第1～3章综合测试卷（成都专用）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年九年级数学上学期第 1-3 章综合测试卷（成都专用） （考试时间：120分钟 满分：150分） 测试范围：北师大版九年级数学上册第1-3章 注意事项 1. 答题前，考生务必准确填写姓名、准考证号等信息，并认真核对答题卡粘贴的条形码信息。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂答题卡对应题号，修改时须用橡皮擦擦拭干净，不得留有痕迹；非选择题须使用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，超出答题区域、书写在试卷及草稿纸上的答案无效。 3. 保持答题卡卷面整洁、字迹工整，严禁折叠、污损答题卡，严禁使用涂改液、修正带等涂改工具。 4. 考试结束后，考生只需上交答题卡，试卷自行保管。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷 选择题（共32分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，从整式性、未知数个数、最高次数及二次项系数四个方面逐一判断. 解：选项A：是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程定义； 选项B：的分母含未知数，是分式方程，不符合题意； 选项C：当时，方程的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合“一定是”的要求； 选项D：含有两个未知数，是二元方程，不符合题意. 2．（2026八年级下·贵州黔西南·专题练习）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】A 解：∵平行四边形具有对角线互相平分、对角相等的性质，故C、D不符合题意． ∵菱形是特殊的平行四边形，对角线互相垂直，该性质平行四边形不一定具有，故A符合题意． ∵对角线相等不是菱形和平行四边形的必然性质，故B不符合题意． 3．（25-26九年级上·广西百色·期中）如果一个矩形对折后和原矩形相似，则对折后矩形的长边与短边的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形的性质，根据相似图形的性质，列出比例式进行求解即可． 解：如图，    由题意，矩形与矩形相似，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：对折后矩形的长边与短边的比是； 故选D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“菱形的对角线互相垂直”可得，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得． 解：∵菱形中，对角线、相交于点， ∴, ∵是的中点， ∴． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于方程，下列说法正确的是（     ） A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据其符号判断根的情况． 解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定条件是解题关键． 结合“两角对应相等”、“两边对应成比例且夹角相等”等判定规则对选项进行分析即可． 解：已知， 选项：，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，则，即，结合，根据“两角对应相等”，可判定； 选项：，即，根据“两边对应成比例且夹角相等”，可判定； 选项：成比例的两边是与、与，它们的夹角并非已知的、，不一定能判定． 故选：． 7．（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，在正方形ABCD中，BC=3，延长CD至点E，使得DE=1，EF⊥CE，EF=CE，连接AF、CF，若G为AF的中点，则CG的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接,根据已知条件，可知,勾股定理分别求得进而求得,根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长． 解：如图，连接, EF⊥CE，EF=CE， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形，， ,， ， ， ， ， ， ， G为AF的中点， CG． 故选D． 【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，正确的添加辅助线是解题的关键． 8．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，则有，然后问题可求解． 解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共68分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．（2025·陕西咸阳·一模）如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 【答案】24 【分析】过点A作于点M，于点N，由题意得四边形是平行四边形，根据矩形的宽相等，得到，结合，进而得到，推出，即可得到四边形是菱形，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，得出四边形是菱形是解题的关键． 解：过点A作于点M，于点N， 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 【答案】4 【分析】先把代入方程，再化简，最后整体代入求解． 解：∵是方程的一个实数根， ∴， ， ． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 12．（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 13．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，，根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，即可求解． 解：设正方形的边长为a， ∴， ∵折叠， ∴， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择因式分解法或完全平方公式法． （1）通过因式分解将方程化为两个一次因式的积为0的形式求解； （2）利用完全平方公式将方程化为平方形式后求解． （1）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． （2）解：， 由完全平方公式得， 解得． 15．（满分10分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 解：（1）略 （2）解：∴菱形的面积为． 16．（满分10分）（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，、分别是边上的动点，且． （1）求证：； （2）当，是否存在，若存在请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：，， ． （2） 【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证； （2）依据题意，由，从而得出，又四边形是平行四边形，故，又设，则，代入比例式解析计算即可求解． 解：（1）略 （2）解：， ， 四边形是平行四边形， ． 设， ． ， 解得：，即． 17．（满分10分）（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测） 已知关于x的方程．若，是方程的两根． （1）当时，求m的值； （2）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． （1）解：把代入方程，得， ． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 18．（满分10分）（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点． （1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形； （2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围． 【答案】（1），，，；（2）， 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定以及矩形的性质，熟练掌握与运用是解答本题的关键． （1）根据矩形可得，，，，利用两角对应相等，两个三角形相似即可得到，，即可得出与相似的三角形有，，，； （2）由（1）知，，得到，即可求解出与之间的函数关系式，根据点在边（点不与点重合，可与点重合）即可得到的取值范围，从而求得的取值范围． （1）解：在矩形中， ，，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ， 在矩形中，， ， 又，， ， 即， 在直角中， ， 点在边（点不与点重合，可与点重合）， ， ， 综上所述，与之间的函数关系式为，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．（2026八年级上·江苏泰州·专题练习）若不论取何实数，分式总有意义，则取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式有意义的条件，一元二次方程根的个数问题，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 分式总有意义，则分母恒不为零，即二次方程无实数根，判别式小于零即可． 解：分式总有意义， 则对于所有实数，分母， 即二次方程无实数根， 判别式， 令，得，解得， 故答案为：． 20．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】根据无缝拼接的图形面积不变，可求出正方形的边长，再根据拼接方式找出相等的线段，设，再将其他线段表示出来，最后利用三角形的面积公式求解即可． 解：∵等腰三角形的面积为， ∴正方形的面积为，则正方形的边长为； 如图所示， ， 正方形上方两个三角形由和组成， 下方梯形由四边形和四边形组成， ∵是等腰三角形，且， ∴， 设， 则, ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， 则． 21．（25-26八年级下·上海普陀·期末）数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O（称为极点），以O为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点P，连接，设线段的长度为L，，那么点P的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，，则点B的极坐标为．已知点，如果点C在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点C的极坐标是_____________． 【答案】 【分析】连接，，与相交于M．结合已知条件及，可判定为等边三角形，得到的长，利用菱形的性质及等腰三角形三线合一性质，求出的长度及的度数，进而确定点C的极坐标． 解：如图，连接，，与相交于M． ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分，，， ∴， ， ∴， ∴点C的极坐标为． 22．（25-26九年级上·河南南阳·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学问题中的相似，运用相似三角形的对应边成比例求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴（垂直于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行同位角相等）， ∴， ∴， ∵里，里，点，点分别是，的中点，里， ∴里，里， ∴（里）． 故答案为：． 23．（2026·安徽合肥·一模）定义：一个矩形较短边与较长边之比是，则这个矩形叫作黄金矩形．如图1，矩形为黄金矩形（），E为边上一点，将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． （1）_________； （2）如图2，G为边上一动点，过G点作，垂足为H，将矩形沿折叠，点B的对应点为，交于点Q，若矩形为黄金矩形，则_________． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质可得，设，由黄金矩形的定义可得，进而得到，最后求比例即可； （2）先说明四边形是正方形得，设，则,由黄金矩形定义、；由折叠的性质可得，设，则，运用勾股定理列方程可求得,进而求的,后求比例即可． 解：（1）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴， 设，则． ∴， ∴； （2）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴四边形是正方形， ∴， 设，则, 由黄金矩形定义． ∵矩形为黄金矩形， ∴，即，解得：， ∴， ∵将矩形沿折叠，点B的对应点为， ∴， 设，则， ∴, ∴， ∴, 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）；（2）元 【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可． （1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意可知，将和代入中得， 解得： y与x之间的函数关系式为 （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价元． 25．（满分10分）（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为 （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求线段的长度，并求出的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2） 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据菱形的判定定理进行求证即可； （2）过点作，由题意易得，则有，然后根据三角形中位线可得，，，进而可得，最后根据三角形面积公式可进行求解． 解：（1）略 （2）解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵为对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（满分12分）（24-25八年级下·湖北孝感·期末）问题背景：如图，已知四边形是正方形，点是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系． （1）问题发现：如图1，当点在线段上时，之间的数量关系是______； （2）问题探究：如图2，当点在的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明； （3）问题拓展：如图3，当点在的延长线上时，设与交于点，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）解：不成立，， 证明: 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【分析】（1）根据正方形的性质由可证，得到，从而可得； （2）同（1）可证，得到，故； （3）由可知，由（2）的结论可得，根据勾股定理求正方形边长为，从而可得，延长交于，再由平行线分线段成比例定理求的长，从而可知的长，在中，根据勾股定理求的长，再由，即可求得的长． （1）解：， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2）可得：，， ， ， ， 在上， 在同一条直线上， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 延长交于， ，   ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第 1-3 章综合测试卷（成都专用） （考试时间：120分钟 满分：150分） 测试范围：北师大版九年级数学上册第1-3章 注意事项 1. 答题前，考生务必准确填写姓名、准考证号等信息，并认真核对答题卡粘贴的条形码信息。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂答题卡对应题号，修改时须用橡皮擦擦拭干净，不得留有痕迹；非选择题须使用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，超出答题区域、书写在试卷及草稿纸上的答案无效。 3. 保持答题卡卷面整洁、字迹工整，严禁折叠、污损答题卡，严禁使用涂改液、修正带等涂改工具。 4. 考试结束后，考生只需上交答题卡，试卷自行保管。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷 选择题（共32分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·贵州黔西南·专题练习）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 3．（25-26九年级上·广西百色·期中）如果一个矩形对折后和原矩形相似，则对折后矩形的长边与短边的比是（　　） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）对于方程，下列说法正确的是（     ） A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，在正方形ABCD中，BC=3，延长CD至点E，使得DE=1，EF⊥CE，EF=CE，连接AF、CF，若G为AF的中点，则CG的长为（   ） A．3 B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题（共68分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．（2025·陕西咸阳·一模）如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 12．（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 15．（满分10分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 16．（满分10分）（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，、分别是边上的动点，且． （1）求证：； （2）当，是否存在，若存在请求出；若不存在，请说明理由． 17．（满分10分）（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测） 已知关于x的方程．若，是方程的两根． （1）当时，求m的值； （2）直接写出代数式的最小值． 18．（满分10分）（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点． （1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形； （2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．（2026八年级上·江苏泰州·专题练习）若不论取何实数，分式总有意义，则取值范围是______． 20．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为___________． 21．（25-26八年级下·上海普陀·期末）数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O（称为极点），以O为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点P，连接，设线段的长度为L，，那么点P的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，，则点B的极坐标为．已知点，如果点C在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点C的极坐标是_____________． 22．（25-26九年级上·河南南阳·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 23．（2026·安徽合肥·一模）定义：一个矩形较短边与较长边之比是，则这个矩形叫作黄金矩形．如图1，矩形为黄金矩形（），E为边上一点，将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． （1）_________； （2）如图2，G为边上一动点，过G点作，垂足为H，将矩形沿折叠，点B的对应点为，交于点Q，若矩形为黄金矩形，则_________． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若超市要想获利2240元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 25．（满分10分）（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为 （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求线段的长度，并求出的面积． 26．（满分12分）（24-25八年级下·湖北孝感·期末）问题背景：如图，已知四边形是正方形，点是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系． （1）问题发现：如图1，当点在线段上时，之间的数量关系是______； （2）问题探究：如图2，当点在的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明； （3）问题拓展：如图3，当点在的延长线上时，设与交于点，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $