精品解析：安徽省宿州市泗县第三中学2025-2026学年上学期第三次月考九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期第三次月考 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式是非负数且二次项系数不等于0求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得 且， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 3. 一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字，掷两次所得点数之和为11的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图求概率．可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为11的情况有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有36种等可能的结果数，其中掷两次所得的点数之和等于11的结果数为2，所以掷两次所得的点数之和等于11的概率为， 故选：A． 4. 若2a＝5b，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵2a＝5b， ∴b＝a， 把b＝a代入得=， 故选：B． 【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答． 5. 三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质计算即可得到答案． 【详解】解：以原点O为位似中心，把缩小为原来的，得到， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为或， 即点坐标为或， 故选B． 【点睛】本题考查的是位似图形，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点坐标的比等于或 ． 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） A. 4π B. 3π C. 2π+4 D. 3π+4 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2， 表面积有四个面组成：两个半圆，一个侧面，还有一个正方形. 故其表面积为： 故选D. 7. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF. 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， ∴， ∵DF=6， ∴AF=， ∴， ∴AE=5， ∴EF=AF-AE=8-5=3. 故选B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法. 8. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是个，即可列出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得： ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线（）上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，待定系数法求反比例函数解析式，由旋转可得，，，即得，进而得到，最后把代入反比例函数解析式即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在轴上，，点的坐标为， ∴，， 由旋转得，，，， ∴轴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∵点恰好落在双曲线上， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，点O是的对角线的交点，．的平分线交于点E，，连接，下列结论：①；②平分；③；④；⑤；其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，再求得，即，即可得到，由此可判断①； 根据，，可得，进而得出平分，由此可判断②； 依据中，，即可得到，由此可判断③； 先证明是的中位线，从而可得，，再利用三角函数得到，从而可求得，由此可判断④； 由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得； 证明，可求得，，从而可得，，即可得到，由此可判断⑤． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， 又， ∴，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴平分， 故②正确； 中，， ∴， 而， ∴， 故③错误； ∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ∴， 即是中点， 又为中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故④正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故⑤错误； ∴正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，等边三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质求解，与三角形中位线有关的求解问题，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 一个不透明袋子中装有2个红球和1个黑球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后，放回并摇匀，再随机摸出1个球，两次都摸出红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：红色小球用数字1、2表示，黑色小球用3表示，列表得： 1 2 3 1 2 3 由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4个， ∴两次都摸到红球的概率为， 故答案为：． 12. 已知是方程的两个根，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接, 作轴于, 轴于,则，根据题意求得,由，即可得出 ，解方程求得m的值，从而求得 ． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点, ∴关于原点对称， ， ， 设, ， ， ∴， ，即 ， 解得，（舍去） ， 故答案为:． 14. 如图，在中，，，，的顶点D在上运动，且，，F为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为_____ ；当时，线段的长为____________________ ． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】连接，利用相似进行转化，先得出是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值，再根据相似的判定和性质证明和，结合和勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得， ， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， 中，， ， 即， 是的中点， ， ， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ， ， ∴， 解得：， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算和勾股定理的应用等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 三、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项、然后再运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 所以． 16. 如图，四边形是矩形，的平分线交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质推知∠E＝∠1＝∠2，则BE＝BD，所以在直角△ABD中，利用勾股定理求得AB的长度即可． 【详解】解：如图，∵四边形是矩形， ∴．∴． 又∵的平分线交的延长线于点， ∴．∴．∴． ∵，∴． 在中，，， 则由勾股定理知，，即． 解得． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，此题难度不大，关键是推出等式BD＝BE＝10−AB． 四、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）以B为位似中心，在B的下方画出，使与位似且相似比为； （3）直接写出点和点的坐标，及的面积． 【答案】（1） 如图即为所求： （2） 如图即为所求； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意画关于y轴对称的即可求解； （2）在B的下方画出与位似且相似比为的位似图形即可； （3）根据（2）图即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据（2）图可得， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形、画位似图形，掌握相关知识并正确画出图形是解题的关键． 18. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可； （2）由（1）得，则得；再由可求得，；再由（1）中，即可求得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）有， 即， ∴， 则； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 即． 五、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 观察下列等式： ① ② ③ ④ （1）请按以上规律写出第⑥个等式：___________； （2）猜想并写出符合上述规律的第个等式：___________；并证明猜想的正确性． 【答案】（1）； （2）， 证明如下： ∵左边，右边， ∴左边右边， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查根据规律运算、完全平方公式应用、整式的混合运算法则等知识点，根据题干得到式子之间存在的规律是解题的关键． （1）根据题干规律直接写出答案即可； （2）找出分子两个数之间关系直接写出答案，利用完全平方公式以及整式的相关运算法则即可证明． 【小问1详解】 解：由题意可得，第⑥个等式为：． 故答案为：． 【小问2详解】 略 20. 如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影，蹲下来，则身影，已知小明的身高，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度． 【答案】路灯的高度为7.2m 【解析】 【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可． 【详解】如图，∵AD∥PH，∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC（M是AD的中点），∴AB：HB=AD：PH，AC：AM=HC：PH，即2.4：（2.4+AH）=1.6：PH，1.05：0.8=（1.05+HA）：PH，解得：AH=8.4，PH=7.2． 答：路灯的高度为7.2m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度． 六、（本题12分） 21. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分～91分、90分～81分、80分～71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是______人； （2）请补全条形统计图，由图可知的值为______； （3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，年级要求从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个男生的概率． 【答案】（1）500，210 （2）18 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． （1）用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以等级人数所占的百分比得到等级人数； （2）先用1分别减去、、等级的百分比得到等级所占的百分比，从而确定的值，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的2人中至少有1个男生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 (名)， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为级的学生人数为(名)； 故答案为：500，210； 【小问2详解】 等级人数所占的百分比为， 所以， 补全条形统计图为： 故答案为：18； 【小问3详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个男生的结果数为10种， 所以抽取的2人中至少有1个男生的概率． 七、（本题12分） 22. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 八、（本题14分） 23. 【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，根据，，得出即可； （2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出， 证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：过点C作，交于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同（2）可得， ∴， 在上取一点P使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第三次月考 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A. B. C. D. 1 3. 一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字，掷两次所得点数之和为11的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若2a＝5b，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） A. 4π B. 3π C. 2π+4 D. 3π+4 7. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线（）上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点O是的对角线的交点，．的平分线交于点E，，连接，下列结论：①；②平分；③；④；⑤；其中正确的个数有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 一个不透明袋子中装有2个红球和1个黑球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后，放回并摇匀，再随机摸出1个球，两次都摸出红球的概率是_____． 12. 已知是方程的两个根，则代数式的值是___________． 13. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为__________． 14. 如图，在中，，，，的顶点D在上运动，且，，F为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为_____ ；当时，线段的长为____________________ ． 三、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 解下列方程： （1） （2） 16. 如图，四边形是矩形，的平分线交的延长线于点，若，，求的长． 四、（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）以B为位似中心，在B的下方画出，使与位似且相似比为； （3）直接写出点和点的坐标，及的面积． 18. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 五、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 观察下列等式： ① ② ③ ④ （1）请按以上规律写出第⑥个等式：___________； （2）猜想并写出符合上述规律的第个等式：___________；并证明猜想的正确性． 20. 如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影，蹲下来，则身影，已知小明的身高，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度． 六、（本题12分） 21. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分～91分、90分～81分、80分～71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是______人； （2）请补全条形统计图，由图可知的值为______； （3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，年级要求从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个男生的概率． 七、（本题12分） 22. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 八、（本题14分） 23. 【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $