阶段2 函数与基本初等函数专项训练试卷 A卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与基本初等函数，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数学建模，适配一轮复习基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、函数性质、指数对数运算|单选基础辨析（如第2题充要条件），多选综合判断（如第9题函数性质）| |填空题|3题15分|函数定点、方程根、零点问题|第12题结合函数定点与不等式求最值，体现应用意识| |解答题|5题77分|函数奇偶性、单调性、零点、不等式恒成立|第19题三问递进，考查单调性、零点范围及证明，融合逻辑推理与创新意识|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 阶段2 A卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 阶段2 函数与基本初等函数 A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．记，则（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（   ） A．若函数为奇函数，则 B．函数恒过定点 C．若函数，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 10．已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 11．已知，且，，成等比数列，则（    ） A． B． C．不可能成等比数列 D．可能成等比数列 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 13．若是方程的两个根，则的值为__________. 14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）计算：若，，求的值； （2）计算：． 16．（15分）已知函数． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若，解不等式． 17．（15分）已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）已知. (1)当时，解关于的不等式； (2)若有两个零点，求的值； (3)若对任意，总有成立，求的取值范围. 19．（17分）已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数只有一个零点，求的取值范围； (3)若，证明：方程有唯一解，且直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左至右的三个交点的横坐标成等比数列. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 阶段2 函数与基本初等函数 A卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B C B B A C D BD AC BCD 1．C 【解析】，，，，， 集合中满足的元素有，0，1，2，共4个， 故集合中的元素个数为4，故选项C正确. 2．B 【解析】必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立， 充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1， 取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立， 故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件． 3．C 【解析】，，， 又，所以. 4．B 【解析】因为 ①，令，可得 ②. ①②得，所以.所以. 5．B 【解析】由题意可知，即， 当火箭的最大速度为时，，故此时火箭的燃料占比为. 6．A 【解析】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故，此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 7．C 【解析】∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，故. ∵ ，且当时，， ∴ 代入得. 根据对数恒等式，可得. 又∵ ， ∴ ，即. 8．D 【解析】，的定义域为. ，则函数为偶函数. 当时，，函数在上单调递减，且，时，； 函数为偶函数，函数在上单调递增；函数的值域为，图象如图所示： ， ，解得或. 方程有个不同的根， 函数的图象与直线和直线的图象共有3个交点. ，得. 实数的取值范围为. 9．BD 【解析】对于A，若，则函数为奇函数，但无意义，A错误， 对于B，函数，所以函数恒过定点,B正确， 对于C，令，又，则即， 则函数，即，C错误， 对于D，由题意知且，可得， 则函数的定义域为,D正确. 故选：BD. 10．AC 【解析】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 11．BCD 【解析】设，则， 由题意知，且. 对于A，由基本不等式得，所以， 所以，即，故A错误； 对于B，由A知，故B正确； 对于C，若成等比数列， 则，得， 又，可得，与矛盾，故不可能成等比数列，故C正确； 对于D，若成等比数列， 则，得， 可得，取，符合条件，故D正确. 故选：BCD. 12． 【解析】函数的定点为，故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为. 故答案为： 13． 【解析】因为是方程的两个根， 所以 是方程 的两个根，所以 ， .（若，答案不变） 故答案为：. 14． 【解析】，设，则， ，得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 当时，函数取得最大值1， 如图，画出函数的图象， 由，即，则，恒过点， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为，如图， 则与有2个交点，，则， 如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以， 综上可知，. 故答案为： 15．【解析】（1）， 而，，所以原式. （2）原式 . 16．【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，即 . 化简得， 所以，即. （2）时，原不等式可化为，设，则. 所以不等式变为，化简得， 因为，所以，所以要使得不等式成立，则. 即，即，根据指数函数的性质可知. 所以不等式的解集为. 17．【解析】（1）由，化简可得 ． ， 因为，所以， 即的值域为. （2）因为不等式对任意实数恒成立，所以． 令，因为，所以， 设， 结合二次函数性质可得，即，则. 所以，即，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为．. 18．【解析】（1）当时，， 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得或，则， 所以不等式的解集为. （2）函数， 当时，的对称轴为， 当时，的对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而有两个零点，则，即， 所以. （3）依题意，当时，， 当时，函数在上单调递增， ，解得，矛盾； 当时，即时，， ，则，解得，因此； 当，即时，， ，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 19．【解析】（1）由题意，在中， 若，，定义域为， ，令，解得， 当变化时，和的变化情况如下表: 1 - 不存在 - 0 + 单调递减 不存在 单调递减 e 单调递增 所以，在和单调递减，在单调递增 （2）由题意及（1）得， 方法一：在中，定义域为 ， 当时，解得：. - 不存在 - 0 + 单调递减 不存在 单调递减 单调递增 因此，在处取得极小值，为 （i）当时，由（1）知， 当时，，不存在零点； 当时，，不存在零点. （ii）当时， 当时，恒成立，不存在零点； 当）时，单调递减，至多存在一个零点. 当时，； 当时，又， 所以在上存在一个零点； 当时，又， 所以在上存在一个零点； （当时，，当时，） 所以，在上存在一个零点. （iii）当时， 当时，恒成立，不存在零点. 当时，若只有一个零点，则极小值 令， ∴函数在上单调递减， ，解得： . 综上，的取值范围为或 . 方法二：只有一个零点等价于在只有一个零点， 又， 则在上只有一个零点， ， （i）当时，恒成立，不存在零点. （ii）若，则对任意恒成立，可知在上单调递增， 且， 令，所以在上存在一个零点； （iii）若， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值. 若只有一个零点，则， 又，则. 又在单调递减，解得 . 综上，的取值范围为或. （3）由题意及（1）（2）得， 在中，，， 令，解得：． ∴在上，， 单调递减； 在上，， 单调递增. 所以. 由（1）知，在单调递减，在单调递增，， 则直线与、最多有4个交点． 令， 当时， ，所以恒成立. 当时， 令，则， 令，则， ∴在上单调递增，， ∴在上单调递增，， ∴，即， 在中，， ∴，即， ∴，∴， ∴，即，所以恒成立. 当时，在上单调递增. 当x→1时，，， 则在有唯一的零点，即存在，使得， 直线与、恰有三个交点，分别记为，，， 不妨设， 由得，即， 要证，即证， 而，即． 由得，即， 又，，，而在单调， ∴， 又由得，即， 又，，而在单调，所以． 由，得，得证. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $