2.1 认识一元二次方程 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“认识一元二次方程”同步练，聚焦新授课知识巩固，以“基础概念→参数应用→综合创新”分层设计，覆盖定义、系数、根的概念及代数式转化，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一元二次方程定义、系数辨析|选择题1-3直接判断方程类型与系数，填空题12考查参数条件，夯实概念理解| |中档|方程变形、根的应用|选择题8-9将方程化为一般式求系数，填空题10-11利用方程根化简代数式，提升运算能力| |提高|新定义与综合证明|填空题14引入“同构二次方程”，解答题17证明“关联方程”根的性质，培养创新意识与逻辑推理|

2.1 认识一元二次方程 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共9小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 2．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2＝x（x+1） D．（x+1）（x﹣1）＝0 3．关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．﹣2 5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 6．将一元二次方程3x2＝﹣2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，2，﹣1 B．3，﹣2，1 C．3，2，1 D．3，﹣2，﹣1 7．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+a2﹣9＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D． 8．方程x（x﹣6）＝6x+25化为一元二次方程的一般形式是x2﹣mx+n＝0，则m，n的值分别是（　　） A．12，﹣25 B．1，﹣25 C．﹣19，25 D．0，25 9．如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 二．填空题（共5小题） 10．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式m4﹣4m3+4m2的值为　 　 ． 11．已知a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　 ． 12．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程（x+2）2＝m（2x+1）中不含x的一次项，则m的值是　 　 ． 14．把关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0称为“同构二次方程”．比如2（x﹣2）2﹣4＝0与3（x﹣2）2﹣4＝0就是“同构二次方程”．已知两个关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”，则a﹣b＝　 　 ． 三．解答题（共3小题） 15．已知关于x的方程（k2﹣1）x2﹣（k+1）x﹣2＝0． （1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根． （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 16．已知t是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，求： （1）代数式3t2﹣6t+4的值； （2）代数式t3﹣4t2+2t+1的值． 17．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“关联方程”． （1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“关联方程”，证明：x＝﹣1为“关联方程”的根； （2）已知4x2﹣mx+n＝0是关于x的“关联方程”，若m是该“关联方程”的一个根，求m的值． 2.1 认识一元二次方程 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 【解答】解：A、x2﹣5x＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、3x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2＝x（x+1） D．（x+1）（x﹣1）＝0 【解答】解：A、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意；含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程x2＝x（x+1）整理得x＝0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程（x+1）（x﹣1）＝0整理得x2﹣1＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 3．关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【解答】解：A、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，二次项系数为1，说法正确； B、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，一次项系数为﹣6，说法正确； C、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，常数项为3，说法错误； D、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，它是一元二次方程，说法正确； 故选：C． 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．﹣2 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故选：A． 5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2 【解答】解：根据题意得：， 解得：m＝﹣2． 故选：C． 6．将一元二次方程3x2＝﹣2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，2，﹣1 B．3，﹣2，1 C．3，2，1 D．3，﹣2，﹣1 【解答】解：原方程化成一元二次方程一般式是：3x2+2x﹣1＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，2，﹣1． 故选：A． 7．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+a2﹣9＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D． 【解答】解：由题意得：将x＝0代入方程（a+3）x2+a2﹣9＝0中得：a2﹣9＝0， 解得a＝3或a＝﹣3， ∵原方程是关于x的一元二次方程 ∴二次项系数 a+3≠0，即 a≠﹣3 ∴a＝3， 故选：A． 8．方程x（x﹣6）＝6x+25化为一元二次方程的一般形式是x2﹣mx+n＝0，则m，n的值分别是（　　） A．12，﹣25 B．1，﹣25 C．﹣19，25 D．0，25 【解答】解：原方程整理得x2﹣12x﹣25＝0， ∵原方程化为一元二次方程的一般形式是x2﹣mx+n＝0， ∴m＝12，n＝﹣25． 故选：A． 9．如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025＝﹣2×1+2025＝2023． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 10．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式m4﹣4m3+4m2的值为　36　 ． 【解答】解：由条件可知m2﹣2m﹣6＝0，即m2﹣2m＝6， ∴m4﹣4m3+4m2 ＝m2（m2﹣4m+4） ＝m2（m﹣2）2 ＝[m（m﹣2）]2 ＝（m2﹣2m）2 ＝62 ＝36． 故答案为：36． 11．已知a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　　 ． 【解答】解：将x＝a代入原方程得：a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣2a＝5， ∴原式（a2﹣2a）5． 故答案为：． 12．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是m＝±3　 ． 【解答】解：由题意得|m|﹣1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝±3， 故答案为：m＝±3． 13．若关于x的一元二次方程（x+2）2＝m（2x+1）中不含x的一次项，则m的值是　2　 ． 【解答】解：（x+2）2＝m（2x+1）， x2+4x+4＝2mx+m， 整理得，x2+（4﹣2m）x+4﹣m＝0， 根据题意知，4﹣2m＝0， 解得m＝2． 故答案为：2． 14．把关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0称为“同构二次方程”．比如2（x﹣2）2﹣4＝0与3（x﹣2）2﹣4＝0就是“同构二次方程”．已知两个关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”，则a﹣b＝　﹣6　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0称为“同构二次方程”，2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”， ∴方程（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0可化为方程（a+1）（x﹣1）2﹣1＝0， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝（a+1）（x﹣1）2﹣1， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝（a+1）x2﹣2（a+1）x+（a+1）﹣1， ∴， 解得：， a﹣b＝﹣2﹣4＝﹣6． 故答案为：﹣6． 三．解答题（共3小题） 15．已知关于x的方程（k2﹣1）x2﹣（k+1）x﹣2＝0． （1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根． （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【解答】解：（1）∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得k＝1； （2）∵原方程为一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， 解得k≠±1， 该方程的二次项系数为k2﹣1，一次项系数为﹣（k+1），常数项为﹣2． 16．已知t是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，求： （1）代数式3t2﹣6t+4的值； （2）代数式t3﹣4t2+2t+1的值． 【解答】解：（1）当x＝t时，t2﹣2t﹣2＝0 t2﹣2t＝2， ∵3t2﹣6t+4＝3（t2﹣2t）+4， ∴原式＝3×2+4 ＝10； （2）由（1）得，t2﹣2t＝2， ∴t2＝2t+2， ∴t3＝t•t2 ＝t（2t+2） ＝2t2+2t， ∴原式＝（2t2+2t）﹣4t2+2t+1 ＝﹣2t2+4t+1 ＝﹣2（t2﹣2t）+1 ＝﹣2×2+1 ＝﹣3． 17．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“关联方程”． （1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“关联方程”，证明：x＝﹣1为“关联方程”的根； （2）已知4x2﹣mx+n＝0是关于x的“关联方程”，若m是该“关联方程”的一个根，求m的值． 【解答】（1）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“关联方程”， ∴b＝a+c，即a﹣b+c＝0， 把x＝﹣1代入方程左边，得左边＝a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c＝a﹣b+c＝0， ∴左边＝右边， ∴x＝﹣1为“关联方程”的根； （2）解：∵4x2﹣mx+n＝0是关于x的“关联方程”， ∴﹣m＝4+n， ∴n＝﹣m﹣4， ∵m是该方程的一个根， ∴4m2﹣m•m+n＝0， 整理得3m2+n＝0， 把n＝﹣m﹣4代入3m2+n＝0，得3m2﹣m﹣4＝0， 因式分解，得（3m﹣4）（m+1）＝0， 解得m＝﹣1或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/22 13:49:07；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $