精品解析：河南沈丘县第一初级中学等校2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段学情自测试卷

九年级数学 上册第20～21章 注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的），请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. 2026 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 选项A的、选项C的、选项D的均不含二次根号， 它们不是二次根式． 选项B的含二次根号，且被开方数， 是二次根式． 2. 有以下两个方程：甲：，乙：，其中（ ） A. 甲是一元二次方程 B. 乙是一元二次方程 C. 甲和乙均是一元二次方程 D. 甲和乙均不是一元二次方程 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可作答． 【详解】甲：，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，故是一元二次方程， 乙：，含有2个未知数，故不是一元二次方程， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握相关的定义，是解答本题的关键．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 3. 已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（ ） A. B. C. 3，4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求出一元二次方程的解，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 4. 二次根式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 5. 若，则整数的值为（ ） A. 10 B. 50 C. 40 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∵ ， ∴， ∴． 6. 图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出图1和图2中大正方形和小正方形的边长，进而得到的范围，根据，逐项判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 根据图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， 则图1中大正方形的边长为，小正方形的边长为， 此时， 根据图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1， 则图2中大正方形的边长为，小正方形的边长为1， 此时， 取交集得：， 由于，则， 选项A、，则，不符合题意； 选项B、，则，符合题意； 选项C、，则取不到，不符合题意； 选项D、，不符合题意； 故选：B． 7. 若实数满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据满足的等式结构相同且不相等的特征，将其视为一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系求出与的值，代入待求式计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，得，， ∴． 8. 在中的“□”内填入实数，使其结果为有理数．对于小英、小明的说法判断正确的是（ ） 小英说：“可以填入．” 小明说：“可以填入．” A. 小英的说法对，小明的说法不对 B. 小英的说法不对，小明的说法对 C. 小英和小明的说法都对 D. 小英和小明的说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先把小括号内的二次根式化简，再合并同类二次根式得到，再分别代入和计算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 当填入时，原式，是有理数，符合题意； 当填入时，原式，是有理数，符合题意； ∴小英和小明的说法都正确， 故选：C． 9. 已知一元二次方程的两根分别为和1，则方程的两根分别为（ ） A. 1，5 B. ，3 C. ，1 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， ∵一元二次方程（）的两根分别为和， ∴或， 解得，． 10. 图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（ ）         A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的判定和性质得出都是等腰直角三角形，再求出这5个长方形的面积，然后根据面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 则这5个长方形的面积为，，． 设，根据题意，得 ， 解得， 所以的长为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个最简二次根式，且被开方数是偶数，则这个最简二次根式可以是______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】需要同时满足两个条件：是最简二次根式，被开方数是偶数，写出任意一个符合要求的结果即可． 【详解】解：最简二次根式的定义为：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式， 选取偶数作为被开方数，不含能开得尽方的因数，也不含分母， 是符合要求的最简二次根式．（任意符合条件的结果都正确） 12. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 对于任意正实数，定义一种新的运算：．例：．若为正实数，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义代入已知条件，整理得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，将代入运算公式得， 整理得， ∵， ∴， 化简得， 两边同时平方得． 14. 如图1，将面积为9的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，求的长．若设的长为，则可列方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】正方形面积为9，则边长为3. 矩形由正方形剪拼而成，面积不变，设长为，根据图形拼接特征，矩形的长为正方形边长与之和，即. 利用矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解： 正方形面积为9 正方形边长为3 矩形是由正方形剪拼而成 矩形面积等于正方形面积，即为9 ， 由图可知，矩形的宽，长等于正方形边长与之和，即 根据矩形面积公式可得方程． 15. 如果一个三角形的三边长，，满足，那么我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”．例如：等边三角形一定是“类勾股三角形”．可设等边三角形的三边长分别为，，，则，所以，所以等边三角形是“类勾股三角形”．已知的其中两边长分别为，，若为“类勾股三角形”，则第三边长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况讨论第三边是否为公式中的，计算后结合三角形三边关系验证，舍去无解的情况． 【详解】解：设第三边长为，，分三种情况讨论： 若第三边是公式中的，即，，代入得， 解得； 检验三边关系，满足三角形三边关系，符合题意； 若是公式中的，即，，代入得， 解得； 检验三边关系，满足三角形三边关系，符合题意； 若是公式中的，即，，代入得， 整理得，无实数解，舍去该情况； 综上，第三边长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则、二次根式的性质进行计算，再计算二次根式的加法即可得出结果； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，． 17. 在解方程时，嘉淇同学的解答如下： 解：将方程左边分解因式，得，…① 方程两边都除以，得，…② 解得．…③ （1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是________(填序号)； （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 解：， 将方程左边分解因式，得： ， 移项得： ， 因式分解得： ， 故 或， 解得： ， 【解析】 【分析】（1）根据等式的基本性质判断即可． （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边都除以，导致丢根， 故答案为：②． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，涉及了等式的基本性质，解题的关键是掌握因式分解法求解一元二次方程的方法． 18. 甲、乙、丙、丁四名同学利用如下六张卡片进行数学游戏． A B C D E F （1）甲选择A，B两张卡片并将卡片内容求和，乙选择C，D两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． （2）丙从六张卡片中选取两张，计算两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，判断丙选择的卡片，并计算结果． （3）丁选择卡片E和F，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从______开始出现错误，请写出正确的化简过程． 第一步 第二步 ． 第三步 【答案】（1）乙获得本次游戏的胜利， 计算甲所选A、B卡片的和： ； 计算乙所选C、D卡片的和： ， ∵，， 且，， ， ∴， ∴乙获得本次游戏的胜利； （2）丙选择的卡片为B和D，乘积结果为30；或选择E和F，乘积结果为 （3）二； 正确化简过程： ． 【解析】 【分析】（1）分别计算甲、乙所选卡片的和，通过平方法比较两个正二次根式的大小，判断获胜者； （2）先将各卡片的二次根式化为最简形式，再逐一验证两两组合的乘积是否为整数，筛选符合条件的组合并计算结果； （3）按照二次根式化简与去括号的规则，逐行检查计算过程，确定错误步骤后重新计算． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：先将各卡片内容化为最简二次根式：，，， ， ， ， 逐一分析两两组合的乘积： 选B和D时： ，为整数， 选E和F时： ，为整数， 其余组合的乘积均含无理数部分，不是整数， 综上所述，丙选择的卡片为B和D，结果为30；或选择E和F，结果为； 【小问3详解】 解：检查计算步骤： 第一步：将化为，化为，化为，计算正确； 第二步：去括号时，括号前为负号，括号内第二项未变号，应为，原式写为，故从第二步开始出现错误； 正确化简过程略． 19. 已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】 的值为或 【解析】 【分析】根据题意，得到两个最简二次根式的被开方数相同，列出方程进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 整理，得， 解得或； 当时，，当时，，均满足题意； ∴的值为或. 20. 阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的中点值 【概念理解】 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．例如：对于方程，对照标准形式，可得，所以，且，故该方程的中点值为4． 【问题解决】 问题1：若方程的中点值为2，则的取值范围为______． 问题2：已知方程的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 解：∵该方程的中点值是3， ∴对照，可知，解得， ∴原方程为． 又∵该方程的一个根为， ∴…… 任务： （1）请将问题1中的空格补充完整：的取值范围为______． （2）请补全问题2中的解题过程． （3）已知关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3，求的值． 【答案】（1） （2） 解：∴， ∴， 解得或； ∵方程有中点值， ∴， ∴， ∴或均符合题意； ∴的值为或. （3） 的值为或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，列出不等式进行求解即可； （2）把代入方程，求出的值，根据新定义进行取舍即可； （3）把代入方程，求出的值，根据新定义进行取舍即可. 【小问1详解】 解：∵方程的中点值为2， ∴对照，可知，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3， ∴， 解得或. ∵， ∴或均满足题意； ∴的值为或. 21. 规定：两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． （1）下面各对含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是______（填序号）． ①与；②与；③与． （2）若与是关于12的“和谐二次根式”，求有理数的值． 【答案】（1）①③ （2） 有理数的值为 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）根据新定义得到，进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵，，； ∴关于9的“和谐二次根式”的是①③； 【小问2详解】 解：由题意，， 即， ， ∴. 22. 综合与实践 问题情境：如图，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为． 推理计算： （1）_______，______．（用含的代数式表示） （2）当为多少时，四边形的面积为？ （3）当为多少时，点和点的距离为？ 拓展延伸： （4）两点同时出发，直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）； （2） （3） 或  （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据速度公式分别表示出的线段长度． （2）根据梯形面积公式列出关于  的一元一次方程求解． （3）通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列出关于  的一元二次方程求解． （4）根据以为腰，分和两种情况讨论，分别列方程求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ，， ． 【小问2详解】 解：已知矩形，，． 点速度为，点速度为，运动时间为． 从到总用时， ． 由题意可得，，，四边形是直角梯形，高． 四边形的面积， 即，解得， ，符合题意． 当时，四边形的面积为． 【小问3详解】 解：过点  作  于 ． 四边形为矩形， ，且， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，． 在中，由勾股定理：， 可得，，， 当时，解得 ； 当时，解得 ． ，均满足，符合题意． 当或时，点和点的距离为． 【小问4详解】 解：由（3）得，，，， 由于是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ，即， 当，解得 ，，符合题意， 当，解得 ，，舍去． 当时，即， ，整理得， 解得， ，符合题意， ，符合题意． 综上，满足条件的  的值为或或 23. 综合与探究 问题情境：综合与实践小组的同学来到某知名醋厂研学，对该厂老陈醋的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该厂每日生产的这款老陈醋当日全部售完． 信息2：该厂这款老陈醋日产量（单位：吨）的范围是． 信息3：该款老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系如表所示． 日产量/吨 30 60 90 120 每吨的成本/千元 55 50 45 40 信息4：该款老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． 问题解决： （1）根据收集的信息，该老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为______（无需写自变量的取值范围）． （2）①该老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为______． ②当吨时，该款老陈醋每吨的售价是_______千元． （3）已知销售部计划将某日该款老陈醋的销售利润定额为1200千元，如果你是生产部经理，那么当日该产品的产量应该定为多少比较合理？为什么？ 【答案】（1） （2）①；② （3）解：当日该产品的产量应该定为吨比较合理，理由如下： 由题意可得，， ， 整理得：，， 解得：． 当时，总成本为（千元）；当时，总成本为（千元）， 当日该产品的产量应该定为吨，总成本更低，更合理． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法求出生产成本  与日产量  的一次函数关系式． （2）①结合函数图象，使用待定系数法求出函数关系式；②代入计算的售价即可． （3）根据题意列出方程，求解出的值，再对比两种方案的总成本即可得出结论． 【小问1详解】 解：由表格数据可知， 与  满足一次函数关系，设 ． 代入 、，得， 解得， 所以函数关系式为． 【小问2详解】 解：① 由图象可设 ． 将，代入得， 解得：， 所以函数关系式为 ②当时，代入得，即售价为千元． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 上册第20～21章 注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的），请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. 2026 B. C. 0 D. 2. 有以下两个方程：甲：，乙：，其中（ ） A. 甲是一元二次方程 B. 乙是一元二次方程 C. 甲和乙均是一元二次方程 D. 甲和乙均不是一元二次方程 3. 已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（ ） A. B. C. 3，4 D. 4. 二次根式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5. 若，则整数的值为（ ） A. 10 B. 50 C. 40 D. 12 6. 图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 在中的“□”内填入实数，使其结果为有理数．对于小英、小明的说法判断正确的是（ ） 小英说：“可以填入．” 小明说：“可以填入．” A. 小英的说法对，小明的说法不对 B. 小英的说法不对，小明的说法对 C. 小英和小明的说法都对 D. 小英和小明的说法都不对 9. 已知一元二次方程的两根分别为和1，则方程的两根分别为（ ） A. 1，5 B. ，3 C. ，1 D. ， 10. 图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（ ）         A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个最简二次根式，且被开方数是偶数，则这个最简二次根式可以是______． 12. 化简：______． 13. 对于任意正实数，定义一种新的运算：．例：．若为正实数，且，则的值为______． 14. 如图1，将面积为9的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，求的长．若设的长为，则可列方程：______． 15. 如果一个三角形的三边长，，满足，那么我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”．例如：等边三角形一定是“类勾股三角形”．可设等边三角形的三边长分别为，，，则，所以，所以等边三角形是“类勾股三角形”．已知的其中两边长分别为，，若为“类勾股三角形”，则第三边长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解方程： （1）． （2）． 17. 在解方程时，嘉淇同学的解答如下： 解：将方程左边分解因式，得，…① 方程两边都除以，得，…② 解得．…③ （1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是________(填序号)； （2）请给出正确的解答过程． 18. 甲、乙、丙、丁四名同学利用如下六张卡片进行数学游戏． A B C D E F （1）甲选择A，B两张卡片并将卡片内容求和，乙选择C，D两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． （2）丙从六张卡片中选取两张，计算两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，判断丙选择的卡片，并计算结果． （3）丁选择卡片E和F，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从______开始出现错误，请写出正确的化简过程． 第一步 第二步 ． 第三步 19. 已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 20. 阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的中点值 【概念理解】 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．例如：对于方程，对照标准形式，可得，所以，且，故该方程的中点值为4． 【问题解决】 问题1：若方程的中点值为2，则的取值范围为______． 问题2：已知方程的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 解：∵该方程的中点值是3， ∴对照，可知，解得， ∴原方程为． 又∵该方程的一个根为， ∴…… 任务： （1）请将问题1中的空格补充完整：的取值范围为______． （2）请补全问题2中的解题过程． （3）已知关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3，求的值． 21. 规定：两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． （1）下面各对含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是______（填序号）． ①与；②与；③与． （2）若与是关于12的“和谐二次根式”，求有理数的值． 22. 综合与实践 问题情境：如图，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为． 推理计算： （1）_______，______．（用含的代数式表示） （2）当为多少时，四边形的面积为？ （3）当为多少时，点和点的距离为？ 拓展延伸： （4）两点同时出发，直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 23. 综合与探究 问题情境：综合与实践小组的同学来到某知名醋厂研学，对该厂老陈醋的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该厂每日生产的这款老陈醋当日全部售完． 信息2：该厂这款老陈醋日产量（单位：吨）的范围是． 信息3：该款老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系如表所示． 日产量/吨 30 60 90 120 每吨的成本/千元 55 50 45 40 信息4：该款老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． 问题解决： （1）根据收集的信息，该老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为______（无需写自变量的取值范围）． （2）①该老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为______． ②当吨时，该款老陈醋每吨的售价是_______千元． （3）已知销售部计划将某日该款老陈醋的销售利润定额为1200千元，如果你是生产部经理，那么当日该产品的产量应该定为多少比较合理？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $