广东省河源市龙川县第一中学2026-2027学年第一学期高三年级9月考试数学试卷

龙川一中2026-2027学年度第一学期高三年级9月考试 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，，，则的真子集共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与． ②与． ③与． ④与． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，在上满足，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面下列命题为真命题的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 11．如图，点在棱长为1的正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A．异面直线与所成角为60° B． C．若是中点，三棱锥外接球体积为 D．的最小值是 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，其中第13题第一个空给2分，第二个空给3分，共15分） 12．设集合，，则_________ 13．已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 14．如图，几何体是以正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论： ①不存在点，使得平面平面； ②存在点，使得平面； ③不存在点，使得点到平面的距离大于； ④存在点，使得直线与平而所成角的正弦值为． 其中所有正确结论的序号是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题共13分）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 16．（本题共15分）已知函数的图象过点． （1）求实数的值，并判断的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论． 17．（本题共15分）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18．（本题共17分）如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形，其中，为圆柱的母线，点在底面圆周上，且过底面圆心，点，分别满足，，过的平面与交于点，且． （1）当时，证明：平面平面； （2）若，与平面所成角的正弦值为，求的值． 19．（本题共17分）已知函数对于任意实数，恒有，且当时，，又． （1）判断的奇偶性并证明； （2）求在区间的最小值； （3）解关于的不等式：． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2026-2027学年度第一学期高三年级9月考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C A C D A B AB ACD ABC 12． 13．（1）（2） 14．②③④ 15．【答案】 【详解】（1）方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得，互相垂直， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， ，，， ，，， 设平面的法向量为，则有即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2）方法一：点到平面的距离． 方法二：因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离， 设为，因为，，，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得． 16．【解析】 （1）根据题意，函数的图象过点， 则有，解可得， 则，其定义域为， 则有，函数为奇函数． （2）在上单调递增， 证明：，设， 则 又由，则，即； 所以在上单调递增． 17．（1）或；（2）或 【详解】（1）为真命题时，当时，，成立； 当时，， 解得．所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或． （2）若命题为真命题，则， （3）所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或． 18．（1）证明见详解；（2）． 【详解】（1）当时，得，又，， 所以，， 平面，平面， 平面， 同理得平面， 因为，是平面内两条相交直线， 所以平面平面． （2）因为，为圆柱的母线， （3）所以垂直平面，又点C在底面圆周上，且过底面圆心O， （4）所以，所以，，两两互相垂直． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，，， 因为，所以，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得，，所以， 所以与平面所成角的正弦值为，，解得或，，． 19．【详解】（1）证明：为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． （2）解：任取，，且，则． 因为当时，， 所以． ， 即， 所以在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为，令得， 令，得， 在区间的最小值为， （3）解：由， 得， 由得， 由在上单调递增得整理得， 即， 当时，，解得； 当时，， 当时，，，解集为， 当时，， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $