第17讲 等差数列及其前n项和（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦等差数列及其前n项和高考核心考点，涵盖概念、公式、性质及前n项和等内容，按基础、中档、拔高分层构建知识体系，通过知识解构、题型破译、真题溯源等环节，帮助学生系统梳理考点，突破解题难点。 资料以分层复习目标为导向，创新设计题型方法技巧，如用邻项变号法和二次函数法解决Sn最值问题，培养学生数学思维和运算能力，配套分层练习与真题训练，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

第17讲 等差数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等差数列的有关概念 知识点2 等差数列的有关公式 知识点3 等差数列的常用性质 知识点4 等差数列前n项和的常用性质 题型破译 (含超链接） 题型1 基本量运算 题型2 等差数列判定与证明 题型3 Sn最值问题 题型4 片段和、奇偶项和问题 题型5 绝对值等差数列求和 题型6 an与Sn互推、构造等差 题型7 双等差数列问题 题型8 等差综合压轴（恒成立+参数范围） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 利用等差数列的性质计算 / / 春考第7题 求等差数列的前n项和 秋考第9题 秋考第3题 / 等差中项的应用 / / 秋考第18题 考情分析 基础层（4-5分）：填空、选择题为主，考查基本量运算、等差性质、前n项和基础计算，属于必须稳拿的保底分数。 中档层（解答题首问）：常与等比数列结合命题，作为数列解答题入门考点，承接基础、铺垫综合设问。 拔高层（压轴载体）：极少单独出难题，多作为压轴题干基础模型，结合新定义、恒成立与存在性、不等式、数列极限综合考查。 2027届命题趋势预判 1.选填题延续“简洁有陷阱”风格，基础性质与细节易错点为主要考查方向，侧重基础熟练度。 2.解答题以等差为基础载体，第一问夯实基础运算与证明，后续设问升级为创新探究、新定义综合题型。 3.强化逻辑证明能力考查，重点考核等差数列的严格判定、命题真假辨析，弱化套路化解题。 4.进一步弱化繁杂计算，聚焦考生的模型识别、方法优选、逻辑推导能力。 复习目标 基础目标（全员必达·保底满分） 适配基础薄弱考生，吃透核心公式与基础题型，实现基础题零失分： 1.精准熟记等差数列定义、通项公式、两类前n项和公式，无默写错误、无公式混淆。 2.熟练掌握基本量法，可通过已知条件列方程，快速求解首项 、公差 。 3.灵活运用下标和、等差中项核心性质，简化选填运算，提升解题速度。 4.掌握等差数列标准判定方法，能用定义完成严格证明。 核心公式汇总（Word标准可渲染公式）： 中档目标（冲刺110+·突破中档重难点） 适配中等分段考生，突破高频中档题型，拉开分数差距： 1.吃透等差数列函数等价关系：等差 （无常数项）。 2.熟练运用邻项变号法、二次函数法双方法求解 最值，规避取值陷阱。 3.精准掌握片段和、奇偶项和的核心性质与专属公式，熟练秒杀对应题型。 4.熟练掌握绝对值等差数列分段求和的标准步骤，规范书写分段表达式。 5.可通过 与 递推关系，自主识别、构造等差数列求解通项。 培优目标（冲刺130+·适配压轴铺垫） 适配高分段考生，突破综合压轴题型，适配上海创新命题： 1.掌握双等差数列公共项、子数列构造问题的解题逻辑。 2.熟练解决等差背景下的恒成立、存在性问题，精准求解参数范围。 3.掌握等差与不等式结合的基础放缩技巧，适配压轴小问。 4.能在新定义复杂题干中，快速剥离核心等差结构，转化为常规题型求解。 5.完善数学逻辑体系，可区分充分、必要条件，熟练用举反例辨析命题真伪。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 自主检测 1.（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）已知是等差数列且，则其公差______. 【答案】 【详解】在等差数列中，， 所以公差. 故答案为：. 知识点2 等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 自主检测 2.（2026·上海金山·二模）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________． 【答案】 【详解】不妨取， 所以，等差数列公差， 等差数列通项，则， 则该数列的第20项为． 3．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是等差数列的前项和，，则______． 【答案】 【详解】在等差数列中，，， 所以，. 故答案为：. 知识点3 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*). (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列. 自主检测 4.（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【答案】 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 知识点4 等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 自主检测 5.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 【答案】 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 题●型●破●译 题型1 基本量运算 例1-1（2026·上海嘉定·二模）已知是等差数列，，，则___________． 【答案】1011 【详解】设等差数列的公差为，依题意，， 则. 例1-2（25-26高三上·上海·阶段检测）若为等差数列，，则它的前12项和为______． 【答案】 【详解】根据题意可知前12项和为， 又易知， 所以前12项和为. 故答案为：. 例1-3（25-26高三上·上海·期末）记为等差数列的前项和.若，，则_____________. 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，所以，可得， 由可得，故数列的公差为， 所以， 故. 方法技巧 1.优先看下标，能用性质简化则放弃硬算； 2.条件无规律时，用基本量方程思想求解； 3.灵活使用 规避首项复杂计算。 易错分析 通项计算严格核对项数，杜绝 与 混淆。 【变式训练1-1】已知为等差数列，，，则______. 【答案】6 【详解】因为为等差数列，，，则， 即，解得，所以. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海金山·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，，则______. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，，则_____. 【答案】121 【详解】依题意得： ， 解得：， 由等差数列的前项和公式得： . 故答案为： 【变式训练1-4】（25-26高三上·上海·阶段检测）在等差数列中，若，，则的值为______. 【答案】28 【详解】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28 题型2 等差数列判定与证明 例2-1已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若对任意的、，都有，不妨取，则， 所以，，此时，是等差数列， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”； 若是等差数列，不妨取，则， ， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”. 综上所述，“对任意的、，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 例2-2（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 【答案】(1)由，两边取倒数，可得， 即有数列是首项，公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，可得，故. (2)由， 可得 方法技巧 1.定义法（首选）：证 ，通用性最强，阅卷零扣分。 2.中项法（次选）：证 ，适配对称三项递推结构。 易错分析 仅验证前几项相等即下结论，逻辑不严谨直接失分。 【变式训练2-1】已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】假设，其中为常数 对于A： 则为常数，所以是等差数列； 对于B： 则为常数，所以是等差数列； 对于C： 则，该式随变化，不是常数，所以不可能是等差数列； 对于D：当时，为常数列，是等差数列，所以可能是等差数列. 【变式训练2-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）若数列满足：，则的通项公式为___________． 【答案】 【详解】已知数列满足递推关系（），且和， 递推式可变形为，则是一个常数列， 即. 所以数列是一个等差数列， ， 因此通项公式为. 故答案为：. 【变式训练2-3】数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1) ∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 题型3 Sn最值问题 例3-1在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则________ 【答案】 【详解】设公差为，则得，解得， ， 由，，即， ∴取得最大值时，． 故答案为：9． 方法技巧 1. 邻项变号法（数列专属）：最大值满足 ；最小值满足 。 2.二次函数法（快速预判）：由 求对称轴 ，取临近正整数。 关键细节：对称轴为整数时，两个连续n值的前n项和同为最值。 【变式训练3-1】是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 【答案】10 【详解】由，得， ，又， 所以数列为递减数列，且， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为：10. 【变式训练3-2】已知等差数列的前项和为，，， (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值以及对应的的值． 【详解】（1）在等差数列中，，解得， 因此数列的公差， 所以的通项公式. （2）由（1）得， 由，得当或时，取得最大值135， 所以的最大值为135，对应的为9或10. 【变式训练3-3】记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【详解】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 题型4 片段和、奇偶项和问题 例4-1已知等差数列的前n项和为，满足，，则______________. 【答案】 【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，，所以，解得. 故答案为：. 例4-2在等差数列中，已知公差，且，则__________. 【答案】145 【详解】等差数列中，已知公差， . 故答案为：145. 方法技巧 1.出现 结构，直接套用片段和等差性质； 2.明确项数奇偶时，直接套用专属公式，跳过繁琐分步计算； 3.利用奇偶项差值、比值结论，实现填空秒杀。 【变式训练4-1】在数列中，对任意，，当且仅当，若满足，则的最小值为___________. 【答案】512 【详解】不妨设，， 由题意可得，， 因为， 所以， 同理可得，，，， 所以， 因为， 所以， 解得，又， 所以的最小值整数解为9， 故的最小值为． 故答案为：512． 【变式训练4-2】将关于x的方程（t为实常数，）在区间上的解从小到大依次记为，设数列的前n项和为，若，则t的取值范围是______． 【答案】 【详解】由得，则方程的解即为函数图象与直线交点的横坐标，    因为函数的周期为， 所以是以x1为首项，为公差的等差数列， 是以x2为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 令得， 因为，所以， 由函数图象的对称性知，x1与对应的点关于函数图象的某条对称轴对称， 因为， 所以当，即时，可知x1与对应的点关于直线对称，此时满足成立； 当，即时，可知x1与对应的点关于直线对称，此时由得， 所以； 当，即时，可知x1与对应的点关于直线对称，此时不满足； 综上，或. 故答案为：. 题型5 绝对值等差数列求和 例5-1在等差数列中，，记，则数列的前30项和为________． 【答案】 【详解】由，即时，，时，， 所以 ． 故答案为：755. 例5-2已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为____________． 【答案】或 【详解】令，则， 当时， ， ， 由，得，化简整理得，，解得或； 当时， ， 由，得，化简整理得，解得， 这与矛盾，不合题意； 综上，符合题意的正整数或. 故答案为：2或3. 方法技巧 1.定分界：解不等式找到 正负转换的临界项 ； 2.分区间：划分 、 两段； 3.分段求和：正段直接求和，负段取相反数后求和，整合分段表达式。 【变式训练5-1】已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是__________. 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，构造函数， 则的图像与直线至少有个公共点， 横坐标分别为，，，，， 根据绝对值函数的性质知： 当为奇数时，函数图像关于对称，时有最小值， 此时最多有个交点，不满足题意， 当为偶数时，函数图像在上是一条水平的线段，可以有个交点， 故， 且， 故，即， ，故，故. 故答案为：. 【变式训练5-2】等差数列满足，则的最大值为____________． 【答案】50 【详解】若对任意，恒成立，则， 可得， ， 显然两者不相等，不合题意； 同理可得对任意，恒成立也不合题意； 所以等差数列一部分为正，一部分为负， 即存在，使得或， 若，可得， 且 ， 当且仅当时，等号成立， 即，解得； 且 ， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 综上所述：，即满足条件的必为偶数， 结合等号成立条件可知：且， 设等差数列的公差为，则，，， 即，，， 可得， 则 ， 可得，解得， 且，即有的最大值为，的最大值为； 同理可得：当，的最大值也为. 故答案为：50. 【变式训练5-3】已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 题型6 an与Sn互推、构造等差 例6-1（2025·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 _____. 【答案】 【详解】对的两边取倒数得， 所以，所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，所以． 故答案为：． 例6-2已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：数列的前项和为，且对任意正整数，都有， 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：因为， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，所以，， 所以，， 由可得，此时，数列单调递增，即， 由可得，即， 由可得，此时，数列单调递减，即， 所以，数列中的最大项为. （3）解：因为 ， 所以， ， 因为对任意的正整数，不等式恒成立，则. 因此，实数的取值范围是. 方法技巧 通用分段公式（Word标准公式）： 必考规范： 求得通项后，必须验证 ，不满足则保留分段形式。 上海特色考法：由和式递推构造 等差，为高频命题热点。 【变式训练6-1】已知为数列的前n项积，若，则数列的前项和_______． 【答案】 【详解】由题意， 为数列的前项积，故满足，， 因此，且. 已知，将代入得： . 等式两边同乘得：， 即 当时，，结合， 得，即，解得 综上，数列是首项，公差的等差数列. 由等差数列通项公式得：. . 【变式训练6-2】已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 题型7 双等差数列问题 例7-1已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为______． 【答案】 【详解】等差数列2，6，10，…，202中，公差；等差数列2，8，14，…，200中，公差，和的最小公倍数为， 所以新数列的公差，首项，所以， 令，解得，故新数列共有项， 所以新数列的各项之和为， 故答案为： 例7-2记等差数列的前项和分别为．若，则__________． 【答案】 【详解】设， 则． 故，则,且． 故， 则． 故答案为：． 例7-3（25-26高二下·上海杨浦·期末）若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（     ） A．①是真命题，②是假命题； B．①是假命题，②是真命题； C．①是真命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 【答案】D 【详解】对于命题①，设数列为， 则，这几项满足差增数列条件， 但数列不是严格增数列.故命题①为假命题. 对于命题②，设奇数项，偶数项， 奇数项差为， 偶数项差为：当时，； 当时，， 显然奇数项与偶数项组成的子数列满足差增数列， 但，不满足差增数列， 因此数列不是差增数列，故命题②为假命题. 方法技巧 1.写出两个等差数列通项公式； 2.建立等式转化为不定方程，结合 约束求解； 确定首个公共项，新数列公差为原两个公差的最小公倍数。 【变式训练7-1】数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 _____ 【答案】 【详解】由等差数列的性质可得：， 故答案为： 【变式训练7-2】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______． 【答案】 【详解】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列， 数列是以3为首项，以3为公差的等差数列， 可知这两个数列的公共项所构成的新数列是以3为首项，以为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为：， 则 ， 则的前10项和为. 故答案为：. 【变式训练7-3】正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2027个数是（ ） A．3997 B．4003 C．4008 D．4010 【答案】C 【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下： 第一组：1 共1个数； 第二组：2，4，6 共3个数； 第三组：7，9，11，13，15 共5个数； 第四组：16，18，20，22，24，26，28 共7个数； 第五组：29，31，33，35，37，39，41，43，45 共9个数； …… 由此规律可知，第组最后一个数是该组组数与该组的数字个数的乘积为， 且该数在组成的红色子数列中是第个数， 易知，当时，即第45组最后一个数的位置是，数值为， 因为45为奇数，所以第45组为奇数数列，则第46组为偶数数列, 第2026个数为4005后的第一个偶数4006，第2027个数为4008. 故选：C 【变式训练7-4】等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则； 因，① 当时，，② 得，，即， 当时， ，解得，满足上式， 则， 综上所述，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，数列是递增数列，且，， 又因为，，，，，，，， 经验证数列中的，，均在中的前50项， 从而数列中需要取47项， 所以数列的前50项和. 题型8 等差综合压轴（恒成立+参数范围） 例8-1（25-26高三上·上海·期中）若． (1)若过，解方程； (2)若存在使得、、成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过， 故， 故即（负的舍去）， ， 即， 解得或， 经检验，满足真数大于零的条件，而不满足， 故方程的解为． （2）因为存在使得、、成等差数列， 故有解， 故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故， 即． 例8-2（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列满足，首项. (1)若，求证：对于任意正整数，恒成立； (2)若，且数列从第2项起是等差数列，求所有可能的的值； (3)若，求证：存在，使得恒成立，且数列不是常数列. 【详解】（1）① 当时，成立； ② 假设当时，成立，此时， 则当时，，并且，于是也成立； 综上，对于任意正整数，都成立. （2）数列是等差数列，且，说明必须为常数列. 解得， 此时解，得或. （3）设满足方程且，设满足方程且. 设，，此时函数的图像是连续不断的曲线. ， ， 则根据零点存在定理，存在，满足， 此时，即. 此时恒成立且数列不是常数列，满足条件，证毕. 方法技巧 1.统一变量：将条件转化为关于 的一元函数； 2.判断单调性：通过 分析数列增减； 3.离散最值：结合 取整求最值，确定参数边界。 易错分析 数列是离散型变量，严禁直接套用连续函数最值结论。 【变式训练8-1】已知数列是等差数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以公差，， 故； （2）因为，且时，恒成立， 所以， 因为时，，所以，所以， 所以，所以实数的最小值为. 【变式训练8-2】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 解得，所以. (2) ， 所以 ，即命题得证. （3）由（1）知 ， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得 令，分析其单调性： ， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为. 【变式训练8-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知点（其中），、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为d． (1)若，坐标为，，点在直线上时，求点的坐标； (2)若，、、都在抛物线上，点的横坐标为3，求证：线段的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标； (3)若、、都在椭圆上，且，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，，所以. 又因为点在直线上，可设. 如图：    所以， 所以或. 当时，，此时；当时，，此时. 所以点坐标为或. （2）如图：    因为抛物线的焦点为，且点的横坐标为3，所以. 因为，在抛物线上，可设，. 所以，. 因为、、成等差数列，所以， 所以. 设轴上点，满足， 则. 当时， ； 当时，也可以成立. 所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点. （3）设为椭圆上一点，则问题可转化为的最大值与最小值的差不小于6.    因为， 所以. 设，. 当即时，函数在上单调递减， 所以，所以； ，所以. 若，由恒成立，故满足题意； 若，由. 当即时，函数在上递减，在上递增， 且，，因为，所以，所以； ，所以. 由， 所以，且. 因为，所以不等式在上无解. 综上可知：. 即实数的取值范围为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则______. 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 3．（2020·上海·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，且，则________ 【答案】 【详解】由条件可知， . 故答案为： 4．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 【答案】 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c的取值范围为. 故答案为：. 5．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个. 【答案】98 【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，解得， ， ，1，，中，，， 其余各项均不相等， 1，，中不同的数值有：． 故答案为：98． 6．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 二、解答题 7．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 8．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质运算求解. 【详解】在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则这个数列共有项， 设该数列的公差为d，则. 故选：B. 二、填空题 2．在等差数列中，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】因为，，所以 故答案为： 3．一凸边形（，且），各内角的度数成等差数列，公差是，最小内角，则边数______． 【答案】 【分析】由内角和及等差数列前项和公式得到方程，解得即可. 【详解】由题意可得：， 整理得，解得或， 当时，该多边形最大角为，符合题意； 当时，该多边形最大角为，不符合题意； 所以. 故答案为： 三、解答题 4．（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 【答案】（1）恒成立；（2）数列一定是等差数列 【分析】根据等差数列的定义验证（1）（2）结论即可. 【详解】（1）因为数列为等差数列，故当时，，所以，则恒成立； （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，则，所以 故数列一定是等差数列. 5．设是等差数列的前n项和，． (1)求证：数列是等差数列； (2)当，时，求数列的前项和． 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，写出其前n项和，得到判断； （2）由，，求得，进而得到数列的首项和公差求解. 【详解】（1）解：设等差数列的首项为公差为d, 所以， 则 ， 所以 ， ， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列； （2）由，， 得， 解得， 所以数列是以-2为首项，以为公差的等差数列， 所以数列的前项和为 6．已知等差数列的首项为，公差为d． (1)将数列中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，那么公差是多少？ (2)由数列中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？如果是，那么它的首项和公差分别是多少？ 【答案】(1)是，； (2)是，，． 【分析】（1）由，时，，即可判断出结论． （2）由，，可得：时，，即可得出结论． 【详解】（1）由， 时，， 所得的新数列仍是等差数列，公差是． （2）由， ， 时，， 新数列是等差数列，它的首项和公差分别是，． 7．（中国古代数学问题） (1)《九章算术》中有如下问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问几何日相逢及各行几何？    (2)远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？ 【答案】(1)两马约16天相逢，良马所行大约4648里，驽马所行大约1492里 (2)塔顶有3盏灯 【分析】（1）利用等差数列的求和公式即可; （2）利用等比数列的求和公式即可. 【详解】（1）根据题意可知，良马每日所行里数构成等差数列, 设通项为, 则 驽马每日所行里数构成等差数列，设通项为, 则 所以， 此时良马所行：里， 驽马所行：里. 故两马约16天相逢，良马所行大约4648里，驽马所行大约1492里. （2）根据题意可知，各层塔上灯的个数成等比数列，公比为2， 设塔顶有灯盏，则,解得 所以塔顶有3盏灯. 8．已知数列的前n项和公式为： (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求的最小值，并求取得最小值时n的值. 【答案】(1)，是等差数列 (2)最小值， 【分析】（1）根据计算，然后验证即可； （2）结合二次函数性质求解取得最小值时n的值. 【详解】（1）当时，有. 当时，有 . 又因为， 所以时也成立， 因此数列的通项公式为：. 因为， 所以是等差数列. （2）（方法一） 因为， 又因为n是正整数，所以当或8时，最小，最小值是. （方法二）由可知数列是递增的等差数列， 而且首项. 令，可得， 解得，而且0. 由此可知，或8时，最小，最小值是. 9．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式． (2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第8项． 【分析】（1）是一个确定的数列，只要把，表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第n项是中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断是否为的项． 【详解】（1）设数列的公差为． 由题意可知，，，于是． 因为，所以，所以． 所以． 所以数列的通项公式是． （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以是数列的第8项． 10．已知等差数列的前n项和为． (1)求证：，，成等差数列； (2)求证：，，成等差数列； (3)试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)等差数列的前n项和为，则，，成等差数列；证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式，证明，即可证明结论； （2）利用等差数列的前n项和公式，证明，即可证明结论； （3）结合（1）和（2）的结果，即可得出结论；利用等差数列的前n项和公式，证明，即可证明结论； 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d， 则 ， 即， 故，，成等差数列； （2）证明：设等差数列的公差为d， ， 故， 所以，，成等差数列； （3）根据（1）和（2）的结果，可得：等差数列的前n项和为， 则，，成等差数列； 证明： ， 即， 所以，，成等差数列. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列的首项，前6项的和为12，则该等差数列的公差_____________. 【答案】2 【详解】因为等差数列的首项，前6项的和为12， 所以， 解得 ， 故答案为：2 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】由题意知且， 即且， 因，代入可得且， 解得且，故的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________. 【答案】8 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 4.已知非常数等差数列的各项为正数，且数列的前n项和为，则数列的最大项的值是___________ 【答案】1 【详解】等差数列的各项为正数，则，且， 所以数列为严格递增数列， 由，则， 即是严格递减数列， 故当时，得到数列的最大项为. 故答案为：1 5.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 【答案】 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为， 故答案为：. 6.已知数列的前项和满足，，且． （1）求证：数列是常数列； （2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和． 【详解】（1）证明：由，得， 将上述两式相减，得，即． ， 则， 数列是常数列； （2）由（1）可知，当时，， ，检验当时，也适用， ， 数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 又数列是以1为首项，以3为公差的等差数列， 这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 的前项和为． 7．已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 【详解】（1）由，得. 所以当时，. 又，不满足. 所以. （2）令，则. 所以当时，，所以当时，数列是等差数列. 所以. 又 ， 所以数列的前100项和为. 8.记等差数列的前项和为，数列也是等差数列，且两数列的公差均为. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【详解】（1）由题得，， 所以， 因为是公差为的等差数列， 所以， 因此， 两边平方可得， 即，解得， 所以. （2）由(1)可得， 所以， 因此. 9.已知数列满足，，，．设． (1)证明是公差为2的等差数列，并求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求数列的最小项以及该项的序数． 【详解】（1）在两边取倒数，有，， 即，因为， 因此是以为首项，以为公差的等差数列． 所以， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）可知．所以， 令，该二次函数开口向上，对称轴为，所以， 所以数列的最小项为，相应的序数为8． 重难·创新演练 1．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）已知等差数列，公差为常数，，则下列命题正确的是（   ） A．函数 可能是奇函数 B．无论取何值，函数 的最小值一定在时取到 C．若，则函数 一定是偶函数 D．存在常数，使得函数的图象不是轴对称图形 【答案】B 【详解】对于A，因为，， 所以不成立，故不可能是奇函数，A不正确. 对于B，当时，，此时，易知时，取最小值， 当时，，且， 若，； 若，； 若，； 若，； 综上可知，有最小值，此时； 当时，同理可得有最小值，且时，取到最小值，B正确. 对于C，时，，，当时，不是偶函数，C不正确. 对于D，因为 所以的图象是轴对称图形，对称轴为，D不正确. 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2025个方程（，2，3，…，2025）中，无实数解的方程最多有（    ） A．1009个 B．1010个 C．1012个 D．1013个 【答案】C 【详解】关于x的实系数方程有实数解，则， 其中，， 代入上式得：， 要想（，2，3，…，2025）方程无实数解，则， 显然第1013个方程有解， 设方程与方程的判别式分别为和， 则 ， 等号成立的条件是， 所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立， ，和至多一个成立，且， 综上，在所给的2025个方程中，无实数根的方程最多1012个，有实数根的方程至少1013个． 故选：C． 3．（25-26高三上·上海·开学考试）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为___________. 【答案】61岁5个月 【详解】解法一：根据题意，出生年月在1965年1月-4月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年5月-8月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年9月-12月的人的法定退休年龄记为，， 则构成等差数列，首项岁1个月，公差为1个月，可得岁个月. 依此规律，1970年5月出生的男职工，因为， 所以他的退休年龄应该是的第17项， 即他的退休年龄为岁17个月=61岁5个月. 解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月. 出生年龄 退休年龄 1965.5 60岁2个月 1966.5 60岁5个月 1967.5 60岁8个月 1968.5 60岁11个月 1969.5 61岁2个月 1970.5 61岁5个月 故答案为：61岁5个月. 4．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 5．（25-26高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______． 【答案】 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等差数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以 . 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，且对任意实数x恒成立．若有且仅有一个实数，使得，则=________． 【答案】 【详解】因为，有且仅有一个实数使， 所以对于任意的，有， 令，则，即，解得或， 若，则，即， 但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故， 若，则，即， 此时有且仅有一个实数根， 综上所述，函数的解析式为. 所以 . 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知的内角的对边分别为，若，且依次成等差数列，则的面积为___________． 【答案】6 【详解】在中，，， ， ， ，，， ， 即，解得或（，舍去）， ， 成等差数列，， ， 由余弦定理得， ，解得， ． 故答案为：6． 8．（25-26高三上·上海·期中）等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为________. 【答案】 【详解】由题意可得， 由题意可知， 令， 则， 由可得，由可得， 即在上单调递减，在上单调递增， 又因，而， ， 因为，所以数列的最小值为. 故答案为： 9．（25-26高三上·上海·期中）一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动： ，点到的长度为 ，……， 每次换方向后的直线移动长度均比前一次多 1 ， 变换方向均为向右转.按此规则一直移动直到移出网格 为止， 则棋子在网格上移动的轨迹长度为________. 【答案】 【详解】根据题意可知，棋子每次移动的长度构成等差数列，首项为，公差为，以点为原点，水平向右为轴正方向建立直角坐标系， 设，， 易得，， 由图归纳可知，，，同理可得，，，当， 故当时，即为， 当时，即为，移出网格1个单位， 此时移动的轨迹长度为. 故答案为：. 10．（25-26高三下·上海·开学考试）已知是公差不为0的无穷等差数列．若对于中任意两项，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．若，则具有性质的数列的个数是___________ 【答案】16 【详解】设数列的公差为，假设为负整数，则为递减数列， 所以中各项的最大值为， 由题意，中存在某项，且，所以， 而数列中存在，则，与题意相矛盾， 所以不是负整数，故为正整数. 因为，， 又，由题意，，使得，所以， 所以，d只能是的正约数， 因为， 所以. 当是552的正约数时，对任意， 右边三项均为的整数倍，故是的整数倍. 故具有性质P的数列有个. 11．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 12.如果数列满足条件：存在正整数，使得对任意正整数（满足）均成立，那么称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，且，，求. (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为1，2，3，8，求，及； (3)若数列为3级等差数列，且（为常数），求实数的值. 【答案】(1) (2)，，， (3) 【详解】（1）若数列为1级等差数列，则对任意的的正整数都成立， 故数列的为首项为的等差数列，设等差数列的公差为，即， ； （2）若数列为级等差数列，则对任意的的正整数都成立， 令得， 令得， 由可知数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，偶数项是首项为，公差为的等差数列， ； （3）若数列为3级等差数列，则对任意的的正整数都成立， 即，, 所以，, 若时，则，即，, 解得，, 若时，即，, 所以. 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故， 设点，，则，， 由得， 故，所以， 又在抛物线上，且与点不重合， 所以，且，， 即，且， 化简得，且； （2）由题意得，设点，，， 则的半径为，，解得， 因为与外切，则， 即，整理可得， 又，所以，即， 故数列是为首项，公差为2的等差数列， 则，， ， ； (3)存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下： 的方程为，显然与为两切线， 最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为， 故切点坐标为， 若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故过点的直线斜率也不为0， 设过的直线方程为， 联立与得， 设，则， 则，故点横坐标为， 将代入中得， 故，同理可得， 由对称性可知在轴上，不妨设， 则，， 点N，T，S始终三点共线，故， ， ， 化简得，显然， 所以，即时，上式恒成立， 故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 等差数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等差数列的有关概念 知识点2 等差数列的有关公式 知识点3 等差数列的常用性质 知识点4 等差数列前n项和的常用性质 题型破译 (含超链接） 题型1 基本量运算 题型2 等差数列判定与证明 题型3 Sn最值问题 题型4 片段和、奇偶项和问题 题型5 绝对值等差数列求和 题型6 an与Sn互推、构造等差 题型7 双等差数列问题 题型8 等差综合压轴（恒成立+参数范围） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 利用等差数列的性质计算 / / 春考第7题 求等差数列的前n项和 秋考第9题 秋考第3题 / 等差中项的应用 / / 秋考第18题 考情分析 基础层（4-5分）：填空、选择题为主，考查基本量运算、等差性质、前n项和基础计算，属于必须稳拿的保底分数。 中档层（解答题首问）：常与等比数列结合命题，作为数列解答题入门考点，承接基础、铺垫综合设问。 拔高层（压轴载体）：极少单独出难题，多作为压轴题干基础模型，结合新定义、恒成立与存在性、不等式、数列极限综合考查。 2027届命题趋势预判 1.选填题延续“简洁有陷阱”风格，基础性质与细节易错点为主要考查方向，侧重基础熟练度。 2.解答题以等差为基础载体，第一问夯实基础运算与证明，后续设问升级为创新探究、新定义综合题型。 3.强化逻辑证明能力考查，重点考核等差数列的严格判定、命题真假辨析，弱化套路化解题。 4.进一步弱化繁杂计算，聚焦考生的模型识别、方法优选、逻辑推导能力。 复习目标 基础目标（全员必达·保底满分） 适配基础薄弱考生，吃透核心公式与基础题型，实现基础题零失分： 1.精准熟记等差数列定义、通项公式、两类前n项和公式，无默写错误、无公式混淆。 2.熟练掌握基本量法，可通过已知条件列方程，快速求解首项 、公差 。 3.灵活运用下标和、等差中项核心性质，简化选填运算，提升解题速度。 4.掌握等差数列标准判定方法，能用定义完成严格证明。 核心公式汇总（Word标准可渲染公式）： 中档目标（冲刺110+·突破中档重难点） 适配中等分段考生，突破高频中档题型，拉开分数差距： 1.吃透等差数列函数等价关系：等差 （无常数项）。 2.熟练运用邻项变号法、二次函数法双方法求解 最值，规避取值陷阱。 3.精准掌握片段和、奇偶项和的核心性质与专属公式，熟练秒杀对应题型。 4.熟练掌握绝对值等差数列分段求和的标准步骤，规范书写分段表达式。 5.可通过 与 递推关系，自主识别、构造等差数列求解通项。 培优目标（冲刺130+·适配压轴铺垫） 适配高分段考生，突破综合压轴题型，适配上海创新命题： 1.掌握双等差数列公共项、子数列构造问题的解题逻辑。 2.熟练解决等差背景下的恒成立、存在性问题，精准求解参数范围。 3.掌握等差与不等式结合的基础放缩技巧，适配压轴小问。 4.能在新定义复杂题干中，快速剥离核心等差结构，转化为常规题型求解。 5.完善数学逻辑体系，可区分充分、必要条件，熟练用举反例辨析命题真伪。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 自主检测 1.（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）已知是等差数列且，则其公差______. 知识点2 等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 自主检测 2.（2026·上海金山·二模）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________． 3．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是等差数列的前项和，，则______． 知识点3 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*). (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列. 自主检测 4.（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 知识点4 等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 自主检测 5.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 题●型●破●译 题型1 基本量运算 例1-1（2026·上海嘉定·二模）已知是等差数列，，，则___________． 例1-2（25-26高三上·上海·阶段检测）若为等差数列，，则它的前12项和为______． 例1-3（25-26高三上·上海·期末）记为等差数列的前项和.若，，则_____________. 方法技巧 1.优先看下标，能用性质简化则放弃硬算； 2.条件无规律时，用基本量方程思想求解； 3.灵活使用 规避首项复杂计算。 易错分析 通项计算严格核对项数，杜绝 与 混淆。 【变式训练1-1】已知为等差数列，，，则______. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海金山·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，，则______. 【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，，则_____. 【变式训练1-4】（25-26高三上·上海·阶段检测）在等差数列中，若，，则的值为______. 题型2 等差数列判定与证明 例2-1已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-2（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 方法技巧 1.定义法（首选）：证 ，通用性最强，阅卷零扣分。 2.中项法（次选）：证 ，适配对称三项递推结构。 易错分析 仅验证前几项相等即下结论，逻辑不严谨直接失分。 【变式训练2-1】已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）若数列满足：，则的通项公式为___________． 【变式训练2-3】数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 题型3 Sn最值问题 例3-1在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则________ 方法技巧 1. 邻项变号法（数列专属）：最大值满足 ；最小值满足 。 2.二次函数法（快速预判）：由 求对称轴 ，取临近正整数。 关键细节：对称轴为整数时，两个连续n值的前n项和同为最值。 【变式训练3-1】是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 【变式训练3-2】已知等差数列的前项和为，，， (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值以及对应的的值． 【变式训练3-3】记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 题型4 片段和、奇偶项和问题 例4-1已知等差数列的前n项和为，满足，，则______________. 例4-2在等差数列中，已知公差，且，则__________. 方法技巧 1.出现 结构，直接套用片段和等差性质； 2.明确项数奇偶时，直接套用专属公式，跳过繁琐分步计算； 3.利用奇偶项差值、比值结论，实现填空秒杀。 【变式训练4-1】在数列中，对任意，，当且仅当，若满足，则的最小值为___________. 【变式训练4-2】将关于x的方程（t为实常数，）在区间上的解从小到大依次记为，设数列的前n项和为，若，则t的取值范围是______． 题型5 绝对值等差数列求和 例5-1在等差数列中，，记，则数列的前30项和为________． 例5-2已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为____________． 方法技巧 1.定分界：解不等式找到 正负转换的临界项 ； 2.分区间：划分 、 两段； 3.分段求和：正段直接求和，负段取相反数后求和，整合分段表达式。 【变式训练5-1】已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是__________. 【变式训练5-2】等差数列满足，则的最大值为____________． 【变式训练5-3】已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 题型6 an与Sn互推、构造等差 例6-1（2025·上海嘉定·一模）已知数列满足，且，则 _____. 例6-2已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 方法技巧 通用分段公式（Word标准公式）： 必考规范： 求得通项后，必须验证 ，不满足则保留分段形式。 上海特色考法：由和式递推构造 等差，为高频命题热点。 【变式训练6-1】已知为数列的前n项积，若，则数列的前项和_______． 【变式训练6-2】已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 题型7 双等差数列问题 例7-1已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为______． 例7-2记等差数列的前项和分别为．若，则__________． 例7-3（25-26高二下·上海杨浦·期末）若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（     ） A．①是真命题，②是假命题； B．①是假命题，②是真命题； C．①是真命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 方法技巧 1.写出两个等差数列通项公式； 2.建立等式转化为不定方程，结合 约束求解； 确定首个公共项，新数列公差为原两个公差的最小公倍数。 【变式训练7-1】数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 _____ 【变式训练7-2】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______． 【变式训练7-3】正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2027个数是（ ） A．3997 B．4003 C．4008 D．4010 【变式训练7-4】等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 题型8 等差综合压轴（恒成立+参数范围） 例8-1（25-26高三上·上海·期中）若． (1)若过，解方程； (2)若存在使得、、成等差数列，求的取值范围． 例8-2（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列满足，首项. (1)若，求证：对于任意正整数，恒成立； (2)若，且数列从第2项起是等差数列，求所有可能的的值； (3)若，求证：存在，使得恒成立，且数列不是常数列. 方法技巧 1.统一变量：将条件转化为关于 的一元函数； 2.判断单调性：通过 分析数列增减； 3.离散最值：结合 取整求最值，确定参数边界。 易错分析 数列是离散型变量，严禁直接套用连续函数最值结论。 【变式训练8-1】已知数列是等差数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【变式训练8-2】已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练8-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知点（其中），、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为d． (1)若，坐标为，，点在直线上时，求点的坐标； (2)若，、、都在抛物线上，点的横坐标为3，求证：线段的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标； (3)若、、都在椭圆上，且，求实数a的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则______. 2．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 3．（2020·上海·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，且，则________ 4．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 5．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个. 6．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 二、解答题 7．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 8．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．在等差数列中，若，，则的值为______． 3．一凸边形（，且），各内角的度数成等差数列，公差是，最小内角，则边数______． 三、解答题 4．（1）在等差数列中，是否都成立？ （2）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？ 5．设是等差数列的前n项和，． (1)求证：数列是等差数列； (2)当，时，求数列的前项和． 6．已知等差数列的首项为，公差为d． (1)将数列中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，那么公差是多少？ (2)由数列中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？如果是，那么它的首项和公差分别是多少？ 7．（中国古代数学问题） (1)《九章算术》中有如下问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问几何日相逢及各行几何？    (2)远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？ 8．已知数列的前n项和公式为： (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； (2)求的最小值，并求取得最小值时n的值. 9．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式． (2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由． 10．已知等差数列的前n项和为． (1)求证：，，成等差数列； (2)求证：，，成等差数列； (3)试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列的首项，前6项的和为12，则该等差数列的公差_____________. 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为________. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________. 4.已知非常数等差数列的各项为正数，且数列的前n项和为，则数列的最大项的值是___________ 5.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 6.已知数列的前项和满足，，且． （1）求证：数列是常数列； （2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和． 7．已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 8.记等差数列的前项和为，数列也是等差数列，且两数列的公差均为. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 9.已知数列满足，，，．设． (1)证明是公差为2的等差数列，并求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求数列的最小项以及该项的序数． 重难·创新演练 1．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）已知等差数列，公差为常数，，则下列命题正确的是（   ） A．函数 可能是奇函数 B．无论取何值，函数 的最小值一定在时取到 C．若，则函数 一定是偶函数 D．存在常数，使得函数的图象不是轴对称图形 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2025个方程（，2，3，…，2025）中，无实数解的方程最多有（    ） A．1009个 B．1010个 C．1012个 D．1013个 3．（25-26高三上·上海·开学考试）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为___________. 4．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 5．（25-26高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______． 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，且对任意实数x恒成立．若有且仅有一个实数，使得，则=________． 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知的内角的对边分别为，若，且依次成等差数列，则的面积为___________． 8．（25-26高三上·上海·期中）等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为________. 9．（25-26高三上·上海·期中）一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动： ，点到的长度为 ，……， 每次换方向后的直线移动长度均比前一次多 1 ， 变换方向均为向右转.按此规则一直移动直到移出网格 为止， 则棋子在网格上移动的轨迹长度为________. 10．（25-26高三下·上海·开学考试）已知是公差不为0的无穷等差数列．若对于中任意两项，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．若，则具有性质的数列的个数是___________ 11．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 12.如果数列满足条件：存在正整数，使得对任意正整数（满足）均成立，那么称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，且，，求. (2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为1，2，3，8，求，及； (3)若数列为3级等差数列，且（为常数），求实数的值. 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $