精品解析：江苏省泰州市兴化市文正高级中学2025-2026学年高三上学期第一次月度检测（10月）数学试题

文正高级中学2025年秋学期第一次月度检测 高三数学试卷 （考试用时：120分钟 总分：150分 命题人：赵立俊） 注意事项： 1.本试卷共分两部分，第I卷为选择题，第II卷为非选择题. 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解指数不等式与一元二次不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，解得，所以， 所以. 故选：A 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的解析式由内到外逐层计算的值. 【详解】，，则. 故选：A. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查计算能力，属于基础题. 3. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D. 【详解】对A，当时，则，故A错误； 对B，当时，则，则，故B错误； 对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误； 对D，若，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【详解】解：因为， ， 所以，，的大小关系为. 故选：D. 【点睛】本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 依次判断充分性和必要性，取得到不充分，得到答案. 【详解】当时，取，则，故不充分； 当时，根据幂函数的单调性得到，故，必要性成立. 故选：. 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力. 6. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 7. 已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，命题：，为真命题，分、两种情况讨论，利用参变量分离法求出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，命题：，为真命题. ①当时，则，不合乎题意； ②当时，则，令， 则， 所以，当时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当.则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，设g（x）=x2f（x）， 其导数g′（x）=（x2）′f（x）+x2•f（x）=2xf（x）+x2•f（x）=x[2f（x）+xf'（x）]， 又由当x＞0时，有2f（x）+xf'（x）<0成立，则数g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]<0， 则函数g（x）在（0，+∞）上为减函数， 若g（x）=x2f（x），且f（x）为偶函数，则g（-x）=（-x）2f（-x）=x2f（x）=g（x）， 即g（x）为偶函数，所以 即 因为为偶函数，所以,所以 故选D 点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g（x）并分析g（x）的单调性与奇偶性． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为的周期函数 B. 是周期为的周期函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合，为奇函数判断. 【详解】因为函数的定义域为，且与都为奇函数， 所以，， 所以，， 所以，即，故B正确A错误； 因为，且为奇函数，所以为奇函数，故D正确； 因为与相差1，不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以不为奇函数，故C错误. 故选：BD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A；利用作差法比较出大小可判断B；举出反例可判断CD. 【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确； 对于B，，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，故C错误； 对于D，当时，，故D错误； 故选：AB. 11. 已知是的导函数，且，则（ ） A. B. C. 的图象在处的切线的斜率为0 D. 在上的最小值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，利用方程思想，求导赋值，建立方程，求得的值，可得函数与导函数解析式， 对于A、B，直接代值，可得答案；对于C，利用导数的几何意义，可得答案；对于D，根据导数与单调性关系，可得答案. 【详解】∵，∴，令，则，故B正确；则，， ，故A错误； 的图象在处的切线的斜率为，故C正确； ，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴在上的最小值为，故D错误． 故选：BC． 第II部分（非选择题 ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线经过点 ，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得切线方程，再由切线经过点，解得实数. 【详解】由， 得，，， 而切线过点，从而有， 解得， 故答案为：. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 13. 已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】由集合， 若时，可得，此时满足； 若时，要是得到，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】判断函数为奇函数和增函数，将不等式转化为，计算得到答案. 【详解】因为， 所以，故函数为奇函数， 因为为增函数，则为增函数， 所以为增函数， 由，可得， 即，解得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案； （2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 ∵：是真命题，∴， ∴，解得， ∴的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知：：，：即 因为是的必要不充分条件，所以，解得：. 综上所述的取值范围是. 16. 已知函数，． （1）若，求使的x的取值范围； （2）当时，设，求在区间上的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果. （2）结合基本（均值）不等式求和的最小值. 【小问1详解】 由题意可知：． 所以，满足条件的x的取值范围是． 【小问2详解】 ，， 当时，， （当且仅当即时取“”）， 所以． 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数，都有，求a的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论即可； （2），分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ，即， 即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 18. 已知函数. （1）若时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在时取得极值，当时，求使得恒成立的实数的取值范围； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据函数在某点处导数的几何意义，可得切弦的斜率，利用点斜式可得结果. （2）根据，可得，然后利用导数判断函数在的单调性，并根据的最值与的关系，可得结果. （3）采用等价转化的思想，可得在恒成立，并使用分离参数，构建新函数，根据的最值与的大小关系，可得结果. 【详解】（1）时，， ， ，， 故切线方程是：， 即； （2）， ，解得：， ∴， ， 令，解得：或， 令，解得：， ∴在递增，在递减， ∴的最小值是或， 而，， ∴； （3）若函数在区间上单调递减， 则在恒成立， 即在恒成立， 令，， 在恒成立， ∴在递减，， ∴. 【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构建新函数以及分离参数，达到化繁为简，学会构建新函数，使目标更加明确，属基础题. 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； （2）若函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得切线方程，再根据三角形面积，即可求得结果； （2）通过二次求导，求得的最小值，结合的隐零点，即可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 则，又， 所以函数在处的切线方程为． 由题意，显然，令得，令得， 所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为， 所以，解得或． 【小问2详解】 由（1）知，令， 所以，当时，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 因为，所以当时，， 又 所以在上必存在唯一零点，使得． 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增． 所以在处取得最小值， 即，且，即， 所以． 设，所以， 当时，单调递增，， 当时，，单调递减，， 又，所以函数在上存在唯一的，使得成立， 所以，所以，即． 【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是能够通过二次求导，求得的隐零点，从而判断的单调性，进而求得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文正高级中学2025年秋学期第一次月度检测 高三数学试卷 （考试用时：120分钟 总分：150分 命题人：赵立俊） 注意事项： 1.本试卷共分两部分，第I卷为选择题，第II卷为非选择题. 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当.则 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为的周期函数 B. 是周期为的周期函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知是的导函数，且，则（ ） A. B. C. 的图象在处的切线的斜率为0 D. 在上的最小值为1 第II部分（非选择题 ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线经过点 ，则实数___________. 13. 已知集合，且，则实数m的取值范围是________. 14. 已知函数，则不等式的解集为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知函数，． （1）若，求使的x的取值范围； （2）当时，设，求在区间上的最小值． 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数，都有，求a的取值范围． 18. 已知函数. （1）若时，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在时取得极值，当时，求使得恒成立的实数的取值范围； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； （2）若函数的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $