精品解析：四川开江县任市初级中学2026-2027学年九年级上学期9月数学学情自测试题

四川省达州市开江县任市初级中学2026-2027学年 九年级上学期9月数学学情自测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的三个判定条件：只含有一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】A选项，原方程整理为，同时满足三个条件，是一元二次方程． B选项，方程分母中含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除． C选项，原方程展开整理得，含有两个未知数，不满足条件，排除． D选项，未知数的最高次数为3，不满足条件，排除． 2. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线相等的矩形是正方形 B. 对角线垂直平分的四边形是菱形 C. 矩形的对角线平分且相等 D. 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定及平行四边形的判定定理分别进行判定后即可确定正确的选项． 【详解】A. 对角线相等的菱形是正方形,原选项错误，符合题意； B. 对角线垂直平分的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； C. 正方形的对角线平分且相等，正确，不符合题意； D. 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查正方形、矩形、平行四边形、菱形的性质定义，根据其性质对选项进行判断是解题关键. 3. 用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 4. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，经过点O作与边都垂直的线段，分别与边相交于点E，F，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中，，可得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得，，同理可得的长，进而即可求得四边形的周长． 【详解】解：四边形是菱形，． ，． ． ． 线段与边都垂直， ． 中，， 同理可得． ． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 5. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，由矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，推出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ， 故选D． 6. 关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ） A. 1 B. C. ﹣ D. ± 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；把x=2代入方程2x2﹣3x﹣a2+1=0，得8﹣6﹣a2+1=0，解得a=±． 故选D 考点：一元二次方程的解 7. 如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质.求出，根据三角形外角的性质即可求出答案. 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 8. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 9. 如图，面积为36的菱形中，为对角线的交点，点在上，且，过点作于点，于点，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的面积是36，为对角线的交点，得到，再根据，，可证，，根据相似三角形的面积比等于相思比的平方，可得,，根据可求出结果． 【详解】解：∵ 菱形的面积是36，为对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴，, ∴, 又∵， ∴， ∴, ∴, ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知2是关于x的方程的一个解，则a的值是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， 解得． 12. 如图矩形中，对角线，相交于点，，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质可得，再由等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点 O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 13. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）=21 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21， 故答案为x（x﹣1）=21． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 14. 如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上一个动点，连接，．则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．通过作点关于的对称点，根据两点之间线段最短，的最小值就等于的长度，然后利用勾股定理求出． 【详解】解：作点关于的对称点，连接． 是的中点，正方形边长为， ，那么在的延长线上，且， ． 在直角三角形中，，． ． ， 根据两点之间线段最短，的最小值就是的长度， 的最小值是． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式． ∵对任意实数，，即， ∴方程总有两个实数根． （2）的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵方程有一根大于1， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 18. 如图菱形中，，点E在边上，点F在边上，且． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，如图，根据菱形的性质得，而，则可判定为等边三角形，得到，易得，然后利用可证明，于是得到，即可证明是等边三角形； （2）过点作于点，过点作于点，先根据（1）中全等三角形得到，，而，由角直角三角形性质以及勾股定理求得，再由勾股定理求得，同理可求：，，最后由面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点， ∵ ∴， ∴在菱形中，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴同理可求：，， ∴． 19. “山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 【答案】（1） （2）90元/盒 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润单个的利率销售量列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为： 盒； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 取， 答：该礼盒的售价应定为90元/盒． 20. 如图，在菱形中，过点A作于点E，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ∴，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的四条边相等，设，由得，在直角中根据勾股定理，得出方程求解，计算矩形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，在矩形中，， ∴在直角中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴矩形的面积． 21. 已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE． （1）如图1，求证：AE⊥AC； （2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由菱形的性质可得AO=CO，∠BOC=90°，由三角形的中位线定理可得OB=AE，BD∥AE，即可得结论； （2）由勾股定理可求AC的长，再根据BE＝BC，AE＝2BO，BO＝3＝DO，BC＝5＝AB，由菱形的面积公式可求DF的长． 【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AO＝CO，∠BOC＝90° ∵AO＝CO，BE＝BC ∴OB＝AE，BD∥AE，且∠BOC＝90° ∴∠EAC＝∠BOC＝90° ∴AE⊥AC （2）连接BD， ∵∠EAC＝90°，AE＝6，CE＝10， ∴AC＝＝8 ∵AE＝6，CE＝10，BE＝BC，AE＝2BO ∴BO＝3＝DO，BC＝5＝AB ∵S菱形ABCD＝DF×AB＝AC×BD， ∴5DF＝×6×8 ∴DF＝ 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 23. 综合探究 （1）如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； （2）如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 【答案】（1）， （2）解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 24. 阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值． 【答案】（1）7；1 （2）的值为47 （3）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，弄懂题干所给的例子，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）将所求式子变形为，再将（1）的代数式代入求值即可； （3）由题意可知、是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，且， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，， 故答案为：7，1； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴原式； 【小问3详解】 解：∵ ，且 ， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴． 25. 【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． （1）如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） （2）如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质，即可解答； （2）先连接，再利用菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，进行解答即可； （3）如图③，取的中点，连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质和判定证出．连接，证明，得出，从而得，过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方，连接，则可得，结合点在的内部或边上运动，得出当点在上时，最短，的最小值为的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵是菱形的对角线，且， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∵点都落在对角线上， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 解：如图②，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是菱形，且， ∴，与互相垂直平分，， ∴，是等边三角形， ∴． ∵三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴是直角三角形，． ∴． 【小问3详解】 解：如图③，取的中点，连接， ∴． ∵是菱形的对角线，且， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴． 连接， 由（2）可知，是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， 过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方（包含点），连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，最小值为，此时点在上， 设交于点，连接， ∵点在的内部或边上运动， ∴， ∴当点在的边上时，最小，即最小， ∵四边形是菱形， ∴点与点关于对角线对称， ∴此时点与点重合， 即的最小值为的长． ∵是等边三角形，为的中点，， ∴,， ∴． 即的最小值为． 答：增设的灌溉水管的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市开江县任市初级中学2026-2027学年 九年级上学期9月数学学情自测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线相等的矩形是正方形 B. 对角线垂直平分的四边形是菱形 C. 矩形的对角线平分且相等 D. 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 3. 用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，经过点O作与边都垂直的线段，分别与边相交于点E，F，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 12 5. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ） A. 1 B. C. ﹣ D. ± 7. 如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，面积为36的菱形中，为对角线的交点，点在上，且，过点作于点，于点，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知2是关于x的方程的一个解，则a的值是_________． 12. 如图矩形中，对角线，相交于点，，则_____度． 13. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____． 14. 如图，正方形的边长为，是的中点，点是边上一个动点，连接，．则的最小值是________． 15. 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为________． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 18. 如图菱形中，，点E在边上，点F在边上，且． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的面积． 19. “山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 20. 如图，在菱形中，过点A作于点E，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE． （1）如图1，求证：AE⊥AC； （2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长． 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 23. 综合探究 （1）如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； （2）如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 24. 阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么由求根公式可以推出，；已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足：，，且，则______，______； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数m，n满足： ，且 ，求的值． 25. 【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． （1）如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） （2）如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $