期末）某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． (1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； (2)若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 考点04 二项分布与超几何分布的综合应用 典例1．（25-26高二下·山西吕梁·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的． (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 典例2．（2026·北京·三模）2026年4月19日北京亦庄半程马拉松比赛圆满结束，1.2万名跑者与超百支机器人赛队“人机共跑”．最终齐天大圣队的“闪电”机器人以50分26秒夺冠，超越人类半马世界纪录．现从国内研发机器人的尖端企业中，随机搜集10支参赛队伍，得到相关数据如下表： 最终排名 参赛队伍 操控方式 完赛时间（min） 加权系数 1 齐天大圣队 自主导航 50.26 1 2 雷霆闪电队 自主导航 50.56 1 3 星火燎原队 自主导航 53.01 1 4 南天门战队 自主导航 54.24 1 5 逐鹿狂飙队 自主导航 55.01 1 6 绝影赤兔队 遥控操作 48.19 1.2 7 北创天工队 自主导航 75 1 8 小米追风队 遥控操作 暂未公布 1.2 9 优必选行者 遥控操作 暂未公布 1.2 10 华为跃动队 遥控操作 暂未公布 1.2 其中最终排名按照最终成绩从小到大排序而成，最终成绩=完赛时间×加权系数． (1)在上述10支参赛队伍中随机选出3支队伍，求所选3支队伍中恰有2支队伍的机器人采用自主导航完赛的概率； (2)假设样本数据代表了国内研发机器人尖端企业的发展情况，用频率估计概率．从国内研发机器人尖端企业中随机选择两款机器人参加半程马拉松友谊赛，假设它们的长跑成绩互相独立，设这两款机器人中最终成绩不超过60 min的个数为，求出的分布列和数学期望； (3)2026年3月乌干达选手基普利莫以57分20秒的成绩打破男子半马世界纪录．在样本中随机选出支队伍，记为选出的队伍中恰有2支队伍最终成绩超过男子半马世界纪录的概率，当最大时，直接写出此时的值．（结论不要求证明） 方法技巧 二项分布与超几何分布综合题解题策略 仔细审题分清抽样方式，不放回一般为超几何分布，有放回则是二项分布。部分题目会先由样本估算概率，后续转化成二项分布。准确提取n，p等关键量，写完分布列后校验概率之和。答题时写明对应的分布名称，规避两类模型相互混淆的错误。 【考法预测1】（25-26高二下·河南郑州·期末）为了了解某地区60岁以上老人患糖尿病的情况，现随机从该地区60岁以上老人中抽取40个人作为样本测出他们的空腹血糖（单位：mmol/L）值，假设空腹血糖检测值≥7mmol/L可确诊患糖尿病，抽取的40位老人经检测后发现有12人空腹血糖检测值≥7mmol/L. (1)在上述抽取的40位老人中再任意抽取2人，设为这两人中患糖尿病的人数，求的分布列和期望. (2)以频率估计概率，从该地区（60岁以上老人数目很多）任意抽取5名60岁以上老人，求恰有2人患糖尿病的概率. 【考法预测2】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 考点05 正态分布 典例1．（26-27高三·全国·一轮复习）若，则落在内的概率是（　　） A．95.45% B．99.73% C．4.55% D．0.27% 典例2．（2026高三·全国·专题练习）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 方法技巧 正态分布题解题策略 先识别随机变量服从正态分布，读出μ、σ。巧用正态曲线的对称性以及3σ原则转化区间概率。将所求范围变换至μ附近的标准区间，规避直接积分运算，计算完毕留意结果取值范围，规范书写解题步骤。 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）某省2008年数学高考成绩，现随机抽查100人，则成绩超过120分的人数的期望是（已知，，）（   ） A．1或2人 B．3或4人 C．6或7人 D．9或10人 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）某工厂的工人月均收入．如果要使工人的月均收入在内的概率不小于0.95，则至少为多大． 【考法预测3】（2026·辽宁锦州·二模）高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置排钉子，第排钉子下方有个凹槽.从左至右依次记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽，当时，钉板如图所示.进行次独立重复试验，每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽的个数为. (1)若， （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，求的数学期望与方差； (2)当足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，其中为的数学期望，为的方差.若，，试估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数. 参考数据：若随机变量，，，. 拔高・分层集训 基础演练 1．（26-27高三·全国·一轮复习）有10000人参加某次考试，其成绩近似服从正态分布．.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为（　　） A．10 B．30 C．15 D．23 2．（多选）（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东清远·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）设随机变量，则条件概率的值为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．若越大，则越大 D．若越大，则的正态密度曲线越“矮胖” 9．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______. 10．（2026·北京·三模）全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的男性和女性居民利用简单随机抽样各抽取4000名，将获得的数据按不同年龄段整理如下表： 男性 女性 打包 不打包 打包 不打包 第1段 250 650 450 650 第2段 300 600 550 550 第3段 600 400 750 250 第4段 850 350 650 150 假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立． (1)从样本中第3段居民中任选一名，求其外出就餐有剩余时打包的概率； (2)从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取2人，记这3人中恰有X人外出就餐有剩余时打包，求X的分布列； (3)假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，“”表示第k段居民外出就餐有剩余时打包，“”表示第k段居民外出就餐有剩余时不打包（），写出方差，，，的大小关系．（只需写出结论） 11．（2026·山东聊城·一模）工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生产班次与产品质量之间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品中随机抽取出100个进行质量检测，得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测，记其中优秀品的个数为X，早班产品的个数为Y．求出X的分布列与期望，并判断与的大小关系（直接写出结论，无需证明）. 附： 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 12．（25-26高二下·西藏林芝·期末）某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)得分优秀的学生分为A组、B组两个区间段，按这两组人数比分层抽取10人开展赛前培训，再从这10名参训学生里任选3人组成校代表队；设随机变量为选出的3人中来自B组的学生人数，求的分布列与数学期望． 13．（2026·上海·模拟预测）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 能力进阶 1．（多选）（2025·重庆·二模）已知随机变量均服从两点分布，若  ，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三下·全国·专题练习）一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·山东潍坊·三模）在人工智能生成模型中，常使用“散度”衡量两个概率分布的差异，以优化模型生成效果．设离散型随机变量和的分布列分别为，，，，，．定义散度，它刻画了模型生成分布与目标分布的相似程度，值越小说明分布越接近．设模型生成的特征匹配次数（为特征总数，为单次匹配成功的概率，）． (1)在一项特征匹配任务中，设特征总数，模型单次匹配成功的概率，若标准参考模型的匹配次数，求模型生成分布与参考分布的散度； (2)在一项特征匹配任务中，特征总数，参考分布的分布列如下： 0 1 2 求模型生成分布与参考分布的散度的最小值； (3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等条件． 4．（25-26高二下·河南商丘·期末）某学校组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置个不同的题目，参赛人员分为、、三组，其中组人，组人，组人． (1)已知参赛人员甲能正确作答这个题目中的个题目，求从这题中任取题，甲至少回答正确题的概率； (2)现从参加比赛的这人中随机抽取人，记抽到的组人数为，组人数为．设，求的分布列及期望； (3)已知参赛人员乙能准确作答这题中的（，且）题．若从这个题中随机抽取个让乙作答，当变化时，要使得恰好答对题的概率取到最大值，求此时的取值． 5．（2026·河南周口·模拟预测）一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列： (2)若，且，求； (3)若，两次实验中，第二次取出的10个球里恰好有3个球与第一次取出的球重复，求的估计值（以使最大的值作为估计值）． 6．（25-26高二下·山东东营·期末）满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布． (1)为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求（）； （参考数据：若，，） (2)若，函数（），证明：曲线是中心对称图形； (3)若某小区一共有户住户，其电表编号为（，，，…，），国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为1分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第1户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），证明：． 真题实战 1．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 2．（多选）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 3．（2026·北京·高考真题）为了解某校高三年级学生的数学学习情况，随机抽查了200名高三年级学生某次考试的数学成绩，整理成下表： 成绩 人数 40 60 60 32 8 假设学生的数学成绩相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率； (2)从该校高三年级学生中随机抽取4人，估计在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率； (3)为分析该校高三年级学生的数学学习情况，可采用三种方法：将样本中每名学生数学成绩所在区间的左端点值、中点值和右端点值视为该生的数学成绩．分别将这三种方法得到的三组数学成绩的方差记为、和，判断、和的大小关系．（结论不要求证明）． 4．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 5．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 6．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 7．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 9．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 10．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 11．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 二项分布 知识2 超几何分布 知识3 正态分布 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 两点分布 考点02 二项分布 方法技巧 二项分布解题策略 考点03 超几何分布 方法技巧 超几何分布解题策略 考点04 二项分布与超几何分布的综合应用 方法技巧 二项分布与超几何分布综合题解题策略 考点05 正态分布 方法技巧 正态分布题解题策略 考情·分析解读 课标要求 辨识两点、二项、超几何、正态分布模型，会计算对应数字特征，依托模型解决简单实际概率问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 两点、二项、超几何、正态分布模型 全国Ⅰ卷第17题，第8题；全国Ⅱ卷第15题 全国Ⅰ卷第19题，全国Ⅱ卷第19题 全国Ⅰ卷第9题，第19题，全国Ⅱ卷第18题 考情解读 结合近五年高考真题可以总结如下命题规律：概率统计大题分值较高，二项分布、超几何分布交替出现在新高考Ⅰ、Ⅱ卷解答题中，正态分布多以小题形式考查，条件概率常作为综合题的基础工具。命题多结合现实情境，不直接告知分布模型，要求学生自主识别放回、不放回抽样，还经常结合方案决策、分布列与期望进行综合设问，注重考查数学建模能力。 备考策略 （1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． （2） 借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． （3） 重视决策类题型答题思路，落实大题完整步骤. 知识・归纳梳理 知识1 二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 知识2 超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 知识3 正态分布 1.正态分布的概念 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散 3.三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 重难・核心突破 考点01 两点分布 典例1．（25-26高二下·河北保定·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 【详解】（1）的可能取值为： ，，， 分布列如下： 0 1 2 （2）记，则的可能取值为： ，, , 因为的取值只有和两种可能，所以服从两点分布, 分布列如下： 0 1 典例2．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应），则（   ） A．的所有取值分别为 B．服从两点分布 C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，的所有取值为， 其中，， 则随机变量的分布列为： 0 1 而服从两点分布，可得； 同理，的所有取值为．， ， 所以随机变量的分布列为， 0 1 而服从两点分布，可得； 而的所有取值为，故A正确， 则， 得到， 可得随机变量的分布列为： 0 1 则服从两点分布，得到，故B正确. 可得，故C错误，D正确. 故选：ABD 【考法预测1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 【考法预测2】（2026·陕西商洛·三模）已知随机变量，均服从两点分布，与相互独立，且．若，则__________，的期望为__________． 【答案】 0.21 1 【详解】两点分布中仅取或，当且仅当且， 已知，，故， 又相互独立，因此： ； 根据期望的线性性质：， 对于两点分布，，， 因此： . 考点02 二项分布 典例1．（25-26高二下·河北·阶段检测）暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件表示戴帽子和戴墨镜，则，， 因为帽子和墨镜每天至少戴一件即，所以， 单日只戴墨镜不戴帽子的概率为， 表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，， . 典例2．（2026·云南昭通·模拟预测）为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 【详解】（1）由题可知：X的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望； （2）由（1）知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为． 设参赛学生甲在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为Y，则， 所以，， ，， ，， ，， 所以当获得张或张时，概率最大，最大概率为. 方法技巧 二项分布解题策略 先判断试验是否满足独立重复条件，确定单次成功概率p与试验次数n。明确随机变量服从二项分布后，直接套用概率、均值与方差公式。计算时留心组合数运算，做完可借助数字特征核验，区分二项分布和超几何分布，切忌混淆抽取有无放回的条件。 【考法预测1】（25-26高二下·广东佛山·期末）投骰子的游戏规则如下：每次投1个骰子，若骰子正面向上的点数为偶数时，加1分；若点数为奇数时，减1分．如果起始分为0分，投了6次骰子之后，分数为2分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设6次投掷中，出现偶数点的次数为，出现奇数点的次数为，且， 由题意得方程组， 解得， 每次投掷骰子，出现偶数点和奇数点的概率均为，且各次投掷结果相互独立，属于次独立重复试验（二项分布）模型， 根据二项分布概率公式，所求概率为： ． 【考法预测2】（25-26高二下·甘肃武威·期末）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 【答案】800 【详解】设患者治愈人数为，则，则， 所以当， 即：，解得：， 即时，， 当时，解得：，此时， 综上，时，取得最大值. 【考法预测3】（2026·陕西汉中·模拟预测）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率，记为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望． 【详解】（1）由题意可知：该轮为“稳定发挥”的有第一、三、四、五、七、八、九，十轮，共8轮， 若从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率. （2）用频率估计概率，该轮“稳定发挥”的概率为， 由题意可知：，可得： ；； ；； 可知的分布列为 0 1 2 3 所以的期望. 考点03 超几何分布 典例1．（25-26高二下·天津静海·期末）亮相2026年春节联欢晚会的机器人团体舞蹈表演场面震撼、配合默契，尽显人工智能科技魅力，深受观众喜爱．某机构随机抽取了50名观众进行问卷调查，其中男性22人，女性28人，结果显示不喜欢的观众有12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍． (1)在上述不喜欢的观众中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； (2)现从28名女性观众中随机选出2人，求选出的2人中恰有1人不喜欢的概率． 【详解】（1）不喜欢的观众共12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍，即不喜欢的男性观众共8人，不喜欢的女性观众共4人. ∵ 从不喜欢的观众中按性别分层抽样抽取6人，抽样比为， ∴ 抽取的6人中，男性观众人数为，女性观众人数为. 由题意得的所有可能取值为1，2，3. ∵ ， ， ， ∴ 的分布如下表所示： 1 2 3 期望. （2）∵ 28名女性观众中，不喜欢的有4人，喜欢的有人， ∴ 从28名女性观众中随机选出2人，恰有1人不喜欢的概率. 典例2．（2026·北京朝阳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的名用户并统计了他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 年龄 人数 一般地，将年龄在的群体称为青年，年龄在的群体称为中年． (1)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计该用户是青年用户的概率； (2)从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，估计抽取的名用户中既有青年用户、又有中年用户的概率； (3)已知该AI工具对某个问题能准确答对其中的且个．若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，请写出一个符合要求的的取值．（直接写出答案） 【详解】（1）由题意可知，样本中青年用户的频率为． 设事件从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，该用户是青年用户，则可估计为． （2）从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，该用户是中年用户的概率为， 设事件从该地区AI工具用户中随机抽取名用户，用户中既有青年又有中年， 则 ． （3）从这个问题中随机抽取个对该工具提问，设恰好答对的问题个数为， 因为从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大， 则，所以， 整理可得，解得， 又因为，故或或. 方法技巧 超几何分布解题策略 先确认抽样属于不放回抽取，找准总体容量、符合特征的个体数以及抽取样本容量。确定随机变量可取的全部数值，代入超几何分布公式求取各个概率。计算完成核对概率总和是否为1，注意和二项分布区分，看清题干有无放回，最后规范书写分布列。 【考法预测1】（2026·江苏南京·三模），两盒中各有10件产品，其中盒中有4件次品，盒中有5件次品. (1)在盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量，求变量的概率分布及. (2)若随机交换盒与盒中两件产品后，再从，盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量，求. (3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？ 【详解】（1）由题意得服从超几何分布，的取值可能为， 则， ， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 则. （2）固定一次交换后的结果，设交换后A盒、B盒中的次品数分别为和． 交换产品不会改变两盒中次品的总数，所以． 设从A盒、B盒中各取2件产品时，所取次品数分别为和，则． 在上述固定的交换结果下，从含有件次品的10件产品中随机取2件， 所取次品数的期望为；同理，． 因此，无论交换后两盒中的次品如何分配， 都有．故． （3）按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止；抽到正品后，本轮结束并换另一人开始下一轮． 由于甲先开始，所以前10轮中甲进行第1，3，5，7，9轮，乙进行第2，4，6，8，10轮，即甲、乙各进行5轮． 甲从A盒抽取时，抽到次品的概率为，抽到正品的概率为． 设甲一轮的期望得分为． 若甲第一次抽到正品，本轮得分为0；若第一次抽到次品，甲先得1分， 再继续进行与开始时相同的有放回抽取过程，后续期望得分仍为． 因此．解得． 同理，乙从B盒抽取时，抽到次品和正品的概率均为． 设乙一轮的期望得分为，则，解得． 所以前10轮结束后，甲、乙得分期望值的差为． 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛． (1)设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自不同协会”，求事件发生的概率； (2)设随机变量为选出的人中种子选手的人数，求的分布列． 【详解】（1）由题意可得，； （2）随机变量的可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 【考法预测3】（25-26高二下·北京丰台·期末）某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生． (1)该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率； (2)若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【详解】（1）记事件：甲同学闯关成功，记事件：乙同学闯关成功，事件：甲、乙两人中恰有一人闯关成功， 则， 又甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响， 所以. （2）易知的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 考点04 二项分布与超几何分布的综合应用 典例1．（25-26高二下·山西吕梁·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的． (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 【详解】（1）由题意，从6首古诗中抽取3首，小明可背诵其中4首，设小明可背诵的古诗数量为，则服从超几何分布，其中，，. ∵ 要求小明可以背诵2首古诗，即， ∴ 所求概率. （2）由题意，随机变量的所有可能取值为. ∵ ， ， ， ∴ 的分布列为： ∴ 期望， 方差. （3）设小华能背诵的古诗数量为，由题意，小华每首古诗能背诵的概率均为，且各首背诵情况相互独立，故. ∴ ，. ∵ ，，说明两人平均背诵数量相同，但小明发挥更稳定， ∴ 选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 典例2．（2026·北京·三模）2026年4月19日北京亦庄半程马拉松比赛圆满结束，1.2万名跑者与超百支机器人赛队“人机共跑”．最终齐天大圣队的“闪电”机器人以50分26秒夺冠，超越人类半马世界纪录．现从国内研发机器人的尖端企业中，随机搜集10支参赛队伍，得到相关数据如下表： 最终排名 参赛队伍 操控方式 完赛时间（min） 加权系数 1 齐天大圣队 自主导航 50.26 1 2 雷霆闪电队 自主导航 50.56 1 3 星火燎原队 自主导航 53.01 1 4 南天门战队 自主导航 54.24 1 5 逐鹿狂飙队 自主导航 55.01 1 6 绝影赤兔队 遥控操作 48.19 1.2 7 北创天工队 自主导航 75 1 8 小米追风队 遥控操作 暂未公布 1.2 9 优必选行者 遥控操作 暂未公布 1.2 10 华为跃动队 遥控操作 暂未公布 1.2 其中最终排名按照最终成绩从小到大排序而成，最终成绩=完赛时间×加权系数． (1)在上述10支参赛队伍中随机选出3支队伍，求所选3支队伍中恰有2支队伍的机器人采用自主导航完赛的概率； (2)假设样本数据代表了国内研发机器人尖端企业的发展情况，用频率估计概率．从国内研发机器人尖端企业中随机选择两款机器人参加半程马拉松友谊赛，假设它们的长跑成绩互相独立，设这两款机器人中最终成绩不超过60 min的个数为，求出的分布列和数学期望； (3)2026年3月乌干达选手基普利莫以57分20秒的成绩打破男子半马世界纪录．在样本中随机选出支队伍，记为选出的队伍中恰有2支队伍最终成绩超过男子半马世界纪录的概率，当最大时，直接写出此时的值．（结论不要求证明） 【详解】（1）设所选3支队伍中恰有2支队伍的机器人采用自主导航完赛为事件， 10支参赛队伍中有6支采用自主导航完赛， ； （2）排名第6的最终成绩为， 所以10支参赛队伍中最终成绩不超过60 min的个数有名共6支， 则最终成绩不超过60 min的概率为，， ， ， 的分布列为： （或）； （3）10支参赛队伍中最终成绩超过男子半马世界纪录的有5支， 又选出的队伍中恰有2支队伍最终成绩超过男子半马世界纪录， ，， 由，即， 故，解得，又， 所以，当最大时，． 方法技巧 超几何分布解题策略 先确认抽样属于不放回抽取，找准总体容量、符合特征的个体数以及抽取样本容量。确定随机变量可取的全部数值，代入超几何分布公式求取各个概率。计算完成核对概率总和是否为1，注意和二项分布区分，看清题干有无放回，最后规范书写分布列。 【考法预测1】（25-26高二下·河南郑州·期末）为了了解某地区60岁以上老人患糖尿病的情况，现随机从该地区60岁以上老人中抽取40个人作为样本测出他们的空腹血糖（单位：mmol/L）值，假设空腹血糖检测值≥7mmol/L可确诊患糖尿病，抽取的40位老人经检测后发现有12人空腹血糖检测值≥7mmol/L. (1)在上述抽取的40位老人中再任意抽取2人，设为这两人中患糖尿病的人数，求的分布列和期望. (2)以频率估计概率，从该地区（60岁以上老人数目很多）任意抽取5名60岁以上老人，求恰有2人患糖尿病的概率. 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2； ，，， 的分布列为 0 1 2 . （2）从该地区随机抽取5名60岁以上老人，视频率为概率， 每位老人患糖尿病的概率为，此时相当于做了5次独立重复试验，成功概率都是， 所以恰有2位老人患病的概率为． 【考法预测2】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 【详解】（1）设为取出的不合格零件个数，事件：取出的4个零件中至少有一个不合格；事件：取出的4个零件中恰好有2个不合格． 所以． 因此． 故在已知取出的4个零件至少有一个不合格的条件下，恰好有2个不合格的概率为． （2）由题意，每件产品合格的概率，不合格的概率为，抽取个数，且各零件质量相互独立， 因此服从二项分布． 的可能取值为， 故的分布列为 Y 0 1 2 3 4 期望， 方差． 考点05 正态分布 典例1．（26-27高三·全国·一轮复习）若，则落在内的概率是（　　） A．95.45% B．99.73% C．4.55% D．0.27% 【答案】B 【详解】由，知，, ∴＝0.9973． 典例2．（2026高三·全国·专题练习）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 【详解】（1）由题意知：， 4000名考生的竞赛平均成绩为70.5． （2）依题意服从正态分布，其中，，， 服从正态分布， 而， ． ∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为（人）人． （3）全市参赛考生成绩不超过84.81的概率．而， ． 方法技巧 正态分布题解题策略 先识别随机变量服从正态分布，读出μ、σ。巧用正态曲线的对称性以及3σ原则转化区间概率。将所求范围变换至μ附近的标准区间，规避直接积分运算，计算完毕留意结果取值范围，规范书写解题步骤。 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）某省2008年数学高考成绩，现随机抽查100人，则成绩超过120分的人数的期望是（已知，，）（   ） A．1或2人 B．3或4人 C．6或7人 D．9或10人 【答案】C 【详解】由可知，均值，方差，则标准差； 利用标准正态分布函数可得： ； 设成绩超过120分的人数为，则， 则，故期望人数为6或7人． 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）某工厂的工人月均收入．如果要使工人的月均收入在内的概率不小于0.95，则至少为多大． 【答案】39.2 【详解】由题意可知，，均值，方差，则； 工人的月均收入在内的概率 ， ，， ，即至少为39.2． 【考法预测3】（2026·辽宁锦州·二模）高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型，其结构如下，在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子，每排钉子的数量比上一排多一枚，且相邻的两排钉子的位置相互错开，木板底部有若干个等宽的凹槽，用于收集下落的小球，小球从木板顶端的入口处自由下落，在下落过程中，小球每次遇到钉子时，向左或向右下落的概率均为0.5，且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板，其设置排钉子，第排钉子下方有个凹槽.从左至右依次记为凹槽0，凹槽1，…，凹槽，当时，钉板如图所示.进行次独立重复试验，每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽的个数为. (1)若， （ⅰ）当时，求； （ⅱ）当时，求的数学期望与方差； (2)当足够大时，可以认为小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，其中为的数学期望，为的方差.若，，试估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数. 参考数据：若随机变量，，，. 【详解】（1）（ⅰ）. （ⅱ）由（ⅰ）知小球落入3号槽的概率为，由题意知， 所以，   . （2）一个小球最终落入的凹槽标号满足， ，， 由题可知小球最终落入的凹槽标号服从正态分布，      所以估计落在凹槽15到凹槽21（含15和21）内的小球总数为6827. 拔高・分层集训 基础演练 1．（26-27高三·全国·一轮复习）有10000人参加某次考试，其成绩近似服从正态分布．.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为（　　） A．10 B．30 C．15 D．23 【答案】C 【详解】∵近似服从正态分布，． ∴， ∴此次考试中成绩不低于139分的人数约为． 2．（多选）（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：两点分布所有概率和为，因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 3．（25-26高二下·广东清远·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可设，， 所以，解得. 若服从两点分布，则， 所以， 所以. 4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为服从两点分布，且． 设，则， 由，解得．于是． 5．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 6．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为 ，所以， 当取得最大值时，可得， 所以，解得， 因为，所以 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）设随机变量，则条件概率的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机变量，所以， ， 故. 8．（多选）（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．若越大，则越大 D．若越大，则的正态密度曲线越“矮胖” 【答案】BC 【详解】由可得， 结合，可得； 对于A，正态分布，曲线关于对称， 因此， 由于 ，则，即均值， 在正态分布中，远离均值的右侧概率更小，因此，故A 错误； 对于B，， 当时，取最大值1，故B正确； 对于C，，是关于p的一次函数，该函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，当时，单调递增，此时曲线随着p的增大变矮胖， 当时，单调递减，此时曲线随着p的增大变瘦高，故D错误. 9．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______. 【答案】 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 10．（2026·北京·三模）全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的男性和女性居民利用简单随机抽样各抽取4000名，将获得的数据按不同年龄段整理如下表： 男性 女性 打包 不打包 打包 不打包 第1段 250 650 450 650 第2段 300 600 550 550 第3段 600 400 750 250 第4段 850 350 650 150 假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立． (1)从样本中第3段居民中任选一名，求其外出就餐有剩余时打包的概率； (2)从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取2人，记这3人中恰有X人外出就餐有剩余时打包，求X的分布列； (3)假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，“”表示第k段居民外出就餐有剩余时打包，“”表示第k段居民外出就餐有剩余时不打包（），写出方差，，，的大小关系．（只需写出结论） 【详解】（1）由表格数据可得，第3段居民总人数为， 其中外出就餐有剩余时打包的人数为， 用频率估计概率，故所求概率为. （2）男性总样本量为，打包总人数为， 故男性打包概率； 女性总样本量为，打包总人数为， 故女性打包概率. 的所有可能取值为， ：男性不打包，2名女性均不打包，； ：包含两类情况，男性打包且2名女性均不打包、男性不打包且2名女性恰1人打包， ； ：包含两类情况，男性打包且2名女性恰1人打包、男性不打包且2名女性均打包， ； ：男性打包且2名女性均打包，. 综上可得的分布列为： （3）由题意知服从两点分布，其方差为， 其中为第段居民打包的概率， 由表中数据得,, ,， 所以，， ，， 所以. 11．（2026·山东聊城·一模）工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生产班次与产品质量之间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品中随机抽取出100个进行质量检测，得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测，记其中优秀品的个数为X，早班产品的个数为Y．求出X的分布列与期望，并判断与的大小关系（直接写出结论，无需证明）. 附： 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【详解】（1）设零假设：工厂生产班次与产品质量无关， 由列联表，得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即工厂生产班次与产品质量有关，该推断犯错误的概率不超过0.05． （2）依题意，从全部产品中随机抽取出一个优秀品的概率为， 从全部产品中随机抽取出一个早班产品的概率为， 由已知的可能取值有， 故随机变量， ，， ， 则的分布列为 0 1 2 ． 由列联表可得， 所以． 12．（25-26高二下·西藏林芝·期末）某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)得分优秀的学生分为A组、B组两个区间段，按这两组人数比分层抽取10人开展赛前培训，再从这10名参训学生里任选3人组成校代表队；设随机变量为选出的3人中来自B组的学生人数，求的分布列与数学期望． 【详解】（1）由题知：，解得 设中位数为，则， 解得，要求精确到，故中位数为； （2）由题，参训 10 人中：A组 6 人，B组 4 人． 的所有可能取值为0，1，2，3； ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望. 13．（2026·上海·模拟预测）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 【详解】（1）提出零假设：该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别无关， 显著性水平， 计算， 因为，所以接受原假设， 即没有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关； （2）， 故； （3）由（2），得， 设，则， 故， 故成绩在范围内的学生约为82人． 能力进阶 1．（多选）（2025·重庆·二模）已知随机变量均服从两点分布，若  ，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为随机变量均服从两点分布，，，， ，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，，解得，故C错误； ，解得， ， 所以，，故D正确； 故选：ABD. 2．（2026高三下·全国·专题练习）一只蚂蚁从数轴原点处开始爬行，每抛掷一枚均匀骰子一次便移动一个单位：若掷出点数为1，2，则沿数轴正方向前进1个单位，否则沿数轴负方向后退1个单位．连续抛掷11次并随之移动，问蚂蚁最终最可能停留在数轴上的哪一位置（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设蚂蚁沿正方向前进了次，则沿负方向后退了次， 最终位置. 根据题意得，单次前进的概率，则前进次数， . . 令，即，所以， 所以，当时，； 当时，； 当时，. 因此， 当时，； 当时，. 因此蚂蚁最终可能停留在数轴的或位置. 3．（2026·山东潍坊·三模）在人工智能生成模型中，常使用“散度”衡量两个概率分布的差异，以优化模型生成效果．设离散型随机变量和的分布列分别为，，，，，．定义散度，它刻画了模型生成分布与目标分布的相似程度，值越小说明分布越接近．设模型生成的特征匹配次数（为特征总数，为单次匹配成功的概率，）． (1)在一项特征匹配任务中，设特征总数，模型单次匹配成功的概率，若标准参考模型的匹配次数，求模型生成分布与参考分布的散度； (2)在一项特征匹配任务中，特征总数，参考分布的分布列如下： 0 1 2 求模型生成分布与参考分布的散度的最小值； (3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等条件． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， ． （2）因为，， 所以 ， 记 ， 则 ， 令，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则， 则单调递增，而， 所以在为负数，在为正数， 则在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为. （3）证明：令，则．易得当时，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 所以，，所以，所以， 所以， 所以， ， 即的值不可能为负，当且仅当，即时取等． 4．（25-26高二下·河南商丘·期末）某学校组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置个不同的题目，参赛人员分为、、三组，其中组人，组人，组人． (1)已知参赛人员甲能正确作答这个题目中的个题目，求从这题中任取题，甲至少回答正确题的概率； (2)现从参加比赛的这人中随机抽取人，记抽到的组人数为，组人数为．设，求的分布列及期望； (3)已知参赛人员乙能准确作答这题中的（，且）题．若从这个题中随机抽取个让乙作答，当变化时，要使得恰好答对题的概率取到最大值，求此时的取值． 【详解】（1）由题知题甲都回答错误的概率， 所以甲至少回答正确题的概率为． （2）由题知的所有可能取值为、、、、， 所以，， ，，， 则的分布列为： X P 所以． （3）从这个题中随机抽取个让乙作答，恰好答对题的概率为， 设，由，且，得， 所以 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 5．（2026·河南周口·模拟预测）一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列： (2)若，且，求； (3)若，两次实验中，第二次取出的10个球里恰好有3个球与第一次取出的球重复，求的估计值（以使最大的值作为估计值）． 【详解】（1）X表示的元素个数，可能取值为，总取法为， 表示两次取的球无公共元素，取法为，， 表示两次取的球恰有1个公共元素，取法为，， 表示两次取的球完全相同，取法为，， 的分布列为： （2）由已知，表示第二次从个球中取出个球，其中恰有个球的编号属于， ， 代入，则， 化简得， 因式分解得，结合得． （3）由题知，，， 设， 当时， ， 令， 当时，，即，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此，当时，取得最大值， 所以的估计值为33． 6．（25-26高二下·山东东营·期末）满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布． (1)为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求（）； （参考数据：若，，） (2)若，函数（），证明：曲线是中心对称图形； (3)若某小区一共有户住户，其电表编号为（，，，…，），国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为1分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第1户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），证明：． 【详解】（1）已知，令，则由题可知， 当时，，当时，， 所以， 因为标准正态分布关于轴对称，所以，； (2)已知，（）， 则，因为标准正态分布关于轴对称， 所以，即， 所以， 所以曲线关于点成中心对称图形； (3)由题可知的取值为， 表示第户是单元的最后一户住户的概率， 从户中选户，其中第户是单元的最后一户住户， 那么前户中有户是单元的住户， 所以， 根据期望的定义，则， 因为，所以， 由组合数的性质，可得 则. 真题实战 1．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 2．（多选）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 3．（2026·北京·高考真题）为了解某校高三年级学生的数学学习情况，随机抽查了200名高三年级学生某次考试的数学成绩，整理成下表： 成绩 人数 40 60 60 32 8 假设学生的数学成绩相互独立．用频率估计概率． (1)估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率； (2)从该校高三年级学生中随机抽取4人，估计在这次考试中，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率； (3)为分析该校高三年级学生的数学学习情况，可采用三种方法：将样本中每名学生数学成绩所在区间的左端点值、中点值和右端点值视为该生的数学成绩．分别将这三种方法得到的三组数学成绩的方差记为、和，判断、和的大小关系．（结论不要求证明）． 【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以估计该校高三年级学生这次考试的数学成绩低于120的概率为， （2）从该校高三年级学生中随机抽取1人，该学生成绩不低于分的概率为， 低于分的概率为， 所以从该校高三年级学生中随机抽取人，2人的数学成绩不低于120且2人的数学成绩低于94的概率为； （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 4．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【详解】（1）由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列，如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 5．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； （2） 由题可得人的平均年龄为：； (3)事件A与事件B不相互独立，理由如下： 由题可得，，， 注意到，则事件A与事件B不相互独立. 6．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 7．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； (3)设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 9．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【详解】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 10．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【详解】（1）依题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 故. （2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $