导数在研究函数中的应用课后作业-2027届高三数学一轮复习

作业大赛 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 《导数在研究函数中的应用》课后作业 学段学科 高中数学 适用年级 高三 教材版本 人教版 对应内容 2019年版普通高中教科书数学选择性必修第二册 《5.3.2导数在研究函数中的应用》的第二课时 作业类型 一轮复习课后作业 完成时长 总时长60分钟 设计者 四川省仁寿县铧强中学 余仁宏 二、设计背景 1. 课程与高考背景 导数是高中数学的核心内容，也是高考数学的高频考点和压轴题的重要载体。高考对导数的考查早已不局限于“求导公式”和“单调性判断”，而是更加注重： 导数与函数、方程、不等式、三角、对数、指数等知识的综合； 含参数问题的分类讨论； 恒成立、零点个数、不等式证明等综合问题； 利用导数解决实际优化问题。 因此，设计一组以导数为核心、兼顾函数综合的试题，符合高考命题趋势，也符合高三复习的实际需要。 2. 学情背景 学生在此之前已经学习了： 基本初等函数的求导公式； 导数的几何意义； 利用导数判断单调性、求极值和最值； 简单的含参讨论和恒成立问题。 但学生在以下方面仍容易出现问题： 含参函数单调性讨论不完整； 恒成立问题不会转化为最值问题； 方程根的个数不会结合函数图象和极值分析； 不等式证明不会构造函数； 导数与三角、对数结合时，符号判断和放缩不熟练； 实际应用问题建模能力不足。 因此，本组试题难度定位为“中等偏上”，既巩固基础，又提升综合能力。 3. 核心素养背景 《普通高中数学课程标准》强调数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养。本组试题的设计正是围绕这些素养展开： 通过函数与方程转化，培养数学抽象； 通过分类讨论和证明，培养逻辑推理； 通过求导、解不等式、计算最值，培养数学运算； 通过图象和零点分析，培养直观想象； 通过实际优化问题，培养数学建模。 三、设计意图 1. 整体设计意图 本组试题由 1 道“余弦与对数结合”的函数综合题 和 7 道导数专题题组成，整体设计意图是： 系统覆盖导数主干知识：切线、单调性、极值最值、含参讨论、恒成立、零点个数、不等式证明、实际应用； 体现导数工具性：用导数研究函数性质，解决方程、不等式和优化问题； 突出思想方法：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化化归、放缩法； 设置合理梯度：从基础到综合，从单一到交汇，从理论到应用； 对接高考命题：强调综合性和应用性，难度中等偏上。 四、整体特点与使用建议 1. 整体特点 知识覆盖面广：导数几何意义、单调性、极值最值、含参讨论、恒成立、零点、不等式证明、实际应用； 难度层次分明：基础题、中档题、综合题搭配合理； 思想方法突出：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化化归； 素养导向明确：逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模； 高考指向性强：适合高三一轮、二轮专题复习。 2. 使用建议 可作为高三导数专题复习卷或分层作业； 基础较弱的学生可先做第 1、2、6 题； 中等学生重点完成第 3、4、5 题； 学有余力的学生可挑战余弦对数综合题和含参零点问题；讲评时注意引导学生总结题型方法和易错点。 综上，本组试题的设计背景立足于高考要求和学生实际，设计意图聚焦于知识覆盖、能力提升和素养培养，整体难度中等偏上，具有较强的针对性和实用性。 五、作业设计内容 选择性必修二第五章第三节导数在研究函数中的应用 专题练习题 1. 已知函数 （1） 求曲线 处的切线方程； （2） 判断是否存在过点 的切线？若存在，求出切点横坐标。 试题来源 原创 改编 设计意图 （含知识、能力、方法、素养等） （1）求处的切线方程。 知识：导数的几何意义、切线方程、点斜式。 能力：求导运算、代入求值。 方法：先求 ，再求 ，写点斜式。 素养：数学运算、直观想象。 设计意图：巩固“在某点处的切线”这一基本模型，区分函数值与导数值。 难度系数：0.85（易）。 (2) 判断是否存在过点 的切线，并求切点横坐标。 知识：过点切线、未知切点、切线方程。 能力：设切点、列方程、解方程。 方法：设切点 ，利用切线过 列方程。 素养：逻辑推理、数学运算、方程思想。 设计意图：训练“过某点的切线”与“在某点处的切线”的区别，防止把已知点误认为切点。 难度系数：0.65（中等）。 解析：（1）求曲线在 处的切线方程 当 时： 所以切线斜率为 ，切点为 。 切线方程： 即： 2）判断是否存在过点 的切线，并求切点横坐标 设切点为 切线斜率为 切线方程为 因为切线过点 ，代入得： 即： 化简： 所以 因此存在过点 的切线，切点横坐标为 2.已知函数 。求 试题来源 原创 改编 设计意图 （含知识、能力、方法、素养等） 知识：导数与单调性、极值、最值。 能力：求导、判断符号、列表分析。 方法：，由符号确定单调区间。 素养：数学运算、逻辑推理。 设计意图：掌握 型函数的求导与图像特征；强调“极值不一定是最值”。注意：在 上 无最大值，有最小值 。 难度系数：0.70（中等）。 解析：函数定义域为 。 求导： 因为 ，所以 的符号由 决定。 当 时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增。 所以单调区间为：单调递减为 ，单调递增为 极小值点为 ，极小值为 即极小值为无极大值。当 时，，所以函数在 上无最大值。最小值为 3.已知函数 其中 （1） 讨论 在单调性; （2） 若 恒成立，求实数 的取值范围。 试题来源 原创 改编 设计意图 （含知识、能力、方法、素养等） (1) 讨论 的单调性。 知识：含参对数函数单调性、导数符号分类讨论。 能力：求导、分类讨论。 方法：，分 、 讨论。 素养：逻辑推理、分类讨论。 设计意图：训练含参函数单调性讨论，强化定义域 意识。 难度系数：0.75。 (2) 若 对任意 恒成立，求 范围。 知识：恒成立问题、最值、分离参数。 能力：转化与化归。 方法：，求 的最大值 。 素养：数学运算、逻辑推理。 设计意图：掌握恒成立求参的常用策略：分离参数或求函数最值。 难度系数：0.60（中等偏难）。 解析：（1）求导： 因为 ，所以分母为正，符号由 决定。 当 时 所以因此 在 上单调递增。 当 时令得 于是：当 时，，所以 ，函数单调递增；当 时，，所以 ，函数单调递减。 综上：当上单调递增； 上单调递减。 2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围 由得 因为 ，所以令 求其最大值。 令 ，得 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减。 所以 在 处取得最大值： 因此要使 恒成立，只需 所以 4已知函数 若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围。 考察点：恒成立、最值、含参讨论。 试题来源 原创 改编 设计意图 （含知识、能力、方法、素养等） 知识：指数函数、恒成立、最值、分类讨论。 能力：求导找最小值、分离参数。 方法：，讨论 ，得最小值 ，或分离参数得 。 素养：逻辑推理、数学运算。 设计意图：掌握 的临界情形，理解参数对函数图像的影响。 难度系数：0.65。 解析：求导：当 时 当 时，，而 ，所以 ，不可能恒有 。 当 时满足条件。当 时 令得 当 时，，所以 ，函数单调递减； 当 时，，所以 ，函数单调递增。 因此 在 处取得最小值： 要求 恒成立，只需最小值非负： 因为 ，所以所以即 结合 ，得再结合 也满足，所以 即 5已知函数 。讨论方程 的实根个数。 试题来源 原创 改编 设计意图 （含知识、能力、方法、素养等） 知识：三次函数图像、极值、方程根与函数零点。 能力：求导、分类讨论、数形结合。 方法：，极大值 ，极小值 ，看极值符号。 素养：直观想象、逻辑推理。 设计意图：用极值分布判断三次方程实根个数，渗透“图像—零点—方程根”转化。结论： 或 时1个； 时2个； 时3个。 难度系数：0.50（中偏难）。 解析：求导： 令 ，得 讨论导数符号： 当 时，，函数单调递增； 当 时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增。 所以：极大值： 极小值： 三次函数图象两端： 根据极大值、极小值与 的关系讨论实根个数。 ① 当 ，即 时 极大值小于 ，极小值更小于 ，函数只在右侧穿过 轴一次。 所以有1个实根。 ② 当 ，即 时 极大值为 ，此时 是一个根；极小值为 后函数再穿过 轴一次。所以有2个实根。 ③ 当 ，即 时 极小值大于 ，函数只在左侧穿过 轴一次。 所以有1个实根。 ④ 当 ，即 时 极小值为 ，此时 是一个根；极大值为 之前函数穿过 轴一次。所以有2个实根。 ⑤ 当 且 ，即 时 极大值大于 ，极小值小于 ，函数在三个单调区间内各穿过 轴一次。 所以有3个实根。 综上： 6证明：当 试题来源 原创 改编 设计意图 （含知识、能力、方法、素养等） 知识：利用导数证明不等式。 能力：构造函数、二阶求导、判断单调性。 方法：令 ，，，得 。 素养：逻辑推理、数学运算。 设计意图：体会导数在不等式证明中的工具作用，训练“作差构造函数—求导—判号”的固定路径。 难度系数：0.70。 证明：当 时，令 则求导： 再求导： 当 时，所以因此 在 上单调递增。 又因为 所以当 时， 因此 在 上单调递增。又因为 所以当 时， 即所以证毕。 7某工厂生产产品，固定成本为100元，每生产 件产品还需要增加成本 元。已知销售收入 求利润最大时的产量及最大利润。 试题来源 原创 改编 设计意图 （含知识、能力、方法、素养等） 知识：利润函数、导数求最值、实际应用。 能力：数学建模、求导运算。 方法：利润 ，求导得 ，最大利润 元。 素养：数学建模、数学运算。 设计意图：通过成本—收入—利润模型，训练用导数解决实际最优化问题。若原题确为 ，则需用指数函数求最值，且实际利润可能为负，不符合常规题设。 难度系数：0.75。 解析：根据题意得，每生产 件产品增加成本为 元。固定成本为 元，所以总成本为 销售收入为 利润函数为 即 求导： 令得 又因为 所以 时利润取得最大值。最大利润为 为 因此：利润最大时产量为400件，最大利润为1500元。 8.已知函数 （1） 求 的定义域和导函数 ，并判断在 上的单调性； （2） 证明：当 ； （3） 若关于的方程 上有且仅有一个实数根，求实数 的取值范围；并利用所得结论判断当时，方程 上的实数根个数。 试题来源 原创 改编 设计意图 （含知识、能力、方法、素养等） (1) 求定义域、导函数，并判断在 上的单调性。 知识：定义域、导数、三角函数符号。 能力：求导、判断导数符号。 方法：定义域 ，，在 上恒正。 素养：数学运算、逻辑推理。 设计意图：巩固导数判断单调性，结合三角函数的正负符号。 难度系数：0.80。 (2) 证明： 时 ； 时 。 知识：函数符号、对数与三角有界性。 能力：分段证明、放缩。 方法： 上 ，故 ； 上分 与 讨论，结合 增长。 素养：逻辑推理、直观想象。 设计意图：为后续判断方程根个数提供区间符号依据。 难度系数：0.60。 (3) 若 在 上有且仅有一个实数根，求 范围；并判断 时 在 上根个数。 知识：方程根、分离参数、单调性、函数零点。 能力：转化、构造、数形结合。 方法：在 上 ，令 ，，值域 ，故 。 素养：逻辑推理、数学运算、直观想象。 设计意图：综合运用单调性和函数符号判断根的个数。 时，由(1)(2)知 无根， 无根， 内有且仅有一根，所以总根数为1。 难度系数：0.55（中偏难）。 解析：（1）求定义域、导函数，并判断在 上的单调性 对数函数要求所以定义域为 求导：当 时，所以 因此 在 上单调递增。 上单调递增。 （2）证明：当 时，；当 时， ① 当 时 且因为 ，所以 因此 所以 ② 当 时 若则而所以 若则又因为 所以因此 综上： 。 （3）若方程 在区间 上有且仅有一个实数根，求 的取值范围；并判断 时方程 在 上的实根个数 在区间 上，，且 时 ，但此时 ，方程不成立。 所以可设原方程化为令 则当 时， 所以 因此 在 上单调递增。又 且当 时， 所以因此 的值域为 方程 在 上有且仅有一个实数根，则 即 当 时，方程为 即由前面结论： 当 时，，无根； 当 时， 单调递增，且 所以在此区间内有且仅有一个根； 当 时，，无根。 因此当 时，方程 在 上的实数根个数为1个。 学科网（北京）股份有限公司 $