精品解析：云南部分校联考2026-2027学年高三上学期9月份月考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集是三角形，集合是直角三角形，是锐角三角形或直角三角形，则（ ） A. 是钝角三角形 B. 是锐角三角形或钝角三角形 C. 是直角三角形 D. 是直角三角形或钝角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类. 由题意得，是直角三角形，是锐角三角形或直角三角形， 因此，根据集合并集的运算性质可得，已知全集是三角形， 根据补集的定义，是钝角三角形. 2. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在双曲线中，，，所以， 故双曲线的焦距为. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 70 【答案】A 【解析】 【详解】在的展开式中，的项为，则的系数为． 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，代入得到切线斜率，再结合切点坐标由点斜式即可写出方程. 【详解】因为， 将代入导函数，可得， 已知切点为，由点斜式可得切线方程为，即. 5. 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角余弦公式化简函数解析式，再结合余弦函数对称中心的性质列方程求解即可得 【详解】由二倍角余弦公式，可得， 又因为余弦函数的对称中心的横坐标满足（），此时函数值为. 令，，解得. 因此函数图象的对称中心为（）. 6. 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 令， 因为和在上均为增函数，所以为增函数， 又因为， 所以的解集为， 所以的最大值与最小值的差为4. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和奇偶性排除选项A，C ，然后利用函数在无穷远处的变化趋势确定最终选项. 【详解】函数的定义域为. ，都有， 且， 所以为偶函数，的图象关于轴对称. 所以A，C错误． ， 当时，， 所以，单调递增. 所以排除D，B符合. 8. 设等差数列的前项和为，若，，则数列的前11项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算等差数列的公差及，使用裂项相消法求解. 【详解】等差数列的公差为：， 则， ， 则数列的前11项和为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，，则（ ） A. 与的实部相等 B. 与互为共轭复数 C. 与的虚部相等 D. 与互为共轭复数 【答案】CD 【解析】 【详解】AC选项：因为，，所以与的实部不相等，虚部相等． BD选项：因为，所以与不互为共轭复数，与互为共轭复数． 10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由抛物线的焦点为抛物线的顶点可得，从而可判断A正确；对B联立两个抛物线方程，进而可得，两点的坐标，结合向量数量积的坐标运算可得B，再由抛物线的定义可得C，再由投影向量的定义可得D. 【详解】选项A：抛物线的焦点，抛物线的顶点为， 由抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，所以，A正确. 选项B：由A选项分析知，联立，消得， 解得，，即交点为， 不妨设，，则，， 所以，B正确. 选项C：因为抛物线：的焦点，所以， 又因为，由抛物线的定义，C错误. 选项D：由，，所以，， 所以在上的投影向量为，D正确. 11. 记某圆锥为，且的侧面积为，则（ ） A. 的体积的最大值为 B. 当的高为2时，的母线长为 C. 当的体积最大时，的外接球的表面积为 D. 当的底面半径为时，内可以放入一个棱长为1的正方体 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由圆锥侧面积公式得到，再结合，分别对各选项涉及的体积、母线长、外接球表面积、内接正方体问题逐一计算判断. 【详解】 已知圆锥侧面积，故，且（为底面半径，为母线长，为高）. 选项A：圆锥体积，代入，得， 令，则，，令得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以时，，，A正确； 选项B：当时，，结合，得，所以， 得，解得，即，B正确； 选项C：体积最大时，，设外接球半径为，球心在高线上，满足，代入得，解得，外接球表面积，C正确； 选项D：当时，，，圆锥高恰等于正方体棱长1，设正方体上、下底面到顶点的距离分别为、，不超出圆锥高需，即；又，故只能，即上底面须放在圆锥顶点处，但顶点处截面半径为0，而上底面正方形顶点到轴线的距离为，不可能放入，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若1，，m，n依次成等比数列，则________． 【答案】12 【解析】 【详解】因为1，，，依次成等比数列，所以，，则，，故． 13. 已知函数，则________，的值域为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】函数， 所以． 因为，所以， 所以， 故的值域为． 14. 已知圆：，点，是圆及其内部的点构成的集合．定义集合，则表示的区域的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】明确集合是圆与以为圆心、半径为3的圆的公共区域，通过计算圆心距、两圆对应公共弧的圆心角，结合扇形和三角形面积公式求解公共区域面积. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径； 由，得点在以为圆心、半径的圆及其内部， 又集合，所以为两圆的公共区域. 易知，两圆的一个交点为原点，设另一个交点为，则为圆的直径. 因为两圆心横坐标相同，所以，. 在中，，，则，同理可得. 圆中扇形的面积：； 圆中扇形的面积：； . 因此公共区域面积. 故表示的区域的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，，且的长为整数． （1）求； （2）若点在射线上，且的面积为，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理结合边长为整数的条件求出的长度，再用正弦定理求解即可. （2）由三角形面积公式求出的长度，再用余弦定理计算的长. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，即， 整理得，解得或， 因为为整数，故. 由正弦定理，得. 【小问2详解】 在中，. 设，由的面积为，得， 即，化简得，解得，即. 在中，. 因长度为正，故. 16. 如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 因为，分别为，的中点，所以，， 所以直线的方向向量为. 为平面内的两个相交的向量， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则. 因为，所以. 又直线平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，结合直线不在平面内，证明线面平行； （2）利用空间向量计算平面的法向量，代入线面角公式，求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，得， 所以. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则. 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义中，，的关系从而求解焦距。（2）由题意可知点在的垂直平分线上，再联立椭圆方程，利用垂直平分线的性质列出等式，从而求解。 【小问1详解】 由题意可得，且， 解得，则， 因此焦距. 【小问2详解】 由于过点的直线与交于，两点，且，即在的垂直平分线上. 分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时：直线方程为，此时交点，. ， 满足，因此符合题意. 当直线斜率存在时：设直线的方程为， 联立方程 整理得：， 设，，中点为， 由韦达定理得，， 代入直线方程得中点纵坐标， 由得，即斜率乘积为-1，， ，代入得，解得， 即直线方程为，. 综上所述：直线的方程为或或. 18. 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）已知函数，证明：恰有个俏值． （3）若函数，求的最大值与俏值． 【答案】（1）证明：因为，求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以在上有最小值，且最小值为． 因为，所以为俏函数. 当，且时，在上的最小值为，且， 所以的俏值只能为，故的俏值唯一． （2）证明：． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上的最小值大于，在上的最小值大于， 所以函数在上的最小值都小于， 故的俏值为和，即恰有个俏值． （3），俏值为． 【解析】 【分析】（1）由俏函数的定义以及的单调性即可证明； （2）由俏函数的定义以及对求导求解单调性即可证明； （3）由俏函数的定义，对换元，由二次函数的性质即可求解最大值，再由俏函数的定义，复合函数的单调性以及函数的对称性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，当且仅当时，即当时等号成立， 则， 则，则， 所以当时，取得最大值，故的最大值为． 令，则，则， 由可得，由可得， 因为内层函数在时单调递减，在时单调递增， 而外层函数在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 则， 由可得或， 因为内层函数在上单调递增，在上单调递增， 外层函数在上单调递增，在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知在上单调递增， 在上单调递减． 因为， 所以的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减． 因为，，， 所以在上无最小值，在上无最小值，在上无最小值， 在上有最小值，且最小值为， 在上有最小值，但最小值都小于，故的俏值为． 19. 已知某袋中有（，，）个大小、形状完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，黑球有个，每次从袋中不放回地随机取出1个小球． （1）设，记前3次取的小球的颜色的种数为，求的期望； （2）设，，求红球首先被全部取出的概率； （3）若，，且最后剩下的球全是红球的概率为，证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）“最后剩下的球全是红球” 等价于最后一个球是红球（所有白球、黑球都被取完后，剩余球均为红球），因为，， 因此最后一个球是红球的概率为， 取倒数得， 对到求和， 当，即时，，故， 综上，当时，，得证. 【解析】 【分析】（1）引入颜色指示变量，利用期望的线性性质，避开复杂的分布列计算，直接拆分求解；（2）将 “红球最先被取完” 等价转化为最后一个红球的位置早于最后一个白球、黑球，按末尾球的颜色分类结合条件概率计算；（3）先推导 “最后剩的全是红球” 等价于最后一个球是红球，得到，再对倒数求和后用等比数列公式与放缩法证明不等式. 【小问1详解】 设分别表示前 3 次取球中是否取到红球、白球、黑球（取到对应颜色记为 1，未取到记为 0），则颜色种数，对红球而言，前 3 次都未取到红球的概率为， 因此取到红球的期望， 由于三种颜色的数量相同，故， 根据期望的线性； 【小问2详解】 “红球首先被全部取出” 等价于：最后一个红球的位置早于最后一个白球和最后一个黑球的位置，即红球是三种颜色中最先被取完的. 分两类讨论：若最后一个球是白球，概率为，此时白球是最后被取完的，只需红球比黑球先被取完. 对 3 个红球和 2 个黑球，红球先被取完的概率等于最后一个为黑球的概率为； 若最后一个球是黑球，概率同样为，同理，红球比白球先被取完的概率也为， 若最后一个球是红球，则红球不可能最先被全部取出，无需计入， 因此总概率； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集是三角形，集合是直角三角形，是锐角三角形或直角三角形，则（ ） A. 是钝角三角形 B. 是锐角三角形或钝角三角形 C. 是直角三角形 D. 是直角三角形或钝角三角形 2. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 70 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 设等差数列的前项和为，若，，则数列的前11项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，，则（ ） A. 与的实部相等 B. 与互为共轭复数 C. 与的虚部相等 D. 与互为共轭复数 10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 记某圆锥为，且的侧面积为，则（ ） A. 的体积的最大值为 B. 当的高为2时，的母线长为 C. 当的体积最大时，的外接球的表面积为 D. 当的底面半径为时，内可以放入一个棱长为1的正方体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若1，，m，n依次成等比数列，则________． 13. 已知函数，则________，的值域为________． 14. 已知圆：，点，是圆及其内部的点构成的集合．定义集合，则表示的区域的面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，，且的长为整数． （1）求； （2）若点在射线上，且的面积为，求线段的长． 16. 如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 18. 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）已知函数，证明：恰有个俏值． （3）若函数，求的最大值与俏值． 19. 已知某袋中有（，，）个大小、形状完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，黑球有个，每次从袋中不放回地随机取出1个小球． （1）设，记前3次取的小球的颜色的种数为，求的期望； （2）设，，求红球首先被全部取出的概率； （3）若，，且最后剩下的球全是红球的概率为，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $