第42天 导数与函数的单调性、极值和最值 每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦导数应用的系统性训练，通过14道梯度题组构建“概念识别-技能应用-综合探究”逻辑链，强化单调性、极值与最值的推理与建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2题|图像识别与最值计算|导数与原函数图像关系/极值定义| |技能应用|单选3-7题+填空10-12题|参数范围讨论与实际应用|导数符号判定单调性→极值点分类讨论→实际问题建模| |综合探究|多选8-9题+解答13-14题|函数性质综合与导数工具应用|奇偶性与导数结合/含参函数极值存在性分析|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第42天 导数与函数的单调性、极值和最值 1.答案　B 解析　由题可得函数f(x)的图象单调递增,则其导函数f'(x)≥0恒成立, 排除A,D两个选项; 对于B,当x=0,f'(0)=0,对应的原函数此时斜率为零,该选项满足题意, 选项C不符合题意.故选B. 2.答案　B 解析　由题意得f'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x, 当x∈[-π,0]时,sin x≤0,f'(x)≤0, 所以f(x)在区间[-π,0]上单调递减, 故函数最大值为f(-π)=π,故选B. 3.答案　D 解析　设底面边长为a(a>0),则高 h==, 由h>0,所以0<a<3, 所以体积V=a2h=, 设f(a)=27a4-a6,a∈(0,3), 则f'(a)=108a3-3a5=3a3(6+a)(6-a), 所以当0<a<6时,f'(a)>0,所以f(a)在(0,6)上单调递增; 当6<a<3时,f'(a)<0,所以f(a)在(6,3)上单调递减, 所以当a=6时f(a)取得极大值,即为最大值,此时该棱锥的体积最大, 此时h==3.故选D. 4.答案　B 解析　由题意得,函数f(x)定义域为(0,+∞). ∵f(x)=logax+loga+1x, ∴f'(x)=+ = =≤0, ∵a>0且a≠1, ∴ln(a+1)>0, 则≤0, ∵a2+a>a, ∴ 解得≤a<1, 当a=时,a2+a=1, f'(x)==0,不合题意, ∴a的取值范围是.故选B. 5.答案　C 解析　当x≥2时,f(x)=, 则f'(x)=, 当2≤x<e时,f'(x)>0,此时,函数f(x)单调递增, 当x>e时,f'(x)<0,此时,函数f(x)单调递减, 则函数f(x)在x=e处取得极大值,且极大值为f(e)=, 因为函数f(x)=有最大值, 则,解得0≤k≤, 因此,实数k的最大值为.故选C. 6.答案　C 解析　因为函数f(x)=x+-ln x的定义域为(0,+∞), 所以f'(x)=1--=, 因为函数f(x)既有极大值,又有极小值, 则关于x的方程x2-x-a=0有两个不等的正根x1,x2, 所以,解得-<a<0, 因此,实数a的取值范围是. 故选C. 7.答案　C 解析　函数f(x)=ex-e-x-sin x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex+sin x=-f(x),函数f(x)是奇函数,求导得f'(x)=ex+e-x-cos x≥2-cos x=2-cos x>0,函数f(x)在R上单调递增,由f(log2x)-f(lox)≤2f(1), 得f(log2x)-f(-log2x)≤2f(1), 即2f(log2x)≤2f(1),则f(log2x)≤f(1), 因此log2x≤1,解得0<x≤2, 所以所求x的取值范围是(0,2].故选C. 8.答案　ABD 解析　根据奇函数的定义有f(0)=0,A正确; 当x<0时,-x>0, 所以f(x)=-f(-x)=-[(x2-3)e-x+2] =-(x2-3)e-x-2,B正确; 当x>0时,f'(x)=(x2+2x-3)ex =(x-1)(x+3)ex, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以x=1是极小值点,f(1)=2-2e, 因为函数f(x)是奇函数,所以x=-1是极大值点,D正确; 极大值f(-1)=2e-2>2=f(),而-1<, C错误.] 9.答案　BCD 解析　由f(x)=ex-aln x, 求导可得f'(x)=, 易知函数f'(x)在(0,+∞)上单调递增, 令g(x)=xex,求导可得g'(x)=ex(1+x)>0在(0,+∞)上恒成立, 则g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0<a, 易知∃x0∈(0,+∞),使得g(x0)=a,则x0=a,即f'(x0)=0, 当0<x<x0时,f'(x)<0,则函数f(x)在(0,x0)上单调递减; 当x>x0时,f'(x)>0,则函数f(x)在(x0,+∞)上单调递增, 所以f(x)≥f(x0)=-aln x0, 由x0=a,则f(x0)=(1-x0ln x0), 令h(x)=1-xln x, 求导可得h'(x)=-ln x-1, 令h'(x)=0,解得x=, 当0<x<时,h'(x)>0,则函数h(x)在上单调递增; 当<x时,h'(x)<0,则函数h(x)在上单调递减. 由h=1+>0,h(1)=1-0>0, 则存在x1∈,使得h(x1)=0, 易知x→0时,xln x→0,所以当0<x<x1时,h(x)>0,当x1<x时,h(x)<0, 故f(x)在(0,x1)上为减函数,在(x1,+∞)上为增函数, 对于AB,由图可得x0<1,故f(x0)>0,故A错误,B正确; 对于CD,x0>1,此时f(x0)符号不定,故CD可能正确,故选BCD. 10.答案　-4 解析　由题意得 f(x)=x3-(3+a)x2+(3a+2)x-2a, 所以f'(x)=3x2-2(3+a)x+3a+2, 因为x=2是函数f(x)的极值点, 所以f'(2)=0, 即3×22-2×2(3+a)+3a+2=0, 解得a=2,经检验,满足题意, 所以f(x)=(x-1)(x-2)2, 所以f(0)=-4.] 11.答案　2 解析　等边三角形ABC的顶点A,B在圆O:x2+y2=1上,如图所示. 根据圆与等边三角形的对称性知, 当|OC|取最大值时,OC过AB的中点M, 设|AB|=x,则|CM|=x, |OM|==, 所以|OC|=|OM|+|CM|=+x=(+x),0<x≤2, 设y=+x, 则y'=··(-2x)+ =, 令y'=0,即-x+·=0, 移项平方后化简可得 x=或x=-(舍), 所以当x∈(0,)时,y'>0,y是增函数; 当x∈(,2]时,y'<0,y是减函数, 当x=时, ymax=+×=4, 所以|OC|的最大值为2. 12.答案　-1　3 解析　由y=ln x-2可得,x=ey+2,即y=ex+2, 所以函数y=ln x-2,y=ex+2互为反函数,图象关于直线y=x对称, 因直线y=x,y=-x+b互相垂直, 所以问题可转化为求y=ln x-2上点A(x0,ln x0-2)到直线y=x距离的最小值的2倍, 因为|AB|=2d= =(x0-ln x0+2), 令f(x0)=x0-ln x0+2,x0>0, 则f'(x0)=1-=, 当0<x0<1时,f'(x0)<0, 当x0>1时,f'(x0)>0, 所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故当x0=1时,f(x0)有最小值3, 此时b=x0+ln x0-2=-1, |AB|min=3. 13.解　(1)因为函数f(x)=aln x-bx2+1, 其中x>0,则f'(x)=-2bx, 因为曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切, 所以 (2)由(1)可得f(x)=2ln x-x2+1, 所以f'(x)=-2x= =, 当≤x<1时,f'(x)>0, 当1<x≤e2时,f'(x)<0, 所以f(x)在上单调递增,在(1,e2]上单调递减, 所以函数f(x)在x=1处取得极大值即最大值,则f(x)max=f(1)=0, 又f=2ln -+1=--1>-2, f(e2)=2ln e2-(e2)2+1=-e4+5<-2, 所以f(x)min=f(e2)=-e4+5. 14.解　(1)由题设条件可得,f(1)=1-(m+2)=0,解得m=-1, 此时f(x)=x2-x-ln x. 由f(x)≤x2-1,可得ln x+x-1≥0, 令g(x)=ln x+x-1, 则g'(x)=+1>0在(0,+∞)上恒成立, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增, 易知g(1)=0,所以g(x)≥0即g(x)≥g(1), 可得x≥1. 综上,不等式f(x)≤x2-1的解集为[1,+∞). (2)f'(x)=2x-(m+2)+ ==. ①当>1,即m>2时, 由f'(x)>0得x∈(0,1)∪; 由f'(x)<0得x∈. 故f(x)在(0,1),上单调递增, 在上单调递减, 此时f(x)在x=1处取得极大值. ②当0<<1,即0<m<2时, 由f'(x)>0得x∈∪(1,+∞); 由f'(x)<0得x∈. 故f(x)在,(1,+∞)上单调递增, 在上单调递减, 此时f(x)在x=处取得极大值. ③当=1,即m=2时,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即f(x)在(0,+∞)上单调递增, 此时函数f(x)在(0,+∞)上无极大值. ④当≤0,即m≤0时, 由f'(x)<0得x∈(0,1); 由f'(x)>0得x∈(1,+∞). 故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 此时f(x)在x=1处取得极小值,无极大值. 综上可知,m的取值范围为(0,2)∪(2,+∞). 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第42天 导数与函数的单调性、极值和最值 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·长沙适考)已知函数f(x)的图象如下图所示,则其导函数f'(x)的图象可能是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　D. 2.(2025·郑州外国语学校调研)函数f(x)=xcos x-sin x在区间[-π,0]上的最大值为(　　) A.1 B.π C. D. 3.(2025·武汉四调)已知正四棱锥的侧棱长为3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为(　　) A.1 B. C.2 D.3 4.(2025·江南十校联考)若函数f(x)=logax+loga+1x是减函数,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.(2025·宿迁二调)若函数f(x)=有最大值,则k的最大值为(　　) A. B. C. D. 6.(2025·台州二模)已知a∈R,若函数f(x)=x+-ln x既有极大值又有极小值,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.(2025·呼和浩特一模)设函数f(x)=ex-e-x-sin x,则使得f(log2x)-f(lox)≤2f(1)成立的x的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(0,1] C.(0,2] D.[2,+∞) 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·新高考Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 9.(2025·武汉二调)已知a>0且a≠e,则函数f(x)=ex-aln x的图象可能是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　D. 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·新高考Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)·(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　.  11.(2025·杭州二模)已知圆O是单位圆,正三角形ABC的顶点A,B在圆O上,则|OC|的最大值为　　　　.  12.(2025·开封二模)已知直线y=-x+b与函数y=ln x-2,y=ex+2的图象分别交于A,B两点,则|AB|取最小值时,b=　　　　,最小值为　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·广东模拟)已知函数f(x)=aln x-bx2+1(a,b∈R),曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在上的最大值和最小值.(其中e=2.718…为自然对数的底数) 14.(2025·上海卷)已知f(x)=x2-(m+2)x+mln x,m∈R. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的解集; (2)若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值,求m的取值范围. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $