广东省河源市龙川县第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

龙川一中2025-2026学年第一学期高三年级9月份考试 数学试卷 考试用时：120分钟全卷满分：150分命题人：曾小洁审题人：郭琳琳 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的： 1.设全集U={-2,-1,0,12},集合A={-2,0,1,B={-10,2},则An(CuB)=（) A.{O} B.{-1,2} C.{-2,} D.{-2,0,1 2.已知复数z满足=(1+31)=2-1，则日=() A.2 B.√ c.9 09 3.已知a=m爱，b-24,6-eg:5,则() A.b>c>a B.b>a>c C.axc>b D.a>b>c 4.研究函数图象的特征，函数f四-血的图象大致为( x2+1 5.“α≥4”是“f(x)=x+2在(0,2)上单调递减”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)= -x2+2ax,x≤1 是定义在R上的增函数，则a的取值范围是 (3-ax+2,x>1 () A.[1,3) B.[1,2] C.[2,3) D.(0,3) 试卷第1页，共4页 7.函数y=f(x)的图象如图所示，y=f'(x)为函数y=f(x)的导函数，则不等 式（四<0的解集为( A.(-3,-1) B.(0,1) C.(-0,-3)U1,+0) D.(-3,-1)U(0,1) 8.已知函数f(x)=ax2-lnx(a>0)在区间(1,2)单调，则a的取值范围是( A()a+*ojB.(哈5)c.别n.6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错 选的得0分. 9.下列结论中，正确的是( A.函数y=21是指数函数 B.函数y=2+1(a>1)的值域是[1，+oo) C.若am>a(a>0,a≠1)，则m>n D.函数f(x)=d2-3(a>0,a≠1)的图像必过定点(2，-2) 10.函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,f(x+1)和g(2x-1)都是奇函数， 则( A.g(x)的图象关于直线x=-1对称B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.g(x)是周期函数 D. 登g间=2024 11.已知三次函数f(w=ax3+bx2+cx-1,若函数g(x)=f(-x)+1的图象关于 点(1,0)对称，且g(-2)<0,则( ) A.a<0 B.g(x)有3个零点 C.fx)的对称中心是(-1,0) D.12a-4b+c<0 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x)=x+1,则f(一2) +(0)= 13.函数f(x)=log(-x+m+2)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围 是 14.己知数列{a}的前n项和为Sn,且a=2,Sn=an1-2.若Sn>n2+61n,则n的最小值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15。(13分) 设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A+C bsinA. 2 (1)求B; ②)若c=5,且AABC的面积为9，求角s的角平分线的长. 16。(15分) 袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为X,求x的分布列和 数学期望； (2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球 记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概 率 试卷第3页，共4页 17.(15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，AB=2,BC=DC=PD=1,∠ABC=90°， AB∥CD,平面ADP⊥平面ABCD,PD⊥BC. (1)证明：PD⊥平面ABCD; (2)求平面PAB与平面PDC的夹角的余弦值. 8.(17分) 设函数f()=a2一(a一2)x一1nx(a∈R). (1)当a=0时.求曲线f(x)在x=1处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若函数f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围 19.（17分) 已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，离心 率e=2,且过点P6,2)· (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线1与椭圆交于A,B两点，且直线PA,PB的倾斜角互补，点M(0,8), 求△MAB面积的最大值. 试卷第4页，共4页龙川一中2025-2026学年第一学期高三年级9月份考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B 0 B BD BC 题号 11 答案 ABD 12.-5 13.a∈[1,2]14.2 8.【答案】B 【解折】由已知将r因=x片当a0时.令f=0,得x=圆 令0,解得品令f0,解得x: 故f(x)在区间 8 2 所以a的直国是o） 故选：B 11.【答案】ABD 【解析】由题设，g(x)=-ax3+bx2-cx,且g(x)+g(2-x)=0, 所以ax3-bx2+cx+a(2-x)3-b(2-)2+c(2-)=0,整理得 (3a-b)x2+2b-3ax+4a-2b+c=0, 4a+c=2b’可得b=3ac=2a,故g(y=-arc-100x-2), 「3a=b 故 又g(-2)=24a<0,即a<0,A正确；g(x)有3个零点，B正确： 由g(x)+g(2-x)=f(-x)+1+f(x-2)+1=0,则f-x)+f(x-2)=-2,所以fx)关于(1，-1) 对称，C错误； 12a-4b+c=12a-12a+2a=2a<0,D正确. 故选：ABD 答案第1页，共7页 14.【解析】因为Sn=a+1-2+,Sn-1=a。-2"(n≥2)， 两式相减得：S,-S1=(a+1-2)-(a,-2),即a1=2a,+2. 两边同除以2可得受岩号-a≥2)。 又S=0-2=2,得a=6,满足%-g=} 222-21 所以数列 8}是首项为号1，公若为的等差数列，放号-1+”“号 2 2” 22 即a,=(n+1)21,所以S,=a1-21=(n+2)2”-21=n2”, 因为S,-(m+61m)=2”-(n2+61)=n(2-n-61), 令c=2”-n-61,则c1-c.=[21-0n+161]-2-n-612”-1>0, 所以数列{Cn}单调递增，因为c6=2-6-61=-3<0,c,=2’-7-61=60>0, 所以当1≤n≤6时，S。-（n2+61)=cn≤c,<0,即Sn<n2+6ln; 当n≥7时，Sn-(n2+61m=cn≥1c>0, 即Sn>n2+61n.所以n的最小值为7. 故答案为：7 6 15.()B=60( 【详解】(1)因为asim4+C-bsi4,由正弦定理可得sin 4sin4+C=nBsin4, 2 2 因为A∈(0,180)，所以sinA≠0，所以imA+C=sinB, 2 因为A+B+C=180,所以4+C=90°-B, 2 2 因为sin4+C=sim90°-B）=cos9， 2 号，所以cos号-sn2=2sm号cos2 2 =cos 2 2 2 因为号c(心，0，所以os号40，所以m号} 22’所以台=30，即B=60: 2 2因为：=-，风所gm8-9用a2 2 3 设∠ABC的角平分线交AC于D,因为S4c=SABD+ScD, 答案第2页，共7页 所以x5×BDxsin30+x33 xBDxsin305, 6 ,所以BD= 23 2 16. 【详解】(1)由题意得X的可能取值为：0,1,2， Px-0答-0答号x-2-詈 C814 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 14 7 14 数学期望E()=0 4 41×7+2x 3 (2)设事件A=“最后得分为8分”；事件B=恰取到一个红球”； 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球， 所以P(A=cC+Cci-9, C 28,P(AB)=cC-3 C14' 3 所以P(B|A)= P(AB)_14-2 P(B) 93 28 17.【小问1详解】 取AB的中点E,连接DE,BD, .∠ABC=90°，AB/CD, ∴.∠BCD=90°， BC=DC=1, .BD=√BC2+DD2=√2， 答案第3页，共7页 D .E为AB的中点， ∴.BE=CD,BE/ICD .四边形BCDE为平行四边形， .·BC=BE=1∠ABC=90°， ∴.四边形BCDE为正方形， ∴.∠AED=90°， AD=VAE2+DE2=√5， .AD2+BD2=4=AB2, .AD⊥BD 平面ADP⊥平面ABCD, 平面ADPO平面ABCD=AD, BDC平面ABCD, ∴.BD⊥平面PAD, .·PDC平面PAD, .BD⊥PD PD⊥BC,BCBD=B,BC,BDC平面ABCD, .PD⊥平面ABCD 【小问2详解】 由(1)可知DA、DB、DP两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系 答案第4页，共7页 ZA aa以.4小w2aoa5ojc(990 PA=（N2,0,-1,PB=(0,V2,-1) 设平面PAB的一个法向量为方=(x,y,), i.PA=√2x-z=0 则 i.PB=√2y-z=01 令x=1,则z=V2,y=1, 元=(1,1,2)， :PD⊥BC,BC⊥CD,PDOCD=D,PD,CDC平面PCD, 所以BC⊥平面PCD, .BC= 2 2,0为平面PCD的一个法向量， 设平面PAB与平面PCD的夹角为O, √55 则 os0 2 cos(元，BC) 2 c 2×1 2 所以设平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为2 18. 答案第5页，共7页 (1)当a=0时，f)=2x-nx,求导得f(x)=2-1,则f0=1,而f0)=2, 所以所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. (2)函数f(x)=ax2-(a-2)x-lnx的定义域为(0，+o), 求导得f)=2ar-a-2)-1-(ax+12x-) 当a≥0时，由0，得0<x<分由f>0,得x> 1 函数f)在O,上单调递减，在（兮+w)上单调递增： 当2<a<0时，由/<0，得0<x<或x>名：由了>0，得<- 1 a a 品数在@时（合树）上单调藏，在兮-白上单调瑞指。 当a=-2时，∫)s0,且当x=】时取等号，函数fm在(0，+∞)上单调递减： 1 1 当a<2时，由/)<0，得0<x<或，由>0，得kx a a 国数/侧在@之号回上单调笔减在(。》上单调诺瑞， a 2 所以当a≥0时，画数了)在@，上单调递减，在（分+网上单调递增， 当-2<a0时，西数网在03.(。+树)止单调送减，在兮之上单调提增： 当a=-2时，函数f(x)在(0，+o)上单调递减： 当a2时，函数在0-之兮+)上单避减。在（片上单调送始 (3)由(2)知，当a=-2时，函数f(x)在(0，+0)上单调递减，则f(x)最多一个零点： 当-2<a<0时，在x号处取得极小值=0+1+h2>0,则fe最多一个要点： 当a<-2时，在=处取得极小值了(=1-合(-0小>0，则f最多一个零点： a a 当a≥0时，函数f)在(0，上单调递减，在（兮+四）上单调递增， fw=f兮=a+1+h2,要函数fe)有两个零点，则必有-a+1+hn2<0, 1 解得a>4+41n2,此时，当x从大于0的方向趋近于0时， 19【解析】(1)：e=c-1 ∴a=2g,b=V5c 答案第6页，共7页 设椭圆的标准方程为G+1,即4+32=12， 过点P(3,2), 36+12=12c2, .c2=4 :椭圆的标准方程为亡+上=1： 1216 (2)由题意可知直线1的斜率存在，且不过点P(3,2), 设直线1的方程为y=x+m(3k+m-2≠0)，A(G乃)，B(x2,2), y=kx+m 4r2+3=48消去y整理得(3：+42+6m+3m2-48=0, 由 X1+X2= 6km 3m2-48 32+4’,=32+4 △=4812k2+16-m2)>0, :a+k=当-2+当-2 =0 -3x2-3 :+m2+,+m22k+(34m21 x1-3 x2-3 330， 2k+(3k+m-2)+2-6 -3+)+g=0, 6km 将名+，=3+4'=32+4 _3m-48代入整理得k-23k+m-2)=0, k=2, 又因为△=48(64-m2)>0, 解得：-8<m<8, 三角形8的面积88网1片-小号，@8可， 令f0m)=(64-)8-m,-8<m<8, 导函数f6m)=-4(8-m2(4+m), 当x∈(-8，-4)，f'(m)>0,当x∈(-4,8)，f'(m)<0, 增区间为(-8，-4)，减区间为(-4,8)，.当m=4时，三角形M4B的面积取得最大值，最大 值为18. 答案第7页，共7页