广东揭阳市普宁市第一中学2026-2027学年第一学期高三第一次月考数学试卷

高三第一次月考参考答案 题号 2 5 6 8 9 10 11 答案 D B B D AD ACD ABD 12 (3,4] 13 4∞) 写m≥上不扣分 14.V2或2 15.(1)因为0s2A=2c0s2A-1=-7 所以os2A=L 16 因为4是锐角，所以c01>0:所以c0s4 4,1分 所以sin4=V-cos'a 15 (4 4…2分 a 因为a=bsin4所以由正弦定理sinsinB得sinB=1,…3分 又因为B∈(0，π，所以B= ,…4分 因为4+B+C=所以A+C=及 2 a+c sinA+sinC sinA+sin A=sinA+COs/4=V15+1 所以由正弦定理得bsiB 4;…6分 （2）曲余弦定理=分+c-2c0s4得20=5c2-c 解得C ,…7分 所 b=2c=2V5 ,8分 因为CD∥AB,所以∠CDA=∠BAD=∠CAD 所以CA=CD-=b=2V5 …10分 因为CD∥AB,所以∠ACD=元-A, inACD=sin(-)-sind=15 所以 4,…11分 所以MCD的面数Sm-号C4,CDn4CD=x25x2w5xE_5s 42.…13分 答案第1页，共4页 16.(1)设{an}的公差为d,由题知，a1=2,a4=a1+a3,即2+3d=2+2+2d,解 得d=2,…2分 所以a=a1+(n-1)d=2n…4分 设b.}的公比为g’则b=1,b=04=8,所以g=8,解得g=2，…6分 b 所以bn=b1q”-1=2”-1.…8分 (2)由(1)知a,=2n,bn=2-1, 所以8-220=+n,-号=2-1,2分 2 所以c=Sn+Tn=2”+n2+n-1,易知数列cn}是递增数列. 又因为c10=20+102+10-1=1133<2027,c1=21+112+11-1=2179>2027, 所以不存在n∈N口·，使得cn=2027,即2027不是数列{Cn}的项…15分 17.(1)法一：取BC中点F,连接EF,AF,1分 因为E是BC的中点，所以EF力BB且F-AB BB∥AAB,B=AA 由直三棱柱的性质知 日 244 所以EF∥AA且EF AA 又因为D是A的中点，所以BF∥DA且EF=DA, 所以四边形ADEF为平行四边形，4分 所以AF∥DE. 答案第2页，共4页 因为DE上平 BCC,B,BCC平面 BCCa,所DE LBC 结合AF∥DE,所以AF⊥BC,又因为F是BC的中点，所以AB=AC.6分 平面ABC AA⊥ 法二：由直三棱柱的性质知 平面1BC AB,ACC ,AA,⊥AB,AA⊥AC 因为 ,所以 又因为B1AC,所以 AB,AC,AA 两两垂直…1分 以A为坐标原点， AB,AC,A 所在直线分别为弘2 轴建立如图所示的空间直角坐标系0-z3分（文字说明1分，画对坐标系1分） AB=a,AC=b,AA=c 设 B(a,0,0),C(0,b,0),A(0,0,c）,B(a,0,c) 则 因为D,E分别为AA和B,C的中点，所以( 因为DE上平面 CC8,所以DE1BC。 又因为Bc=(←a,6.0),所以DE.BC=-g+b 220, 由a>0,b>0解得a=b,即AB=AC7分 (2)法一：在等腰直角△ABC中，因为AB=1,所以 C=2,AF=BC_ 22 由(1)知，DE⊥平面BCCB且 E=AF=V2 2 设B到平面BCD 的距离为“ d,A4=h>1 答案第3页，共4页 又因为三楼锥D-5C8的体积sa写SsDE=久 1 6 2,1,h2h d=h 所以由'g-D='n-c8,得6V2+4=6,解得√+2 2 d2h√2 因为直线B,C与平面BCD所成角的正弦值为3，所以B,C2+R3, 所以-3动+2=0，因为A>1,所以=2，即M的长为2 法二：因为a=b=1,所以由(1)知 c=(-lh,0).8D--H,08C=(-ll,-c 设平面BCD的一个法向量为” ,n=(x,y,z) n.BC=-x+y=0, 则a历5=0取x1则y=:子即-引0分 2 BC.n 设直线。。与平面。所成角为，则sin8= BC BCD 0 BC B 2 √2 。43 即2+2+2 ，化简得c2+4 D.E =5, :O(A) B C立 c=AA>1 因为 ,所以0=2，即1的长为2…15分 AA 18.1)f)=neP,求导可得f()=2 x,…2分（有写定义域给1分） 答案第4页，共4页 当0<x<1时，f代国)0.f(四单调递减，3分 当>1时，()>0，f儿因单调递增，4分 所以f因的极小省为0=0， ,无极大值…6分 (2因为re)-名，了付=1，所以y=问在点Pe了回)处的切线方程为-1-e. 即2-1，所似g创-名x-1,…7分 e 设()=)g)=-名x+1,求导可行)=2-召 e xe,…8分 设=子求号可得(-20 x2 2,…9分 当0<x<e时.()>0，单调道指。 当>e时，t()0,(单调道减。 所以（的极大值为⊙=0，即(）s0,(④在0，+)上单调道减， 因为(e)=0 …12分 所以当0<r<e时.小>he)=0,((-e)-[f-8(✉jx-e)≤0，…14分 当x>c时.hk(e)=0.x-c)=[f6)g(x-c)0,16分 综上所述，h(x-e)=[f)-g(x-e)s0 19.c)设E的焦距为2c,右顶点4(a,0),上顶点B(0,6） 由题意得 答案第5页，共4页 c=3 a 2 a2+b2=5 b2+c2=a23分 得a=2,b=1,c=3 x2 +y2=1 ∴.E的标准方程为4 .…4分 (2)由题意可得A(2,0),B(0,1),直线4B的方程为y=2+1,5分 ①当P的横坐标为1时， P 6分 B 由题意可知点P为线段M的中点， g2-5,】 7分 1 1 -025=知25-04-258分 k=- 2 1+1=-23+25-4）4 kk ;…9分 ②设M(,)N(西，），直线MN的方程为=x+m, y=x+m 由x2+4y2=4,得5x2+8mx+4m2-4=0,…11分 ,+:2=-8m 5 4m2-4,…12分 x2= 5 :P为线段B上的动点，P(2-2,)】 :0P=PW,(4-4-）,故0=4-4-y-) 答案第6页，共4页 ..B,O,N 三点共线，·B011m 又：歌=(G) :(-1)=(2-1(4-4y-x) 将片=+m乃=泻+m 代入上式并化简，得： 6x2+5(m-10(x+x3)+4(m-1°=0 6-95a--智}4a-旷-0，解得m=15分 即5 当m=1时，M(01),与点M在第一象限内牙盾，金去 8m8 当m=-1时，直线MN的方程为y=X-l+名=-5亏= 4m2-4-0 5 8 ”>x,x=55=0, y=x-1 又=*1，海》 1 844 g-gBC-。-.-0-氵3x -02 SNG4GG-x2-XG4-0 2- 45.…17分 3 3 答案第7页，共4页 答案第1页，共4页 普宁市第一中学2026-2027学年度第一学期 高三第一次月考数学试卷 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 ． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，则等于（    ） A. B. C. D. 2．已知（i为虚数单位），则（   ） A. B. 2 C. 4 D. 1 3． “且”是“”的 （    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．在平行四边形中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（   ） A. B. C. D. 6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（   ） A. B. C. D. 7. 已知函数有唯一零点，则（ ） A. B. C. D. 1 8．已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论不正确的有（ ） A. E的准线方程为 B. 若与E没有公共点，则 C. 若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D. 若，则面积的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项不正确的是（   ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 若，则的最小值为2 10．已知函数，则（    ） A. 有2个极值点 B. 有3个零点 C. D. 曲线在点处的切线过点 11． 9月21日普宁一中在多功能会议厅举行了班主任能力大赛，共有 位男教师， 位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件 表示“第一位出场的是男教师”，事件 表示“第二位出场的是男教师”，则（      ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的定义域是                                  13.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为            . 14．如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为                    米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分）记的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 16. (15分）已知等差数列 ，等比数列 满足 . （1）分别求数列 的通项公式； （2）记 分别是数列 的前 项和， ，判断2027是否是数列 中的项. 17． (15分）如图，在直三棱柱中，分别为和的中点， 平面. (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值 为，求的长. 18.(17分）已知函数，曲线在点处的切线方程为 （为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 19．(17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 第一次月考数学试题 第2页，共5页 第一次月考数学试题 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $