阶段2 函数与基本初等函数 B卷-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习单元检测卷 阶段2 函数与基本初等函数 B卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．设函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？（参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 6．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程（为自然对数的底数）有个不等的正实数根（，2…，），则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，，，则（   ） A．与是同一函数 B．与是同一函数 C．若，则 D．已知，若，则 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．在上单调递减 C．若，则实数的取值范围是 D．若实数满足，则的取值范围是 11．已知，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的零点个数是______． 13．已知函数，若的定义域为，则实数的取值范围为______. 14．函数，关于的不等式有且只有一个整数解，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 16．（15分）已知函数  . (1)解不等式：； (2)若关于的方程 的解集中恰好有一个元素，求的值． 17．（15分）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （i）求的值； （ii）解关于的不等式． 18．（17分）已知函数. (1)判断的零点个数; (2)若，且，求证: ; (3)若，且，求的最大值. 19．（17分）已知函数的定义域为R．对于实数，定义集合 (1)若，判断，是否是中的元素，说明理由． (2)若，表示不大于的最大整数． （i）若，求的取值范围； （ii）若，证明：． (3)设是偶函数，当时，，且对任意，均有．求对任意实数，函数在上零点个数的最大值，并说明理由． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 阶段2 B卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 阶段2 函数与基本初等函数 B卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D A A B C C BCD ACD BCD 1．C 【解析】由，得，解得，所以. ，又，所以，所以. 2．D 【解析】由题意可知， 所以 ，解得：，，所以. 3．D 【解析】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在R上单调递减，所以函数在定义域R上单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，,因为，所以函数是偶函数，不符合题意，C错误； 选项D，在中，由，得解得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，符合题意，D正确． 4．A 【解析】函数定义域为，， 函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项B、D； 对于选项A,C，，故C错误，A正确. 5．A 【解析】对系列高铁，已知其声强级，代入声强级公式，可得， 化简得，由题意可知系列高铁的声强， 代入公式计算B系列的声强级：，即， 又，因此， 故. 6．B 【解析】要使分段函数在上单调递增，需要满足三个条件： （1）在上单调递增，当时，，因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增，须满足； （2）在上单调递增，当时，， ，，要使在上单调递增， 必须满足在时恒成立，即：，， 因为，所以，所以，即； （3）为了保证函数在整个上单调递增，必须满足处的左极限小于等于处的右极限， 当时，，需满足，解得：； 综上所述：. 7．C 【解析】因为为奇函数，则，可知函数关于点中心对称， 令，则，即； 又因为为偶函数，则，可知函数关于直线轴对称； 可得. 可知是周期为4的周期函数，则， 因为，可得， 当时，，可得，解得，满足且. 故当时，. 因为，则， 由于，所以. 8．C 【解析】对于原方程， 左右两边同乘得：， 对上式因式分解得：， 原方程等价于或. 由于对两个指数方程两边同取自然对数，整理得：和， 设，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 在处取最大值， 当时，，方程仅有1个正实根，； 当时，，且时，时， 因此方程有两个不等正实根，. 因此. 9．BCD 【解析】对于A，注意到的定义域为，的定义域为R，二者不是同一函数，故A错误； 对于B，，二者定义域相同，故B正确； 对于C，，则，，故C正确； 对于D，，因为，则，即，故，故D正确． 故选：BCD. 10．ACD 【解析】对于A，设函数，其定义域是，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，关于原点对称， 又，的图象向上平移个单位得到的图象， 所以函数的图象关于点对称，故A正确； 对于B，因为，又， 当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当时取等号， 所以恒成立，因此函数在上单调递增，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于点对称，则， 由，得到， 又函数在上单调递增，所以，即，解得，故C正确； 对于D，由于， ，可知，又因为单调递增，所以，因此可得， 即，设，，则（其中）， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．BCD 【解析】对于A，由题意知，关于x的不等式的解集为， 不妨取，则，即， 其解集为，即满足题意，故A错误； 对于B，即， 令，由于不等式的解集为， 故需满足，且， 令，则， 由于，则，即得， 又，故，B正确； 对于C，D，，， 故， 令，，则， 则， 令，则， 由于函数在上单调递增， 故， 则，即， 即，，C，D正确， 故选：BCD. 12．2 【解析】令，，则原函数的零点个数问题就转化为两个新函数图象的交点个数问题．由图，可知原函数的零点个数为2． 13． 【解析】由题意可知， 在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 14． 【解析】由函数，知其定义域为，求导得， 则当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 因此函数在处取得极大值，也是最大值. 因为，所以当时，；当时，. ，，当时，， 所以. 因为不等式有且只有一个整数解： 若，令，不等式化为关于的二次式， 当时，二次函数图象开口向上，所以恒成立， 所以原不等式对所有成立，因此原不等式有无穷多个整数解，不符合题意； 当时，设的根为，且， 则有或. 若，则不等式的解集为或， 无论取多小的正数，但必有无数多个整数解，不符合题意； 若，则不等式的解集为或， 则由函数的性质知会有无数多个整数解，不符合题意. 综上所述，时，原不等式会有无数多个整数解，不符合题意. 因此必须，原不等式简化为. ①当时，不等式的解集为或， 因为得，不等式无整数解，所以不等式只能有个整数解， 要使仅有满足，则必有且， 即，解得. ②当时，不等式化为，解得或， 显然得，不等式无整数解， 由得，整数都是不等式的解，即不等式有无穷多解，舍去. ③当时，不等式的解集为或， 因为，则，显然，不等式的解集为区间的真子集，所以原不等式无整数解， 由得，整数都是不等式的解，即不等式有无穷多解，舍去. 综上①②③，不等式有且只有一个整数解，则且. 因此的取值范围为. 15．【解析】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 16．【解析】（1）由有：， 所以，即， 所以不等式的解集为； （2）由有：， 所以，即， 当时，，满足题意， 当时，由， 所以，满足题意， 当时，方程有两个不等的实根，不妨设为， 由有，因为，所以， 所以，所以都满足，不满足题意， 综上所述，或. 17．【解析】（1）令， 任取， 则， ， ，则可得是上的单调增函数. （2）（i）令，得， 由得，， 则 ． （ii）由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故，解得或， 故原不等式的解集为或． 18．【解析】（1）当时，. 当时，由知， ，故. 当时，因为单调递增，单调递增， 所以由单调递增，以及知，存在唯一，使得. 当时，，而，所以，无零点， 综上所述，在上有且仅有个零点.      另解: 由的零点个数即函数与的图象的交点个数，结合下图 知在上有且仅有个零点. （2）由基本不等式，两边取对数得.      由知， .      即，所以， 于是，.      另解: 由基本不等式，两边取对数得.      由知，. 再由知，. 于是，． （3）因为，且， 所以， 所以，不妨设， 并令，由知， 所以， 由于 ， 均为正，所以： 正弦函数在 上严格单调递增，所以，所以. 又因为，可得：， 于是，且， 于是，，且.      再由(2)知，       ，解得， 其中取等条件为， 故的最大值为. 19．【解析】（1），理由如下： ， 所以． （2）（i）一方面，对任意，，所以； 另一方面，当时，取，则， 所以，故，所以． 综上，． (2)（ii）证明：若，对任意，都有，即， 所以，故，所以，所以； 另一方面，，所以，取，则， 则，，所以，但，所以． 综上，． (3)函数在上至多有11个零点，理由如下： 因为对任意，均有， 即对任意，只要，就有， 当时，，由为偶函数可知，当， 作出在的大致图象如下： ，，并且，所以， 故当时，，由为偶函数可知， 当时，，作出部分图象如图所示： 下证当时，至多一个零点． 否则设，且． 若，则，因为，所以， 且，故，① 当时，因为，所以，使得， 故，因为，所以， 且，故，② 根据①，②，，矛盾． 若，由①知，，矛盾， 故对任意，当时，至多一个零点． 由为偶函数，当时，至多一个零点． 下证当时，不存在三个及以上零点． 否则若，且， 有，因为，所以， ，因为，所以， 所以，而，由在上单调，矛盾， 所以当时，不存在三个及以上零点， 由为偶函数，当时，不存在三个及以上零点． 下面作出的部分图象， 由图象及上述证明可知，当时，至多有11个零点，当取其他值时， 均少于11个零点．下面说明：可以取到11个零点． 若，在上，，；故在上，； 在上，；故在上，； 取，则，因为，于是， 从而 取，则； 取，则． 经检验，这些点均满足对任意，均有，如图所示： 综上，函数在上至多有11个零点． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $