精品解析：河南漯河市召陵区 2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期阶段性复习作业（一） 九年级数学 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 2. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ 将代入方程得， 解得：． 3. 已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 故选D． 4. 用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决． 【详解】解：， ， ，，， 故选：C． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 6. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 7. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得， 故选D． 8. 已知点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的函数值计算，熟练掌握二次函数函数值的求解方法是解题的关键． 将三个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 因为， 所以． 故选：A． 9. 如图是某公园在一长，宽的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中曲桥分布，列出方程即可 【详解】解：如图， 将曲桥移至同一水平上可得， 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 10. 二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限． 【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为． 当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此． 当时，，代入函数得： 由和， 因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程化为一般形式是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式直接求出即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 12. 已知点在抛物线上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值；点在抛物线上，则其坐标满足抛物线方程，代入即可求出的值． 【详解】解：将点代入抛物线，得： ． 故答案为：． 13. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为_________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解．先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以不等式的解集为或． 故答案为：或． 14. 《代数学》中记载，形如的方程求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解决了关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把方程化为指定的形式，根据题意，得，确定，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可． 【详解】由得， ∵阴影部分的面积为60， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了阅读学习的本领，利用图形求一元二次方程的解，正确读取解题信息是解题的关键． 15. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 【答案】③⑤##⑤③ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出，，，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线的开口向下，得， 由抛物线的对称轴是直线，得、异号，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴，得， 所以，故①不正确； 由抛物线的对称轴是直线， 所以，即，故②错误； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，都等于c，又， 当时，，因此③正确； 由图象可知，当时，， 因为， 所以，即，故④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤， 故答案为：③⑤． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）原方程运用配方法求解即可． （2）原方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程移项可得：， ， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：原方程移项可得：， ， 或， 解得：，． 17. 已知函数． （1）当为何值时，此函数是关于的二次函数？ （2）当为何值时，此函数是关于的一次函数？ （3）当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得答案； （2）根据一次函数的定义，可得答案； （3）根据正比例函数的定义，可得答案． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得， 当时，此函数是关于的二次函数． 【小问2详解】 解：由题意，得且， 解得， 当时，此函数是关于的一次函数． 【小问3详解】 解：由题意，得且，， 解得，， 当，时，此函数是关于的正比例函数． 18. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 19. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象绘制以及利用图象求函数值的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、五点法绘图步骤以及函数的增减性． （1）通过将二次函数解析式化为顶点式来求顶点坐标和对称轴； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）结合画出的函数图象，根据自变量范围确定函数值的取值范围． 【小问1详解】 解： ， 根据二次函数顶点式，其顶点坐标为，对称轴为直线． 所以该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：求与轴交点：令，即，变形为，因式分解得， 解得， 所以与轴交点为和． 求与轴交点：令，则， 所以与轴交点为． 找顶点：由（1）知顶点为． 再找一个对称点：根据对称轴，与对称的点，横坐标为，纵坐标不变为3，即点， 所以选取的五个点为，在平面直角坐标系中描出这五个点， 然后用平滑曲线连接起来，就得到二次函数的图象． 【小问3详解】 解：由图可知，的取值范围是． 20. 如图为某住宅小区新修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘为原点，地面所在直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求拱门所在抛物线的函数表达式； （2）为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，再进一步求解即可； （2）令，可得，再解方程，并进一步求解即可； 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴拱门所在抛物线的函数表达式为或． 【小问2详解】 解：令，可得， 解得，， ， ∴这两根支柱之间的距离为． 21. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． 【小问2详解】 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 22. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个． ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？ ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是 （2）①每个应降价3元；②每个应该降价2元，此时最大利润为360元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程． （1）设每次降价的百分率为，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）①设每个应降价x元，利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论； ②设每个应降价x元，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据顶点式求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：设每个应降价x元， ①根据题意得：， 解得或， 售价不低于进价， 舍去， ， 每个应降价3元； ②设甲商品每天的销售利润为W元， 根据题意得 ，当时，W取最大值，最大值为360， 每个应该降价2元，此时最大利润为360元． 23. 抛物线的图象经过点，点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）点在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段的三等分点，求d的值． （3）若点和点均为图象上的点，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，求得，分两种情况：和，分别求解即可； （3）由题意得到，，根据，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：设二次函数表达式为， 把，，代入得： ， 解得： 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴抛物线对称轴为， ∵轴， ∴关于直线对称， 设，则， ∵点为线段的三等分点，且在的左侧， ∴点在之间，且， 若，则，即， 联立，解得：， 当时，， 若，则，即， 联立，解得：，与矛盾，舍去， ∴； 【小问3详解】 解：由点和点在图象上，可得： ，， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性复习作业（一） 九年级数学 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 3. 已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 4. 用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 6. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某公园在一长，宽的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程化为一般形式是：_____． 12. 已知点在抛物线上，则的值为_____． 13. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为_________． 14. 《代数学》中记载，形如的方程求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解决了关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为______． 15. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知函数． （1）当为何值时，此函数是关于的二次函数？ （2）当为何值时，此函数是关于的一次函数？ （3）当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 18. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为、，且，求k的值． 19. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 20. 如图为某住宅小区新修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘为原点，地面所在直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求拱门所在抛物线的函数表达式； （2）为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 21. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 22. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个． ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？ ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 23. 抛物线的图象经过点，点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）点在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段的三等分点，求d的值． （3）若点和点均为图象上的点，且，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $