第10单元 06 第65讲 离散型随机变量的分布列、数字特征（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦离散型随机变量的分布列、均值与方差等核心考点，按概念定义、分布列性质、数字特征计算及两点分布应用的逻辑层次组织知识，通过考点梳理、易错警示、真题讲解和分层练习，帮助学生构建知识网络，突破概率计算、性质应用等难点。 讲义采用分层题组设计，常识题巩固基础概念，常错题针对性解决概率之和为1、公式应用等易错点，结合2025北京卷等真题案例培养学生数学思维与数据观念。如例3通过实际问题计算期望，强化知识迁移能力，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第65讲　离散型随机变量的分布列、数字特征 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.唯一确定 2.P(X=xk)=pk　概率分布　分布列 3.②1 4.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn 平均取值 (2)[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn 离散程度　标准差 (3)①aE(X)+b　②a2D(X) 【对点演练】 1.0.2　[解析] 由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得 解得m=n=0.4,因此m-=0.2. 2.　[解析] 由题意可知P(X=1)=a,则P(X=0)+P(X=1)=2a+a=1,解得a=. 3.10.4　[解析] 因为E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.1+5×0.1=2.8,所以E(3X+2)=3E(X)+2=3×2.8+2=10.4. 4.1,2,3,4,5,6,7　[解析] 因为取到白球时停止操作,所以最少取球次数为1,即第一次就取到了白球;最多取球次数是7,即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以随机变量X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7. 5.　[解析] 因为随机变量X的概率分布为P(X=i)=(i=1,2,3),所以++=1,解得k=,所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=. 6.　　[解析] 由题意知2c2+c+c=1,即2c2+c-1=0,即(2c-1)(c+1)=0,解得c=或c=-1,由c>0,得c=.E(X)=0×+1×+2×=,又E(X2)=02×+12×+22×=,所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=-=. 7.0.064　0.096　[解析] 当X=0时,表示前三次都没有命中,第四次还要射击,但结果不计,所以P(X=0)=0.43=0.064.当X=1时,表示前两次都没有命中,第三次命中,所以P(X=1)=0.6×0.42=0.096. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据分布列的性质求出a,再根据随机变量之间的函数关系即可求解.(2)首先根据分布列的性质得到p+q=1,然后利用期望公式求出2pq的值,进而可求出结果. (1)　(2)　[解析] (1)由分布列的性质可知a++5a+=1,解得a=.由Y=2X+1≥5,解得X≥2,由表可知P(X≥2)=+=,故P(Y≥5)=. (2)根据分布列的性质可知p+q=1,所以(p+q)2=p2+q2+2pq=1.因为E(X)=pq+pq=2pq=,所以p2+q2=1-=. 变式题　(1)A　(2)　[解析] (1)由题意,因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=,则P(|X|=1)=a+c=,a=-d,c=+d.根据分布列的性质,得0≤-d≤,0≤+d≤,所以-≤d≤.故选A. (2)因为P(X=n)=(n=1,2,3,4),所以+++=1,故a=,所以P=P(X=2)+P(X=3)=×+×=. 例2　[思路点拨] (1)首先利用分布列的性质得b的值,然后根据E(12X+2)=9利用期望公式求得a的值,最后根据方差公式计算D(2X+3)的值.(2)根据给定条件,计算数学期望和方差并比较大小. (1)D　(2)A　[解析] (1)依题意得+b++=1,解得b=.由E(12X+2)=9,得12E(X)+2=9,解得E(X)=,则E(X)=-1×+0×+a×+2×=,解得a=1,故D(X)=+++=×+×+×+×=,所以D(2X+3)=4D(X)=4×=.故选D. (2)依题意得E(X1)=1×p1+0×(1-p1)=p1,E(X2)=1×p2+0×(1-p2)=p2,则E(X1)<E(X2).D(X1)=p1+(1-p1)=p1(1-p1),同理可得D(X2)=p2(1-p2),因为0<p1<p2<,所以D(X1)-D(X2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,所以D(X1)<D(X2).故选A. 变式题　(1)D　(2)1.6　[解析] (1)由题意知E(X)=1×++2×=1+,D(X)=×+×+×=+,二次函数y=+的图象的对称轴为直线a=,故当a在(1,2)内增大时,D(X)先减小后增大,故选D. (2)由题意知解得所以D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4,所以D(2X-1)=4D(X)=1.6. 例3　[思路点拨] (1)用频率估计概率即可求解;(2)利用独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列,从而可求其期望;(3)根据题设可分别得关于p1,p2的方程,求出其解后可得p1与p2的大小关系. 解:(1)用频率估计概率,从甲校随机抽取1人,这个人做对该题目的概率为=0.8. (2)设A=“从甲校抽取1人做对”,则P(A)=0.8,P()=0.2, 设B=“从乙校抽取1人做对”,则P(B)=0.75,P()=0.25, 设C=“恰有1人做对”,故P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.35. X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=P( )=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=P(AB)=0.8×0.75=0.6,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55. (3)设D=“甲校学生掌握该知识点”, 因为若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目, 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,所以P(D)+[1-P(D)]=0.8,即p1+×(1-p1)=0.8,解得p1=, 同理有0.85p2+×(1-p2)=0.75,解得p2=,故p1<p2. 变式题　解:(1)记事件A=“员工所获得的红包数额不低于90元”,事件B=“取到面值为60元的球”, 因为球中有2个所标面值为40元,1个为50元,1个为60元,所以P(A)==, 又P(AB)===,所以P(B|A)===. (2)设X为员工所获得的红包数额,则X的可能取值为80,90,100,110, 且P(X=80)==,P(X=90)==,P(X=100)==,P(X=110)==,所以E(X)=80×+90×+100×+110×=96,D(X)=(80-96)2×+(90-96)2×+(100-96)2×+(110-96)2×=104. 例4　解:(1)由题可得,抽取的10件产品中,一等品有4件,非一等品有6件, 所以X的可能取值为0,1,2,3, 且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==, 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品,记抽到四等品的数量为Y,则Y~B,所以P(Y=1)=××=. (3)由题意得,方案二的产品的平均售价为24×+22×+18×+16×=21.2(元/件), 因为21<21.2,所以从采购商的角度考虑,应该选择方案一. 变式题　解:(1)记从4个选项中随机选择1个选项的得分为X, 则X的取值范围为{0,2,3}, P(X=0)=×+×=, P(X=2)=×0+×=, P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=2)=,所以X的分布列为 X 0 2 3 P 故E(X)=0×+2×+3×=. (2)记从4个选项中随机选择1个选项的得分为ξ,则ξ的取值范围为{0,2,3},P(ξ=0)=p×+(1-p)×=,P(ξ=2)=p×0+(1-p)×=(1-p),P(ξ=3)=p×+(1-p)×0=p,所以E(ξ)=0×+2×(1-p)+3×p=. 记从4个选项中随机选择2个选项的得分为ε,则ε的取值范围为{0,4,6}, P(ε=0)=p×+(1-p)×=p+,P(ε=4)=p×0+(1-p)×=(1-p),P(ε=6)=p×+(1-p)×0=p, 所以E(ε)=0×+4×(1-p)+6×p=2-p. 记从4个选项中随机选择3个选项的得分为η,则η的取值范围为{0,6}. P(η=0)=p×1+(1-p)×=p+,P(η=6)=p×0+(1-p)×=(1-p), 所以E(η)=0×+6×(1-p)=(1-p). 若唯独选择方案Ⅰ最好, 则解得<p<1, 故p的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第65讲　离散型随机变量的分布列、数字特征 【课标要求】　1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量的分布列及其数字特征(均值、方差). 1.离散型随机变量 一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都有 　　　　　　　　的实数值与之对应,就称X为一个随机变量.所有可能的取值都是可以一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.  2.离散型随机变量的分布列 一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率　　　　　　都是已知的,则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布也可以用如下形式的表格表示,这个表称为X的　　　　　　或　　　　.  X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 3.离散型随机变量分布列的性质 ①pk≥0(k=1,2,…,n); ②pk=p1+p2+…+pn=　　　　.  4.离散型随机变量的均值与方差 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (1)均值:E(X)=　　　　　　=xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望),它刻画了X的　　　　　　.  (2)方差:D(X)=　　　　　　　　　=  [xi-E(X)]2pi为离散型随机变量X的方差,能够刻画X相对于均值的　　　　　　.称为离散型随机变量X的　　　　.  (3)性质: ①E(aX+b)=　　　　(a,b为常数).  ②D(aX+b)=　　　　(a,b为常数).  5.两点分布 (1)一般地,如果随机变量的分布列能写成下面表格的形式,则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0-1分布) W 1 0 P p 1-p (2)均值与方差 若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). 常用结论 1.若k为常数,则E(k)=k,D(k)=0, 2.D(X)=E(X2)-[E(X)]2. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知随机变量X的分布列如下表,且m+2n=1.2,则m-=　　　　.  X 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 2.[教材改编] 已知随机变量X服从参数为a的两点分布,且P(X=0)=2a,那么a=　　　　.   3.[教材改编] 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则E(3X+2)=　　　　.  题组二　常错题 4.[随机变量X的所有可能取值情况考虑不周] 袋中有除颜色外完全相同的6个黑球,5个白球,从袋中每次任意取出1个球且不放回,直到取出的球是白球停止操作,记取球的次数为随机变量X,则X的可能取值为　　　　　　　　　　.  5.[忽视分布列中概率之和为1] 设随机变量X的概率分布为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X≥2)=　　　　.  6.[期望与方差的公式用错致误] 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 2c2 c c 则实数c的值为　　　　,随机变量X的方差为　　　　.  7.[随机变量取特定值时的概率计算不准确] 一位射手向靶射击,直到命中或打完所有子弹为止,每次命中的概率均为0.6,现有4发子弹,设射击结束后剩余子弹的数目为X,则P(X=0)=　　　　,P(X=1)=　　　　.  　分布列及其性质 　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)[2026·辽宁七校协作体联考] 已知离散型随机变量X的分布列如下表,若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)=　　　　.  X 0 1 2 3 P a 5a (2)已知p>0,q>0,随机变量X的分布列如下: X p q P q p 若E(X)=,则p2+q2=　　　　.  总结反思 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值; (2)可以求某些特定事件的概率; (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 变式题 (1)已知随机变量X的分布列如下表: X -1 0 1 P a b c 若a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)的值与公差d的取值范围分别是 (　 ) A., B., C., D., (2)已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P=　　　　.  　离散型随机变量的均值与方差 例2 (1)已知离散型随机变量X的分布列如下,若E(12X+2)=9,则D(2X+3)= (　 ) X -1 0 a 2 P b A. B. C. D. (2)已知随机变量Xi满足P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<,则 (　 ) A.E(X1)<E(X2),D(X1)<D(X2) B.E(X1)<E(X2),D(X1)>D(X2) C.E(X1)>E(X2),D(X1)<D(X2) D.E(X1)>E(X2),D(X1)>D(X2) 总结反思 离散型随机变量的均值与方差的计算主要考查两个方面:(1)根据分布列中概率之和为1以及均值、方差公式求值;(2)当随机变量的参数变化时,结合函数性质考查均值与方差的变化情况. 变式题 (1)[2025·重庆八中12月月考] 设1<a<2,随机变量X的分布列如下表,若a在(1,2)内增大,则 (　 ) X 1 a 2 P A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大 (2)离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,若P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,P(X=2)=b,E(X)=1,则D(2X-1)=　　　　.  例3 [2025·北京卷] 有一道选择题考查了一个知识点,甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率. (1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率. (2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望. (3)若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目,乙校同学掌握这个知识点,则有85%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p1与p2的大小(结论不要求证明).         总结反思 求离散型随机变量的均值与方差的方法: (1)理解随机变量X的意义,求出X的分布列; (2)由均值与方差的定义求出E(X)与D(X). 注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用. 变式题 [2025·广东部分学校质检] 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包.在一个不透明的袋子中装有n个形状、大小相同的标有面值的球,每位员工从袋中一次性随机摸取m个球(m≤n),摸完后全部放回袋中,球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额. (1)若n=4,m=2,当袋中的球中有2个所标面值为40元,1个为50元,1个为60元时,在员工所获得的红包数额不低于90元的条件下,求取到面值为60元的球的概率; (2)若n=5,m=4,当袋中的球中有1个所标面值为10元,2个为20元,1个为30元,1个为40元时,求员工所获得红包数额的数学期望与方差.     　均值与方差中的决策问题 例4 某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级,某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件,得到如下数据: 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级,按比例分配的分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件,再从这10件产品中随机抽取3件,记这3件产品中一等品的数量为X,求X的分布列及数学期望. (2)若将频率视为概率,从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品,求恰好有1件四等品的概率. (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择. 方案一:产品不分类,售价均为21元/件. 方案二:分类卖出,分类后的产品售价如下: 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/(元/件) 24 22 18 16 从采购商的角度考虑,你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由.     总结反思 (1)E(X)反映了随机变量取值的平均水平,D(X)反映了随机变量偏离均值的程度.它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. (2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小说明X的取值越集中在E(X)附近. 变式题 [2025·辽宁丹东五校协作体联考] 为更好地发挥高考的育才作用,部分新高考试题采用了多选题这一新题型.多选题的评分规则如下:对于多选题,每个小题给出的四个选项中有2个选项或3个选项是正确的,满分6分.全部选对得6分,有错选或全不选的得0分.正确答案为2个选项时,选对1个得3分;正确答案为3个选项时,选对1个得2分,选对2个得4分.某数学小组研究发现,多选题正确答案是2个选项的概率为p,正确答案是3个选项的概率为1-p(0<p<1).现有一道多选题,学生李华完全不会,此时他有三种答题方案: 方案Ⅰ,随机选1个选项;方案Ⅱ,随机选2个选项;方案Ⅲ,随机选3个选项. (1)若p=,且学生李华选择方案Ⅰ,求该多选题得分的数学期望; (2)以该多选题得分的数学期望为决策依据,p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 学科网（北京）股份有限公司 $