精品解析：安徽省泗县第三中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线相等 3. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A. B. C. D. 4. 若a为方程的解，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. －4 D. －12 5. 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 小明在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7. 安徽省某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着国务院《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》的推出及当地汽车购置税优惠政策，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加了22万辆，如果设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，那么可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（ ） A. 14 B. 20 C. 15 D. 10 10. 如图，E为正方形的边上一点，以为一边作正方形，连接，已知．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 把方程化为一般形式是__________． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 13. 武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，则这部分运动员有________人． 14. 一元二次方程的两个根分别为，，且． （1）若，则______； （2）若，，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程不含的一次项，求的值和方程的解； （2）当时，求方程的解． 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： （1）请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： （2）猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 20. 依托低纬度、高海拔、气候温润的生态优势，贵州的水果具有好口感、多品类的优势，颇具市场影响力．某水果种植户年种植枇杷亩，由于收益不错，每年都在扩大种植面积，到年已经种植了亩． （1）求种植枇杷亩数的年平均增长率； （2）某水果店以元/盒的价格购进该种枇杷进行销售，经市场调查发现，每天枇杷的销售量（单位：盒）与销售单价（单位：元/盒）之间满足一次函数关系．若每天销售利润为元，求此时的销售单价． 六、（本题满分12分） 21. 已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； （1）求证：四边形为矩形； （2）已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 七、（本题满分12分） 22. 已知关于的一元二次方程，其中为实数． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求另一个根； （3）若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 点E在菱形的边上，与相交于F． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，延长至G，使得，连接，求证：； （3）如图3，若E为的中点，点H为的中点，且，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、方程含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，是一元二次方程，符合题意； 、当是，方程为，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且平分，进行作答即可． 【详解】解：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等，是解题的关键． 3. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，， 可得． 4. 若a为方程的解，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. －4 D. －12 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程可得，再将其作为整体代入求值即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，即， 则 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． 5. 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 6. 小明在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设丢掉的常数项为，利用根的判别式求的取值范围，结合选项确定最大值． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为； ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 7. 安徽省某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着国务院《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》的推出及当地汽车购置税优惠政策，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加了22万辆，如果设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，那么可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 本题为增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量，据此即可得出方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设长方形的一边长为米，则长方形的另一边长为，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设长方形的一边长为米，则长方形的另一边长为米， 由题意得，， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（ ） A. 14 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先利用矩形的性质和折叠的性质，得出，进一步得出，再设，再根据勾股定理得出，，最后利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：四边形为矩形， ，，． 由折叠可知，，， ，． 又， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴． 10. 如图，E为正方形的边上一点，以为一边作正方形，连接，已知．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作交的延长线于，连接，则，证明得，求出得平分，则当时，取最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于，连接，则， ∵正方形，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ∴， 平分， ∴当时，取最小值，此时， ∴， ∴， ∵， ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 12. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形的面积求出对角线的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，在菱形中， ∴． 13. 武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，则这部分运动员有________人． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设运动员有x人，则每人赠送件纪念品，总纪念品数为，解此一元二次方程即可得到人数． 【详解】解：设运动员有x人， 根据题意得． 整理得． 因式分解得， 解得或（舍去）． 故答案为：12． 14. 一元二次方程的两个根分别为，，且． （1）若，则______； （2）若，，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据韦达定理可得，结合题意，即可求出的值； （2）根据韦达定理和 已知条件，即可求得，把代入原方程就转化成了只含有未知数和的方程，整理后即可求代数式的值 ． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两个根分别为，，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 把代入原方程得：， ∴， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】提公因式，根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，． 16. 如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】利用四边形性质得出，，结合题目条件通过证明，从而． 【详解】略． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程不含的一次项，求的值和方程的解； （2）当时，求方程的解． 【答案】（1），方程的解为， （2）方程的解为， 【解析】 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系得，，结合已知的，即可求得，的值，代入即可求得的值； （2）由根与系数的关系得，，对所求代数式先通分，再利用完全平方公式变形，代入所求代数式的值求解即可． 【小问1详解】 解：由根与系数的关系得，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 一元二次方程为， ，， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： （1）请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： （2）猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【答案】（1）菱形；矩形 （2）如图，四边形中，对角线相等且互相垂直． 【解析】 【分析】（1）矩形的中点四边形：顺次连接各边中点，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形； 菱形的中点四边形：顺次连接各边中点，根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形． 【小问1详解】 解：矩形的中点四边形：如图，矩形，顺次连接各边中点， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形； 菱形的中点四边形：如图，菱形，顺次连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：图略， 证明：顺次连接各边中点， 由三角形中位线定理可得，，，，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是正方形． 20. 依托低纬度、高海拔、气候温润的生态优势，贵州的水果具有好口感、多品类的优势，颇具市场影响力．某水果种植户年种植枇杷亩，由于收益不错，每年都在扩大种植面积，到年已经种植了亩． （1）求种植枇杷亩数的年平均增长率； （2）某水果店以元/盒的价格购进该种枇杷进行销售，经市场调查发现，每天枇杷的销售量（单位：盒）与销售单价（单位：元/盒）之间满足一次函数关系．若每天销售利润为元，求此时的销售单价． 【答案】（1）种植枇杷亩数的年平均增长率为． （2）此时销售单价为元/盒或元/盒． 【解析】 【分析】（1）利用平均增长率公式建立一元二次方程求解； （2）根据利润公式建立一元二次方程求解销售单价． 【小问1详解】 解：设种植枇杷亩数的年平均增长率为． 由题意，得， 解得，． 增长率大于， ， 答：种植枇杷亩数的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：由题意，得， ， 整理得， 解得，， 经检验，和均符合题意． 答：此时销售单价为元/盒或元/盒． 六、（本题满分12分） 21. 已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； （1）求证：四边形为矩形； （2）已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 已知关于的一元二次方程，其中为实数． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求另一个根； （3）若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； 【小问3详解】 解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． 八、（本题满分14分） 23. 点E在菱形的边上，与相交于F． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，延长至G，使得，连接，求证：； （3）如图3，若E为的中点，点H为的中点，且，连接，求证：． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵菱形， ∴， ∵E为的中点，， ∴，则 ∴ ∵H为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴ ， ∴， 在和中，∵，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角以及三角形的外角性质得到，然后根据菱形的性质得到，再由平行线的性质求解即可； （2）连接交于O，通过三角形中位线证明即可； （3）通过直角三角形斜边中线的性质以及菱形的性质证明，然后结合三角形的外角性质证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为菱形的对角线， ∴， ∴， 又∵菱形中， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $