精品解析：江苏省海门中学2026-2027学年高一上学期9月阶段检测数学试题

江苏省海门中学2026—2027学年度第一学期九月份学情调研 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 若，此时，，因为，但，所以不成立； 若，此时，，所以成立. 综上可得，. 2. 设a>0，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式可求解. 【详解】，，当且仅当a=2时取等号， 所以的最小值为5. 故选：D. 3. 命题“都有”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】该全称命题为真，等价于对所有实数，不等式恒成立 因为，所以，即的最小值为，因此. 4. 表示不超过的最大整数，设集合，则中所有元素之积为（ ） A. 5 B. C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】因为时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以中所有元素之积为：. 5. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式可得的解集，再由题意得关于的不等式组求解即可. 【详解】由不等式，得， ∵不等式成立的一个充分不必要条件是， ∴⫋， 则且与的等号不同时成立，解得， ∴的取值范围为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题. 6. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙； 若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意； 若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 7. 已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数配方得的最小值，再由基本不等式得到关于ab的范围，将所求平方即可代入求解 【详解】由题意不等式对任意恒成立 又∴a+b≤6则 当且仅当 成立 故 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，综合考查基本不等式与不等式的解法，恒成立的问题一般与最值有关． 8. 已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的性质，以及一元二次方程的性质逐一判断即可. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的非零数，且是“完美集”， 设， 根据一元二次方程根与系数的关系可知， 和可以看成一元二次方程的两个不相等实数根， 由，解得或， 当时，，所以均为正数， 所以、至少有一个大于2， 当时，，所以一个正数，一个负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值，因此、至少有一个大于2不一定成立，所以②不正确； 对于③中，由②知，一元二次方程， 当满足或时，当t取不同的值时，对应的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，当时，不妨设A中， 当时，由， 当时，由，显然符合， 因此“完美集”A不只一个，所以④不正确. 因此结论中是真命题的个数为,所以选项B是正确的. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题“p：，”则命题p的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若a，，则是的充分不必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题否定判断A选项，根据充分必要条件的定义举反例判断B，C选项，根据二次方程的韦达定理判断D选项. 【详解】选项A，原命题的否定为，A正确； 选项B，取，满足但，充分性不成立； 取，满足但，必要性不成立，B错误； 选项C，取，满足但，充分性不成立，C错误； 选项D，关于的方程有一正一负根”的充要条件为，根据方程可得， 所以“关于的方程有一正一负根”的充要条件为，D正确. 10. 已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ） A. 不等式的解集可以是 B. 不等式的解集可以是 C. 不等式的解集可以是 D. 不等式的解集可以是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据与的关系结合判别式分析AC选项；根据时不等式成立分析BD选项. 【详解】A选项：，时满足题意，故A正确； B选项：时不等式成立，解集不可能为空，故B错误； C选项：，时，解集恰为，满足题意，故C正确； D选项：时不等式成立，解集中有元素0，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数有且只有一个零点，则（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由二次函数仅有1个零点可得判别式，即，再结合不等式性质、基本不等式、韦达定理逐一判断选项 【详解】选项A：由题意可得：，代入， 得，整理为，该式恒成立，故A正确； 选项B：，当且仅当即时等号成立，故B错误； 选项C：由韦达定理，方程的两根之积， 由，，得，故，C正确； 选项D：方程的两根差 ， 由解得，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分． 12. 已知集合，，那么集合的子集个数为_________． 【答案】 1 【解析】 【详解】集合是数集， 集合是点集， 所以， 所以集合只有一个子集. 所以集合的子集个数为. 13. 二进制数（用0与1表示的数）是计算机语言的一个组成部分，则_____．（用集合符号填空） 【答案】 【解析】 【详解】二进制数， ， 所以． 所以． 14. 设集合，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的范围的“长度”是_____． 【答案】 ## 【解析】 【分析】由子集的定义分别求得的取值范围，结合集合长度的定义，分析的“长度”的最小值和最大值，即可得到的“长度”的范围，从而求得该范围的长度. 【详解】由集合是集合的子集， 得，所以. 由是集合的子集， 得，所以. 集合的长度为， 集合的长度为， 当集合与集合的公共元素最少时，的“长度”最小，最小值为； 当集合与集合的公共元素最多时，的“长度”最大， 又，所以的“长度”的最大值为. 所以集合的“长度”的范围是， 所以集合的“长度”的范围的“长度”是. 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，，，求： （1）； （2）． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 不等式等价于，即. ，故. 【小问2详解】 ，. 故. 16. 已知、，集合，． （1）若，求、的值； （2）若，求、的值． 【答案】（1） 或 （2）①当 时， 为任意实数；②当 时，；③当 时，；④当 时，。 【解析】 【分析】（1）先求出的两根为和，由得，代入求出，再根据的两种情况分别确定； （2）由得，对的判别式按小于零、等于零、大于零三种情况讨论，分别求出满足条件的． 【小问1详解】 由题意： ， 对于集合，方程可化为， 所以方程的解为 若，所以， 所以，由，代入的方程得： 此时的方程为 即 由 ，分两种情况： 若，则，满足； 若，则，需，得， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 对中方程的判别式分类讨论： ①当，即时，，显然，此时为任意实数. ②当时： 若，即，则，需，即，得； 若，即，则，需，即，得； ③当时，方程有两个不同实根，要，只能，即（由 解得），此时需，得. 综上： ①当时，为任意实数； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 17. （1）已知，，且，求的最小值． （2）若实数x，y满足，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】利用乘“1”法求最值. 【详解】（1）由可得，又，， 则 ， 当且仅当即时取等， 所以的最小值为. （2）设，则且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取等， 所以的最小值为. 18. 已知，，，，，． （1）试比较与的大小，并证明你的结论； （2）求的最小值； （3）求证：对任意正数x，y以a，b，c为三边可构成三角形的充要条件是． 【答案】（1），理由如下： 因为， 所以， 因为，， ， 所以. （2） （3）充分性：若， 因为由上可知，所以一定成立. 想证明成立，只需证明， 只需证明成立， 设 ， 因为，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以成立，即成立. 想要证明，只需证明成立， 即只需证明成立， 因为， 当且仅当时，等号成立，而， 所以成立，即成立， 因此以a，b，c为三边可构成三角形； 必要性：若对任意正数x，y以a，b，c为三边可构成三角形. 因为由上可知，所以一定成立， 所以，且一定也成立， 即，且成立， 即，且成立， 由上可知：，且， 所以. 故：对任意正数x，y以a，b，c为三边可构成三角形的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）利用作差比较法进行求解即可； （2）运用二次根式的性质，结合基本不等式、不等式的性质进行求解即可； （3）结合，由a，b，c为三边可构成三角形，得到，且成立，即，且成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性、充要条件的定义进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，， 所以 ， 当且仅当时，有最小值. 【小问3详解】 略. 19. 已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． （1）判断集合是否为封闭集，并说明理由； （2）判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； （3）若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 【答案】（1）集合B是，集合C不是，理由如下： 对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为， 所以集合不是封闭集. （2）p假q真，理由如下： 对命题：令， 令，则， 因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集， 则，同理，因此， 所以是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3） 非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 【解析】 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2026—2027学年度第一学期九月份学情调研 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 设a>0，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 3. 命题“都有”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 表示不超过的最大整数，设集合，则中所有元素之积为（ ） A. 5 B. C. 45 D. 60 5. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 7. 已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 8. 已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题“p：，”则命题p的否定是：， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若a，，则是的充分不必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ） A. 不等式的解集可以是 B. 不等式的解集可以是 C. 不等式的解集可以是 D. 不等式的解集可以是 11. 已知函数有且只有一个零点，则（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分． 12. 已知集合，，那么集合的子集个数为_________． 13. 二进制数（用0与1表示的数）是计算机语言的一个组成部分，则_____．（用集合符号填空） 14. 设集合，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的范围的“长度”是_____． 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，，，求： （1）； （2）． 16. 已知、，集合，． （1）若，求、的值； （2）若，求、的值． 17. （1）已知，，且，求的最小值． （2）若实数x，y满足，且，求的最小值． 18. 已知，，，，，． （1）试比较与的大小，并证明你的结论； （2）求的最小值； （3）求证：对任意正数x，y以a，b，c为三边可构成三角形的充要条件是． 19. 已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． （1）判断集合是否为封闭集，并说明理由； （2）判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； （3）若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $