精品解析：山西临汾市曲沃县2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试卷

2025-2026学年九年级第一学期期末质量检测 数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 如图分别是第十四届全运会的吉祥物（金金、羚羚、熊熊、朱朱）和第十五届全运会的吉祥物（喜洋洋、乐融融），若从中随机选取一个吉祥物介绍设计理念，则选到的吉祥物属于第十五届全运会的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，所选调查方式合理的是（ ） A. 用普查的方式调查我国九年级学生每天的睡眠时长 B. 用抽样调查的方式调查航天零件的质量 C. 用普查的方式调查某省学生每周做家务的时长 D. 用抽样调查的方式调查某市居民的消费水平 5. 某生物实验室需培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培养后，有益菌数量达到24000个，在每一轮培养中，每个有益菌可以分裂成若干个固定数目的有益菌，若设这个固定数目为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均为格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边，上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边，上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：__3．（填“”、“”或“”） 12. 如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米． 13. 《笠翁对韵》中写道：天对地，雨对风．现将分别写有“天”“地”“雨”“风”的四张卡片（除汉字外，其余完全相同）背面朝上，洗匀放好，小陈同学从中随机抽取一张（不放回）后，再随机抽取一张，则抽出的两张卡片上的字构成对应关系的概率是__________． 14. 如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，再在对岸岸边选两个点B，C，并且测得点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向．量得的长为，则河的宽度约为__________m．（假设河两岸笔直且平行，参考数据：） 15. 如图，在矩形中，，．点E为矩形外一点，且，连接，．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 每年的12月4日为国家宪法日，为增强全社会的宪法意识，弘扬宪法精神，某校组织了有关宪法知识的竞赛活动，全校共有1200名学生参加．竞赛结束后，随机抽取了40名学生的成绩进行分析，得到如下信息．（满分：100分） 信息一：所抽取学生成绩的频数分布表如下： 分组 成绩x/分 频数 A a B 6 C 8 D b E 10 信息二：D组学生的成绩如下：80，81，83，83，84，84，85，86，86，86，88，89． 信息三：所抽取学生成绩的条形统计图如下（不完整）： 根据上述信息，解答下列问题： （1）表中_____________，_____________．并将条形统计图补充完整． （2）所抽取学生成绩的中位数为_____________分． （3）学校计划为竞赛成绩低于70分的学生每人发放一本宪法知识手册，估计学校需要发放多少本宪法知识手册． 18. 山西属于温带大陆性季风气候，冬季长而寒冷干燥．某旅行社为促进冬季旅游经济的发展，特推出了团体优惠票，收费标准如下： 人数 收费标准 团体人数不超过25人 每张票价150元 团体人数超过25人，不超过50人 每比25人超出1人，每张票价在150元的基础上降低2元 团体人数超过50人 每张票价100元 某公司组织员工旅游，在该旅行社报名购买团体优惠票，共支付票价4800元．已知该公司参与旅游的员工人数超过25人，不超过50人，求该公司参与旅游的员工有多少人． 19. 阅读与思考 请认真阅读下面的数学材料，并完成相应的任务． 作格点线段的等分点 在正方形网格中，若一条线段的两个端点都位于小正方形的顶点处，则称这条线段为格点线段．如图1和图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段为格点线段，请仅用无刻度的直尺作出线段的一个四等分点，使得． 方法一：①如图1，作格点线段AC，使得，连接BC． ②在线段上取一点，点为格点，且，． ③作格点线段，使得交于点，则点即为所求． 证明：．（依据） ． 方法二：①如图2，作格点线段，，使得，，且． ②连接交于点，则点即为所求． 证明：…… 任务： （1）材料中的“依据”是指__________． （2）请完成方法二的证明过程． （3）如图3，在的正方形网格中，线段为格点线段，请仅用无刻度的直尺，作出线段的所有三等分点． 20. 百团大战纪念碑矗立在山西省阳泉市区海拔1160米的狮脑山主峰上．某校“综合与实践”小组以“测量百团大战纪念碑的高度”为主题，利用课余时间完成了实践活动，并形成了如下活动报告． 活动主题 测量百团大战纪念碑的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案及示意图 说明及测量数据：如图，线段表示纪念碑，测角仪的高度，在C处测得纪念碑顶端A的仰角为，再向纪念碑方向前进到达F处，又在E处测得纪念碑顶端A的仰角为．已知A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点D，F，B在同一水平直线上． 计算结果 …… 展示交流 …… 请根据活动报告回答下列问题： （1）请根据测量数据计算百团大战纪念碑的高度．（结果保留整数．参考数据： （2）该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量百团大战纪念碑”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 21. 如图，内接于，为的直径，过点C作的切线交的延长线于点D． （1）求证：． （2）过点C作于点E，若，，求的长． 22. 综合与实践 问题情境：科学探究实验小组阅读科普读物发现：竖直上抛的小球离地面的高度是它运动时间的二次函数．周末，他们在保证安全的前提下，在综合实验楼前做了“从地面竖直向上发射小球”的实验；小球被发射时的速度为定值． 实验数据：根据实验小组多次测量可得，小球离地面的高度与小球运动的时间的部分数据如下表： 0 1 2 6 0 25 40 0 问题解决： （1）求小球离地面的高度与小球运动的时间的函数解析式． （2）求小球被发射后离地面的最大高度． （3）小宇在实验楼十层的观察点观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为．小宇说：“两次看到小球经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为．"请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，．连接，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，． 猜想证明 （1）如图1，当点落在边的延长线上时，连接，，试判断的形状，并说明理由． 推理计算 （2）如图2，当时，连接交于点，求的值． 深入探究 （3）在绕点逆时针旋转一周的过程中，连接，，直线与交于点，当点为的中点时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一学期期末质量检测 数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 2. 如图分别是第十四届全运会的吉祥物（金金、羚羚、熊熊、朱朱）和第十五届全运会的吉祥物（喜洋洋、乐融融），若从中随机选取一个吉祥物介绍设计理念，则选到的吉祥物属于第十五届全运会的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，先根据题意得出共有6个不同的吉祥物，分别数出两届全运会吉祥物的数量，再计算得出选到第十五届全运会吉祥物的概率即可得解． 【详解】解：∵共有6个不同的吉祥物，其中属于第十四届全运会的吉祥物有4个，属于第十五届全运会的吉祥物有2个， ∴， 故选：B． 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握相关知识是解决问题的关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似图形的概念、点与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，点的对应点为， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的对应点的坐标为，即， 故选：D． 4. 下列调查中，所选调查方式合理的是（ ） A. 用普查的方式调查我国九年级学生每天的睡眠时长 B. 用抽样调查的方式调查航天零件的质量 C. 用普查的方式调查某省学生每周做家务的时长 D. 用抽样调查的方式调查某市居民的消费水平 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的定义，理解并掌握抽样调查与全面调查的区别是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可． 【详解】解：A选项中我国九年级学生数量庞大，普查工作量过大，故用普查的方式不合理，故不符合题意； B选项中航天零件质量要求极高，需全面检查，应采用普查，故用抽样调查的方式不合理，故不符合题意； C选项中某省学生数量多，普查工作量大，故用普查的方式不合理，故不符合题意； D选项中某市居民数量多，调查消费水平适合用抽样调查，方式合理，故符合题意． 故选：D． 5. 某生物实验室需培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培养后，有益菌数量达到24000个，在每一轮培养中，每个有益菌可以分裂成若干个固定数目的有益菌，若设这个固定数目为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意，每轮培养中每个有益菌分裂成x个，因此每轮后数量是原来的x倍，经过两轮培养，最终数量为初始数量乘以x的平方． 【详解】解：初始有益菌数量为60个， 第一轮培养后，数量变为， 第二轮培养后，数量变为， ∵两轮后数量为24000， ∴， 故方程为， 故选：A． 6. 如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，包括直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，连接，由为直径，通过圆周角定理可得，再计算出的角度，进而根据同弧所对圆周角相等得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的周长比等于相似比，设的周长为x，则的周长为，根据周长差列方程求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为. ∴的周长的周长， 设的周长为，则的周长为， ∵和的周长之差为， ∴，即，解得， ∴的周长为， 故选：D． 8. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定，先求对称轴，再根据开口方向判断增减区间． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选：B． 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均为格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用的面积，求出边上的高线长，再求的值 【详解】解：设边上的高线长为， ， ， 所以， 解得：， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，勾股定理与网格问题，求角的正弦值，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 10. 短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边，上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边，上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质及弧长公式的应用，据黄金矩形的性质求出各边的长度，再依据弧长公式分别计算两段弧的长度，最后将两段弧长相加得到“黄金螺线”的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴, ∴， ∴“黄金螺线”的长为， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：__3．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正有理数和正无理数比较大小，可以先比较两个数的平方，平方值大的，则原数也大，熟练掌握这一方法是解题的关键．比较两个正数的大小，可以通过比较它们的平方值来判断． 【详解】解：，，由于，且和均为正数， ． 故答案为：． 12. 如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得点的横坐标为8，把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，点的横坐标为， 当时，， ， 此时拱顶O到水面的距离为（米）． 故答案为：4． 13. 《笠翁对韵》中写道：天对地，雨对风．现将分别写有“天”“地”“雨”“风”的四张卡片（除汉字外，其余完全相同）背面朝上，洗匀放好，小陈同学从中随机抽取一张（不放回）后，再随机抽取一张，则抽出的两张卡片上的字构成对应关系的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图法求概率，利用树状图法表示出抽取所有卡片的等可能的结果及满足条件的等可能结果，再求出概率． 【详解】解：“天”、“地”、“雨”、“风”分别用A、B、C、D表示，画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中满足条件的有4种， ∴概率， 故答案为：． 14. 如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，再在对岸岸边选两个点B，C，并且测得点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向．量得的长为，则河的宽度约为__________m．（假设河两岸笔直且平行，参考数据：） 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了方向角的应用，等腰三角形的性质及正切的定义．过点A作，根据已知方位角利用平行线的性质得出，，得出为等腰直角三角形，设，则，利用正切的定义列出方程求解即可得出结果． 【详解】解：如图，过点A作， ∵点A在点B的北偏东方向，点A在点C的北偏西方向， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：84． 15. 如图，在矩形中，，．点E为矩形外一点，且，连接，．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，利用三角形面积公式求高及勾股定理． 取的中点F，连接，，过点F作，利用勾股定理求出的值，再通过直角三角形斜边中线得出，证明出，进而利用等腰三角形三线合一的性质得出是等腰的中垂线，B，F，G三点共线，进而利用三角形面积公式求得的值，从而得到的值，最后利用勾股定理即可求得的值． 【详解】解：如图，取的中点F，连接，，过点F作， ∵四边形为矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵是直角三角形， ∴是斜边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵是等腰三角形，， ∴是等腰的中垂线， ∵是等腰三角形， ∴是等腰的中垂线， ∴B，F，G三点共线， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∵G为中点， ∴， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法，完全平方公式，解一元二次方程，正确解题的关键． （1）先进行除法运算、运用完全平方公式去括号，然后进行减法运算； （2）运用配方法解一元二次方程． 【详解】解：（1）原式 （2）原方程可化为 配方，得， 即 直接开平方，得， 所以， 17. 每年的12月4日为国家宪法日，为增强全社会的宪法意识，弘扬宪法精神，某校组织了有关宪法知识的竞赛活动，全校共有1200名学生参加．竞赛结束后，随机抽取了40名学生的成绩进行分析，得到如下信息．（满分：100分） 信息一：所抽取学生成绩的频数分布表如下： 分组 成绩x/分 频数 A a B 6 C 8 D b E 10 信息二：D组学生的成绩如下：80，81，83，83，84，84，85，86，86，86，88，89． 信息三：所抽取学生成绩的条形统计图如下（不完整）： 根据上述信息，解答下列问题： （1）表中_____________，_____________．并将条形统计图补充完整． （2）所抽取学生成绩的中位数为_____________分． （3）学校计划为竞赛成绩低于70分的学生每人发放一本宪法知识手册，估计学校需要发放多少本宪法知识手册． 【答案】（1）4，12； 补全条形统计图如图： （2）82 （3）估计学校需要发放300本宪法知识手册 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、条形统计图、求中位数、用样本估计总体，读懂统计图表获取必要的信息是解题的关键． （1）根据题意，D组学生的成绩的频数为12，求出的值，进而求出的值，即可补全条形统计图； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）将竞赛成绩低于70分的学生所占比例乘上全校学生人数，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，D组学生的成绩的频数为12， ∴， 则A组学生的成绩的频数为， ∴， 故答案为：4，12； 【小问2详解】 解：将40名学生成绩从小到大顺序排列，第20位和第21位的数据分别为81分和83分， ∴所抽取学生成绩的中位数为（分）； 故答案为：82； 【小问3详解】 解：（本）， 答：估计学校需要发放300本宪法知识手册． 18. 山西属于温带大陆性季风气候，冬季长而寒冷干燥．某旅行社为促进冬季旅游经济的发展，特推出了团体优惠票，收费标准如下： 人数 收费标准 团体人数不超过25人 每张票价150元 团体人数超过25人，不超过50人 每比25人超出1人，每张票价在150元的基础上降低2元 团体人数超过50人 每张票价100元 某公司组织员工旅游，在该旅行社报名购买团体优惠票，共支付票价4800元．已知该公司参与旅游的员工人数超过25人，不超过50人，求该公司参与旅游的员工有多少人． 【答案】40人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设未知数，该公司参与旅游的员工有x人，再分析出票价与人数的关系：当25人时，每张票价150元，超过25人的部分，每张票价在150元的基础上每超1人降2元，因此实际票价为元/人，根据“总票价=人数×实际票价”，结合已知总票价4800元，可列出方程，解出方程并验证即可． 【详解】解：设该公司参与旅游的员工有x人， 根据题意，得， 化简，得， 解得：，， ∵， ∴， 即该公司参与旅游的员工有40人． 19. 阅读与思考 请认真阅读下面的数学材料，并完成相应的任务． 作格点线段的等分点 在正方形网格中，若一条线段的两个端点都位于小正方形的顶点处，则称这条线段为格点线段．如图1和图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段为格点线段，请仅用无刻度的直尺作出线段的一个四等分点，使得． 方法一：①如图1，作格点线段AC，使得，连接BC． ②在线段上取一点，点为格点，且，． ③作格点线段，使得交于点，则点即为所求． 证明：．（依据） ． 方法二：①如图2，作格点线段，，使得，，且． ②连接交于点，则点即为所求． 证明：…… 任务： （1）材料中的“依据”是指__________． （2）请完成方法二的证明过程． （3）如图3，在的正方形网格中，线段为格点线段，请仅用无刻度的直尺，作出线段的所有三等分点． 【答案】（1）平行线分线段成比例定理 （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 如图，为的三等分点（作图方法不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，方格纸作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由证法可知依据为平行线分线段成比例定理； （2）由，可证，则，可证； （3）仿照前面的例题作图即可． 【小问1详解】 解：材料中的“依据”是指平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解∶理由：∵， ∴， ∴， ∴， 即为的三等分点，同理可证为的三等分点． 20. 百团大战纪念碑矗立在山西省阳泉市区海拔1160米的狮脑山主峰上．某校“综合与实践”小组以“测量百团大战纪念碑的高度”为主题，利用课余时间完成了实践活动，并形成了如下活动报告． 活动主题 测量百团大战纪念碑的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案及示意图 说明及测量数据：如图，线段表示纪念碑，测角仪的高度，在C处测得纪念碑顶端A的仰角为，再向纪念碑方向前进到达F处，又在E处测得纪念碑顶端A的仰角为．已知A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点D，F，B在同一水平直线上． 计算结果 …… 展示交流 …… 请根据活动报告回答下列问题： （1）请根据测量数据计算百团大战纪念碑的高度．（结果保留整数．参考数据： （2）该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量百团大战纪念碑”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 【答案】（1）百团大战纪念碑的高度约为 （2）百团大战纪念碑所在海拔较高，测量纪念碑影子的长度过长，导致测量困难（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查了利用正切的定义解直角三角形及实际情景的分析与推理． （1）连接并延长，交于点G，由、、，可证四边形、为矩形，得，，利用直角三角形的正切关系设，建立方程求解x的值，并最终求得的值； （2）需分析“利用影子测量”的局限性，结合实际场景（如天气、环境、操作难度等）提出合理原因． 【小问1详解】 解：如图，连接并延长，交于点G， 由题意，得四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∵，，， 设， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 即百团大战纪念碑的高度约为． 【小问2详解】 解：理由：百团大战纪念碑所在海拔较高，测量纪念碑影子的长度过长，导致测量困难．（答案不唯一，言之有理即可） 21. 如图，内接于，为的直径，过点C作的切线交的延长线于点D． （1）求证：． （2）过点C作于点E，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定及性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的定义及勾股定理． （1）连接，根据切线的性质得出，再由直径所对应的圆周角为直角得出，由等腰三角形的性质得到，利用角度的和差关系即可得证； （2）根据已知条件求出半径的值，再利用勾股定理求出和的值，此时，得出为等边三角形，结合（1）的结论通过计算得出，从而得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22. 综合与实践 问题情境：科学探究实验小组阅读科普读物发现：竖直上抛的小球离地面的高度是它运动时间的二次函数．周末，他们在保证安全的前提下，在综合实验楼前做了“从地面竖直向上发射小球”的实验；小球被发射时的速度为定值． 实验数据：根据实验小组多次测量可得，小球离地面的高度与小球运动的时间的部分数据如下表： 0 1 2 6 0 25 40 0 问题解决： （1）求小球离地面的高度与小球运动的时间的函数解析式． （2）求小球被发射后离地面的最大高度． （3）小宇在实验楼十层的观察点观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为．小宇说：“两次看到小球经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为．"请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 小宇的说法正确，理由：当时，， 解得：，， ∵， ∴小球两次经过观察点的高度，并且这两次间隔的时间为， ∴小宇的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的表达式求解，二次函数的最值及一元二次方程的应用． （1）由于h是t的二次函数，且时，，设二次函数为一般式，将表格中，代入，得到二元一次方程组，解出a、b，即可得函数表达式； （2）将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，从而得到顶点的纵坐标即为最大高度； （3）小球经过观察点时，高度，因此将代入函数表达式，得到关于t的一元二次方程，求解方程得到t的两个值，计算其差值，若差值为3，则小宇的说法正确． 【小问1详解】 解：∵h是t的二次函数，且当时，， ∴设， 将，代入中， 得，解得， ∴h与t的函数表达式为． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，h取得最大值，为45， ∴小球被发射后离地面的最大高度为． 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，．连接，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，． 猜想证明 （1）如图1，当点落在边的延长线上时，连接，，试判断的形状，并说明理由． 推理计算 （2）如图2，当时，连接交于点，求的值． 深入探究 （3）在绕点逆时针旋转一周的过程中，连接，，直线与交于点，当点为的中点时，请直接写出的面积． 【答案】 （1）是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和矩形的性质，容易证明，则，，通过等量代换可得，因此是等腰直角三角形； （2）作，垂足为，根据直角三角形的性质和勾股定理计算出，由两角相等可证明，则； （3）分为点在上方或下方两种情况讨论，当点在上方时，作，垂足为，容易证明，则，，进而计算出．由三角形面积公式可得，，结合三角形中线的性质，求出的面积；当点在下方时，使用同样的方法进行计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，作，垂足为， 由旋转的性质可知，，，， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， 又∵， ∴， ∴； （3）①当点在上方时，如图，作，垂足为， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，即是的中线， ∴， ∴； ②当点在下方时，如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 由旋转的性质可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，即是的中线， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟练掌握旋转的性质并构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $