精品解析：四川雅安市名山区百丈镇初级中学2026-2027学年九年级上学期数学学情自测卷

雅安市名山区百丈中学九年级上期数学月考卷 一、单选题（36分） 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、在中，当时，二次项系数为0，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意； C、变形得，，是一元一次方程，故不符合题意； D、的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意． 2. 下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 3. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 4. 如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，求出，然后可得的度数． 【详解】解：∵，是菱形的对角线， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴． 5. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质求出的长，进而得到的长，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 6. 菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 36 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质求得，再利用解直角三角形求得，的长度，进而得出菱形对角线的长度，从而利用菱形面积公式求出结果． 【详解】解：如图，设与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 8. 如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 9. 在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 10. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由“菱形的对角线互相垂直”可得，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点， ∴, ∵是的中点， ∴． 11. 设是方程的两根，且，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合的条件列方程求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 12. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 二、填空题（15分） 13. 如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 【详解】解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 14. 任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个________（填“菱形”或“矩形”或“正方形”）． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，连接、，根据菱形的对角线互相垂直得到，由三角形的中位线定理得到，，则，同理可得，，，据此可得答案． 【详解】解：如图，在菱形中，点E、F、G、H分别是的中点， 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，，分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴， 同理，，， ∴四边形是矩形． ∴任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个矩形， 故答案为：矩形． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 16. 若，是一元二次方程的两个根，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 17. 已知m, n是方程 的两根， 则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，对于一元二次方程，当时，设两个根为，则，据此得到，，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m, n是方程 的两根， ∴，． ∴ ． 故答案为： 三、解答题 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】  解： 开平方得 解得，； 【小问2详解】 解： 整理得 则或、 解得； 【小问3详解】 解： 则或 解得． 【小问4详解】 解： 整理得 则 或 解得． 19. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】略 20. 如图，四边形中，，连接，的角平分线分别交于点O，E． （1）连接，求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）如图， ∵， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得四边形为平行四边形，即可求证； （2）根据勾股定理可得的长，再结合菱形的性质可得的长，设，则，在中，利用勾股定理可得的长，可得到的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 21. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 22. 已知关于x的方程． （1）如果方程的一个根为，求k的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， ， 方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键； （1）把代入方程即可求得k． （2）根据进行判断； 【小问1详解】 解：把代入方程， 得， 解得， 【小问2详解】 略 23. 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】（1） （2）该商品的售价为20元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； 【小问2详解】 解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 24. 如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． （1）求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； （2）当的面积为时，求t的值； （3）请直接写出的面积满足时t的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）分，，三种情况分别求解即可； （2）当的面积为时，得或，求解即可； （3）当时，若，则，若，则，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 综上，； 【小问2详解】 解：当的面积为时，得： 或， 解得：或； 【小问3详解】 解：当时， 若，则， 解得：， 若，则，不满足条件， 若，则， 解得：， ∴的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安市名山区百丈中学九年级上期数学月考卷 一、单选题（36分） 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 6. 菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 36 D. 7. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 8. 如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 9. 在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 设是方程的两根，且，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（15分） 13. 如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 14. 任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个________（填“菱形”或“矩形”或“正方形”）． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 16. 若，是一元二次方程的两个根，则_________． 17. 已知m, n是方程 的两根， 则__________________． 三、解答题 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 20. 如图，四边形中，，连接，的角平分线分别交于点O，E． （1）连接，求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 21. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 22. 已知关于x的方程． （1）如果方程的一个根为，求k的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 23. 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 24. 如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． （1）求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； （2）当的面积为时，求t的值； （3）请直接写出的面积满足时t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $