1.3 一元二次方程的根与系数的关系易错专题资料包2026-2027学年苏科版九年级上册

苏科版2024 · 一元二次方程的根与系数的关系 · 第1章 一元二次方程 1.3一元二次方程的根与系数的关系 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第1章 一元二次方程 第3课时 本专题精选一元二次方程根与系数关系的典型易错题，按错因重新分组而非按知识点罗列：每组先用一道精讲例题暴露错因，再配同错因的即时巩固题，边练边看清错在哪里；全部学完之后，文末另设综合检测题组统一检验掌握情况。 目录 易错点1：和积公式符号写错 易错点2：已知一根不会反求另一个根 易错点3：对称式不会变形求值 易错点4：见二次项不会降次代入 易错点5：求参数后漏验判别式 易错点6：附加条件不会转成和积 易错点7：多结论不会逐条验证 易错点8：含参综合不会分步拆解 易错点1：和积公式符号写错 学习目标 · 能准确写出两根之和与两根之积 · 能把方程先化为一般式 · 能检查系数符号是否弄反 纠错指引 用前先把方程化成 ax²+bx+c＝0（a≠0）的一般式，再套两根之和＝－b/a、两根之积＝c/a：和是「负的 b 除以 a」，最容易丢的就是这个负号；积是 c 除以 a，符号跟着 c 走。算完把两根之和与一次项系数对照一次：b 是正的，和就是负的，别让负号在抄写中溜走。 精讲例题 例题1．（2026春•宁国市期末）·【基础】已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝﹣1 B．mn＝1 C．mn＝﹣5 D．m+n＝5 【分析】依据题意，由方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根是m，n，从而，，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根是m，n， ∴，． 故选：D． 教学提示：把 x²-5x-1＝0 的 a、b、c 写在旁边再套公式，重点追问「－b/a」里的负号去哪了，四个选项正是为此设的陷阱。 易错倾向标签：易算错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把－b/a 的负号漏掉 · 把两根之和与两根之积弄混 即时巩固 即时巩固1．（2026春•台州期中）·【基础】设m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则mn的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【分析】利用两根之积等于，即可求出结论． 【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根， ∴mn＝﹣1． 故选：A． 教学提示：只问两根之积，直接写 c/a＝-1，不必求和；让学生口述「积的符号跟着常数项和 a 走」这一口诀。 即时巩固2．（2025秋•丹江口市期末）·【基础】方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【分析】依据题意，由方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x1x23，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1，x2， ∴x1x23． 故选：B． 教学提示：方程已是 x²+2x-3＝0，a＝1，先让学生说 c 是几、符号是什么再落笔，避免把 -3 抄成 3。 即时巩固3．（2025秋•沙依巴克区校级期中）·【基础】若m，n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则mn的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2 【分析】利用两根之积等于，即可求出结论． 【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根， ∴mn＝﹣3． 故选：A． 教学提示：只求 mn，用 c/a＝-3 一步到位；可追问「若问 m+n 答案是多少」，通过对比让学生分清和与积。 即时巩固4．（2026春•西湖区期末）·【基础】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．13 B．﹣13 C．3 D．﹣3 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入代数式计算． 【解答】解：由根与系数的关系得，，x1x2＝﹣8， ∴原式＝5﹣（﹣8）＝13． 故选：A． 教学提示：先算出两根之和＝5、两根之积＝-8 两个值再相减，提醒「减去一个负数等于加上它的相反数」，这一步最易丢分。 即时巩固5．（2025春•沙坪坝区校级作业）·【基础】若x1，x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝﹣5 B．x1+x2＝5 C． D．x1x2＝6 【分析】依据题意，由x1，x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则x1+x2＝5，x1x2＝﹣6，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵x1，x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根， ∴x1+x2＝5，x1x2＝﹣6． 故选：B． 教学提示：四个选项里同时出现和与积，先各算一遍再比对，提醒不要看到数字 5 就选，先分清问的是和还是积。 即时巩固6．（2025秋•龙湖区校级月考）·【基础】若x1，x2是一元二次方程x2+3x+2＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】依据题意得，x1+x2＝﹣3，x1x2＝2，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意得，x1+x2＝﹣3，x1x2＝2， ∴x1+x2+x1x2＝﹣3+2＝﹣1， 故选：D． 教学提示：两根之和＝-3、两根之积＝2，相加得 -1；强调「和为负、积为正」说明两根都是负数，可用来快速验算。 即时巩固7．（2025秋•上蔡县月考）·【基础】已知a，b是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则a+b的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据根与系数的关系即可得出a+b，此题得解． 【解答】解：∵a、b是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根， ∴a+b． 故选：B． 教学提示：a＝2 不是 1，两根之和是 -b/a＝3/2，专门练「a≠1 时别忘除以 a」这一环，可追问若 a＝1 答案是多少。 易错点2：已知一根不会反求另一个根 学习目标 · 能用两根之和或之积求另一个根 · 能由和积关系反求方程中的参数 纠错指引 已知一个根求另一个根，优先用和或积一步到位，不必先代入求参数再解方程：用和就写「已知根＋另一个根＝－b/a」，用积就写「已知根×另一个根＝c/a」，哪个里不含未知参数就用哪个。若题目还给两根的倍数、差这类关系，就把它与和、积联立成方程组。 精讲例题 例题2．（2025秋•湖南期末）·【基础】已知关于x的方程x2﹣2x+a＝0的一个根是3，则它的另一个根是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【分析】先把x＝3代入方程，求得a＝﹣3，再解方程即可． 【解答】解：由题意得，32﹣2×3+a＝0， ∴a＝﹣3， ∴x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x＝3或x＝﹣1， ∴另一个根是﹣1． 故选：A． 教学提示：已知一根 3，优先用两根之和 3+x₂＝2 直接求另一个根；不必先代入求 a 再解方程，对比两种做法体会繁简。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 拿到已知根先代入求参数绕远路 · 不知用两根之和直接求另一根 即时巩固 即时巩固8．（2025秋•鲁山县期末）·【基础】关于x的一元二次方程的一个根是3，则它的另一个根是（　　） A．﹣2 B．1 C． D． 【分析】依据题意，设另一个根是y，根据根与系数的关系作答即可． 【解答】解：由题意，设另一个根是y， ∵方程的一个根是3， ∴， ∴． 故选：C． 教学提示：方程是 5x²+(k/3+1)x-6＝0，用积 3×y＝c/a＝-6/5 直接得 y＝-2/5，强调常数项和 a 都要带着符号一起用。 即时巩固9．（2026•建邺区一模）·【基础】设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1x2+x1+x2+1＝0，则m的值是　 　 ． 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝m， ∵x1x2+x1+x2+1＝0， ∴m﹣4+1＝0． ∴m＝3． 故答案为：3． 教学提示：把两根之和＝-4、两根之积＝m 代入 x₁x₂+x₁+x₂+1＝0 得 m-4+1＝0；强调先写出和与积再整体代入。 即时巩固10．（2026春•岳麓区校级期末）·【基础】若x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根，则另一个根为　 　 ． 【分析】利用根与系数的关系求出两根之积，把已知根代入计算即可求出另一根． 【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根，设另一根为m， ∴2m＝6 ∴m＝3， 则另一根是x＝3． 故答案为：x＝3． 教学提示：已知一根 2、常数项 6，由 2m＝6 得 m＝3；提醒这类题用两根之积最快，不必先去求字母 a 的值。 即时巩固11．（2026•高邮市二模）·【基础】若x＝1是一元二次方程x2﹣x﹣3m2+m＝0的一个根，则方程的另一根为　 　 ． 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【解答】解：设方程另一个根为x＝t，根据题意得t+1＝1， ∴t＝0， 则方程的另一个根是0． 故答案为：0． 教学提示：x＝1 是一根，由两根之和＝1 得另一根为 0；可让学生把 0 代回原方程验算，确认结论没算错。 易错点3：对称式不会变形求值 学习目标 · 能把平方和化成和与积的形式 · 能把倒数和分式通分后再代入 纠错指引 凡遇到两根的平方和、倒数和、分式对称式，先用和与积表示：平方和＝（两根之和）²－2×两根之积；倒数和＝（两根之和）÷（两根之积）；分式先通分，分子往往又落回平方和。千万不要先解方程把两个根算出来再代，那样既慢又容易在无理数上算错。 精讲例题 例题3．（2025秋•邹平市校级月考）·【提升】设一元二次方程的两个根分别是x1，x2，则的值是（　　） A．6 B．16 C．26 D．36 【分析】依据题意得，，x1x2＝﹣5，则（x1+x2）2﹣2x1x2＝6﹣2×（﹣5）＝16，从而得解． 【解答】解：由题意，∵， ∴，x1x2＝﹣5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝6﹣2×（﹣5）＝16． 故选：B． 教学提示：先写出两根之和与两根之积，再把平方和化成（两根之和）²-2×两根之积；强调永远不要先解方程求根再代入。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 不会用完全平方公式变形 · 先求根再代入既慢又易错 即时巩固 即时巩固12．（2025秋•江阳区校级月考）·【基础】已知方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则的值为（　　） A．﹣8 B．20 C．8 D．﹣12 【分析】依据题意，由方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，结合x1x2（x1+x2），从而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣4． ∴x1x2（x1+x2）＝﹣4×2＝﹣8． 故选：A． 教学提示：平方项交叉相乘的和，提公因式后就是「两根之积×（两根之和）」；先提再代比直接代快得多，板书把提公因式一步放大。 即时巩固13．（2024秋•东胜区校级期末）·【基础】若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为：x1、x2，且，则p的值为（　　） A． B． C．﹣10 D．10 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【解答】解：由题意，∵x1，x2是方程x2+2x+p＝0的两根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，经检验符合题意． 故选：A． 教学提示：倒数和通分得（两根之和）÷（两根之积）＝-2/p，再由已知等于 5 解 p；提醒 p≠0 才有意义，需检验。 即时巩固14．（2025秋•闻喜县月考）·【基础】一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的解为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】通过一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝4，x1x2＝﹣3，将所求式子变形后整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣3＝0的解， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣3， ∴ ， 故选：B． 教学提示：分式型对称式通分后分子是平方和，要再用一次完全平方变形，属两步变形题，建议分两行写清每一步。 即时巩固15．（2026春•上城区期末）·【基础】已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n，且m2+n2＝6，则b＝　 　 ． 【分析】依据题意，由关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n，则m+n＝﹣b，mn＝1，且Δ＝b2﹣4＞0，故m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝b2﹣2＝6，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n， ∴m+n＝﹣b，mn＝1，且Δ＝b2﹣4＞0， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝b2﹣2＝6． ∴b＝±2，满足Δ＝b2﹣4＞0， 故答案为：±2． 教学提示：由两根平方和＝6 得 b²-2＝6，解得 b＝±2√2；务必回代检验判别式 b²-4>0 是否成立，别漏这一步。 即时巩固16．（2026春•瑶海区校级期中）·【提升】已知一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1、x2． （1）值为　 　 ； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：　 　 ． 【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2，x1x2的值，再根据完全平方公式对所求代数式进行变形，再将x1+x2，x1x2的值整体代入计算即可； （2）设符合条件的方程为x2+ax+b＝0，由根与系数的关系可得a，b的值，答案不唯一，也可以设二次项的系数为其他值，同样方法求解即可． 【解答】解：（1）∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣2＝0的两根， ∴，， ∴ ＝22﹣2×（﹣2） ＝4+4 ＝8． 故答案为：8； （2）由（1）可知，，， 设符合条件的方程为x2+ax+b＝0， ∴，， ∴a＝﹣8，b＝4， ∴符合条件的方程可以为x2﹣8x+4＝0（答案不唯一）． 故答案为：x2﹣8x+4＝0（答案不唯一）． 教学提示：第二问要以两个根的平方为新根，新方程的两根之和＝原平方和、两根之积＝（原两根之积）²，让学生自己说出新方程怎么写。 易错点4：见二次项不会降次代入 学习目标 · 能用根的定义把二次项降为一次 · 能把降次结果与两根之和合并 纠错指引 看到某个根的平方，不要急着去解方程求根：因为这个根满足原方程，可把它的平方换成一次式（如由 x₁²+3x₁－1＝0 得 x₁²+3x₁＝1），高次式就降成一次，再与两根之和整体代入。凡是「平方项＋另一个根」这类式子，都是先降次、后合和的两步走。 精讲例题 例题4．（2026春•宁国市期末）·【基础】已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则　 　 ． 【分析】依据题意，利用一元二次方程根的定义与一元二次方程根与系数的关系得到，x1+x2＝﹣3，再将所求式子变形，并代入计算即可得到结果． 【解答】解：由题意得，，x1+x2＝﹣3， ∴， ∴． 教学提示：由 x₁²+3x₁-1＝0 得 x₁²+3x₁＝1，原式拆成（x₁²+3x₁）+（x₁+x₂）；先拆后代是关键，板书要分步呈现。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 看到二次项就想先解方程求根 · 降次后忘了与两根之和合并 即时巩固 即时巩固17．（2026•靖江市一模）·【基础】设关于x的方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则代数式的值为　 　 ． 【分析】依据题意，由方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则，x1+x2＝2026，进而代入变形计算可以得解． 【解答】解：∵x1是方程x2﹣2026x﹣1＝0的根， ∴， ∴． ∴x1+1+x2＝（x1+x2）+1． ∵方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2， ∴x1+x2＝2026． ∴（x1+x2）+1＝2026+1＝2027． 故答案为：2027． 教学提示：由 x₁² 满足的方程得 x₁²＝2026x₁+1，代入后原式化为（两根之和）+1；数字越大越要先降次，别硬算。 即时巩固18．（2026春•莱山区期中）·【基础】如果m，n是一元二次方程x2﹣x＝5的两个实数根，那么多项式m2﹣mn+n+1的值是　 　 ． 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，对所求多项式进行整体代换计算，即可得到结果． 【解答】解：将x2﹣x＝5整理为x2﹣x﹣5＝0， 由题意可得：由一元二次方程解的定义得m2﹣m﹣5＝0，即m2＝m+5， 由根与系数的关系得，m+n＝1，mn＝﹣5， ∴m2﹣mn+n+1 ＝（m+5）﹣mn+n+1 ＝（m+n）﹣mn+6 ＝1﹣（﹣5）+6 ＝12． 故答案为：12． 教学提示：先化 x²-x＝5 为 x²-x-5＝0，再由 m²＝m+5 降次，最后用两根之和与两根之积代入，三步缺一不可。 即时巩固19．（2026春•芝罘区期中）·【基础】若方程x2﹣2x﹣2025＝0两根为x1，x2，则代数式的值等于　 　 ． 【分析】依据题意，由x2﹣2x﹣2025＝0两根为x1，x2，则2x1﹣2025＝0，x1+x2＝2，从而x1＝x1+2025，进而x1+x2+2025＝2+2025＝2027，即可得解． 【解答】解：由题意，∵x2﹣2x﹣2025＝0两根为x1，x2， ∴2x1﹣2025＝0，x1+x2＝2， ∴x1＝x1+2025， ∴x1+2025+x2， ＝x1+x2+2025 ＝2+2025 ＝2027． 故答案为：2027． 教学提示：由 x₁²-2x₁-2025＝0 得 x₁²-x₁＝x₁+2025，再与 x₂ 合并成（两根之和）+2025，提醒不必求 x₁ 的具体值。 即时巩固20．（2025秋•洪湖市期末）·【基础】若m，n是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n的值为　 　 ． 【分析】依据题意，由m，n是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根可得m2+2m﹣2025＝0，m+n＝﹣2，故m2＝﹣2m+2025，进而代入代数式m2+3m+n计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵m，n是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m2+2m﹣2025＝0，m+n＝﹣2． ∴m2＝﹣2m+2025． ∴m2+3m+n＝﹣2m+2025+3m+n ＝m+n+2025 ＝﹣2+2025 ＝2023． 故答案为：2023． 教学提示：由 m²+2m-2025＝0 得 m²＝-2m+2025，原式化为（两根之和）+2025；与前一题同型，可让学生独立复述步骤。 易错点5：求参数后漏验判别式 学习目标 · 能用判别式检验参数的取值 · 能排除使方程无实根的增解 纠错指引 凡是用韦达定理反求参数，求完必须补两步检验：一是判别式 Δ＝b²－4ac≥0（有实数根的前提），二是二次项系数 a≠0。两步筛完剩下的才是答案。题目要「两个不相等的实根」就用 Δ>0；若还要求两根为正，还要加上两根之和为正、两根之积为正。 精讲例题 例题5．（2026春•柯桥区期中）·【基础】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m＞3 C．3＜m≤5 D．m＞1 【分析】依据题意，由一元二次方程判别式与韦达定理，可得Δ≥0，进而列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，即可计算得解． 【解答】解：由题意得： ∴． ∴3＜m≤5． 故选：C． 教学提示：先由判别式 16-4(m-1)≥0 得 m≤5，再由 3×两根之积-两根之和>2 得 m>3；强调两个条件要取交集。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 只解不等式漏掉Δ≥0 · 忘了上界导致范围写宽 即时巩固 即时巩固21．（2025秋•东莞市校级月考）·【提升】在▱ABCD中，对角线AC，BD的长是关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0的两个根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．﹣1≤k＜0 C．k≤﹣1 D．﹣1＜k＜0 【分析】设一元二次方程kx2+2x﹣1＝0的两个根为x1，x2，由题意得，x1＞0，x2＞0，由根与系数的关系可得，，，解得k＜0，再利用一元二次方程根的判别式Δ≥0求出k的范围，即可得出答案． 【解答】解：由题意，设方程kx2+2x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1＞0，x2＞0，且k≠0． ∴，， ∴k＜0， ∵一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）≥0， ∴k≥﹣1， ∴﹣1≤k＜0． 故选：B． 教学提示：平行四边形对角线长为正，故两根均为正，需同时满足两根之和为正、两根之积为正、判别式≥0 与 k≠0，逐条列条件。 即时巩固22．（2026春•青羊区校级月考）·【基础】关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m＝　 　 ． 【分析】利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【解答】解：关于x的一元二次方程的两实根x1，x2满足x1+x2＝﹣2m+3，x1x2＝m2+1． ∵， ∴2． ∴2（x1+x2）＝x1x2， ∴2（﹣2m+3）＝m2+1， ∴m＝1或m＝﹣5． 由条件可知根的判别式Δ＝（2m﹣3）2﹣4（m2+1）＝﹣12m+5≥0， ∴m． ∴m＝﹣5， 故答案为：﹣5． 教学提示：由条件得 m＝1 或 -5，再由判别式 -12m+5≥0 筛出 m＝-5；专门讨论「为什么 1 要舍去」比直接给答案有效。 即时巩固23．（2026•兴化市二模）·【基础】若x1，x2是一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0的两个实数根，且满足x1+x2＝5，则m的值为　 　 ． 【分析】依据题意，由根与系数的关系可得x1+x2＝2m+1＝5，结合Δ＝（2m+1）2﹣4m＞0，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵x1，x2是一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2m+1＝5， ∴m＝2． 又∵Δ＝（2m+1）2﹣4m＝4m2+1＞0， ∴m＝2，符合题意． 故答案为：2． 教学提示：由两根之和＝2m+1＝5 得 m＝2，再验判别式 4m²+1>0；说明本题判别式恒正，但检验这一步仍不能省。 即时巩固24．（2026春•栖霞市期中）·【基础】已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1+x2＝7，则m的值为　 　 ． 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1﹣2m，进行求解即可． 【解答】解：由题意得，x1+x2＝1﹣2m＝7， ∴m＝﹣3， ∴原方程转化为x2﹣7x+9＝0， ∴Δ＝49﹣4×9＝13＞0，符合题意． 故答案为：﹣3． 教学提示：由 1-2m＝7 得 m＝-3，回代得 x²-7x+9＝0，验判别式＝13>0；训练「先求参数、后验判别式」的固定顺序。 即时巩固25．（2026春•亳州期末）·【提升】已知a，b是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣2时． （i）求a2+b2的值； （ii）求﹣3a2﹣a+b的值． 【分析】（1）由一元二次方程定义及根与判别式关系求解即可； （2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可． 【解答】解：（1） ∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，且m﹣1≠0， ∴m≤2且m≠1； （2）当m＝﹣2时，﹣3x2﹣2x+1＝0，整理得3x2+2x﹣1＝0， ∵a，b是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个实数根， ∴， ①； ②． 教学提示：第一问 m≤2 且 m≠1（二次项系数不为 0 别漏）；第二问代入 m＝-2 后先整理成 3x²+2x-1＝0 再用韦达定理。 易错点6：附加条件不会转成和积 学习目标 · 能把两根的倍数差关系列成方程 · 能识别同型方程构造出两个根 纠错指引 题目给出两根的额外关系（如一个比另一个大 2、一个是一个的 3 倍、两根互为相反数），就把它与两根之和、两根之积联立成方程组求解。若看到两个不同字母满足形状相同的方程（如 x²＝x+3、y²＝y+3 且 x≠y），说明它们就是同一个方程的两个根，可直接用韦达定理。 精讲例题 例题6．（2026春•青羊区校级月考）·【基础】已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根，其中b＝a+2，则k＝　 　 ． 【分析】依据题意，由一元二次方程x2﹣10x+k＝0的是两根a，b，则a+b＝10，结合b＝a+2，从而a+（a+2）＝10，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，对于一元二次方程x2﹣10x+k＝0的是两根a，b， ∴a+b＝10． ∵b＝a+2， ∴a+（a+2）＝10． ∴a＝4，则b＝4+2＝6． ∴k＝a•b＝4×6＝24． 故答案为：24． 教学提示：由两根之和＝10 与 b＝a+2 联立得 a＝4、b＝6，再求 k＝ab＝24；让学生说清「为什么必须先求出两个根」。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 看到两根之差不知联立两根之和 · 求出两根后忘了回代求参数 即时巩固 即时巩固26．（2025秋•路北区校级月考）·【提升】关于x的一元二次方程x2+（2﹣b）x﹣2＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．当b＝3时，x1＝1，x2＝2 B．若x1＝4为方程的一个根，则另一个根 C．存在实数b使方程无实数根 D．存在实数b使两根互为相反数 【分析】利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题意，∵Δ＝（2﹣b）2+8＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，故C错误； ∵当b＝3时，方程变形为x2﹣x﹣2＝0， ∴x＝2或﹣1，故A错误． ∵方程x2+（2﹣b）x﹣2＝0， ∴x1x2＝﹣2． ∴若x1＝4为方程的一个根，则另一个根x2，故B错误； 又∵若x1+x2＝b﹣2＝0， ∴当b＝2时，则两根互为相反数，故D正确． 故选：D． 教学提示：逐项判断——判别式＝(2-b)²+8>0 恒成立故 C 错；两根互为相反数即两根之和＝0，解得 b＝2，故 D 正确。 即时巩固27．（新教材同步题）·【基础】（1）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为　 　 ． （2）已知实数p，q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，求的值为　 　 ． 【分析】（1）由已知方程可知到m，n是方程x2﹣2ax+2＝0的两个根，再由韦达定理求出两根之后与两根之积，代入式子，最后化简成二次函数形式即可得出最小值； （2）分别求出一元二次方程p，q的解，即可得出p＝2q，代入式子即可得出答案． 【解答】解：（1）由已知可知，m，n是方程x2﹣2ax+2＝0的两个根， 由韦达定理得：m+n＝2a，mn＝2， ∵（m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2＝4a2﹣4﹣2×2a+2＝4， ∴在a≥2时，a＝2（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，最小值为43＝6， 故答案为：6； （2）由p2＝3p+2，整理得p2﹣3p﹣2＝0，解得：p， 由2q2＝3q+1，整理得2q2﹣3q﹣1＝0，解得：q， ∴p＝2q， ∴2， 故答案为：2． 教学提示：两个小题都要先认出「两个字母满足同型方程即同一方程的两根」，再用韦达定理化成关于参数的式子求最值或代数式的值。 即时巩固28．（2026春•拱墅区月考）·【基础】设x1，x2是方程x2﹣8x+m＝0的两个根，且x2＝3x1，求常数m的值． 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到x1+x2＝8，进而求得x1＝2，代入方程中求解即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣8x+m＝0的两个根是x1，x2， ∴x1+x2＝8， ∵x2＝3x1， ∴x1+3x1＝8， ∴x1＝2， ∴22﹣8×2+m＝0， ∴m＝12． 教学提示：由两根之和＝8 与 x₂＝3x₁ 联立得 x₁＝2，再代入方程求 m＝12；强调把倍数关系当成第二个方程来联立。 易错点7：多结论不会逐条验证 学习目标 · 能逐条判断多个结论的真假 · 能区分判别式与韦达定理的用法 纠错指引 多结论题不要凭感觉挑，逐条写出依据：涉及「有没有实根」用判别式 Δ＝b²－4ac；涉及「两根之和、之积」用韦达定理；涉及「某数是不是根」就把它代入方程看等号是否成立。每条都在草稿上留一句理由，最后再数正确结论的个数。 精讲例题 例题7．（2026春•瑶海区校级期中）·【提升】下列说法：①对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0也有两个不相等的实根；③若方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是m+1和﹣m﹣1；④已知两实数m，n满足m2+3m﹣9＝0，9n2﹣3n﹣1＝0，且，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据题意x＝1是原方程的解，则b2﹣4ac≥0； ②先求ax2+c＝0的根的判别式，再判断方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的正负； ③令t＝x﹣1，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0可化为at2+2at+c＝0，与原方程ax2+2ax+c＝0形式相同，再根据根与系数的关系进行判断即可； ④将9n2﹣3n﹣1＝0两边同除以﹣n2，得． 【解答】解：①由题意，当x＝1时，a+b+c＝0， ∴x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，方程有实数根， ∴b2﹣4ac≥0，故①正确； ②若ax2+c＝0有两个不相等的实根，则其判别式Δ＝02﹣4ac＝﹣4ac＞0， 对于方程ax2+bx+c＝0，其判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵b2≥0，﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实根，故②正确； ③令t＝x﹣1，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0可化为at2+2at+c＝0，与原方程ax2+2ax+c＝0形式相同， ∵原方程一个根为m，设另一根为n，原方程整理得， ∴m+n＝﹣2，即n＝﹣2﹣m， ∴t的根为m和﹣2﹣m， ∵x＝t+1， ∴两根为m+1和（﹣2﹣m）+1＝﹣m﹣1，故③正确； ④∵n≠0，9n2﹣3n﹣1＝0， ∴， ∵m2+3m﹣9＝0，且， ∴m和是方程x2+3x﹣9＝0的两根， ∴，即，故④正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 教学提示：四个结论分别用「x＝1 代入」「判别式的传递」「换元 t＝x-1」「构造同型方程」判断，逐条写出理由后再数正确个数。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 凭感觉挑结论不逐条验证 · 把判别式与韦达定理混用 即时巩固 即时巩固29．（2025秋•张家口校级月考）·【基础】关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x﹣6＝0中，k＜0，则该方程根的情况正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个负实数根 C．两根之和为1﹣k D．两根之积为6 【分析】先计算判别式判断根的情况，再根据根与系数的关系求两根之和与积，最后判断根的符号． 【解答】解：由题意得，Δ＝（k﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝（k﹣1）2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故A错误． 设两根为x1，x2， ∴，， ∵k＜0， ∴1﹣k＞0， ∴C正确，D错误． ∵x1x2＝﹣6＜0， ∴两根符号相反，不可能均为负，故B错误． 故选：C． 教学提示：判别式＝(k-1)²+24>0 恒成立故 A 错；两根之积＝-6<0 说明两根异号故 B 错；两根之和＝1-k 故 C 正确。 即时巩固30．（2026春•椒江区期中）·【提升】关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b+3＝0（a≠0）有两个相等的实数根x1＝x2＝k，则下列成立的是（　　） A．若0＜a＜3，则ka2＜kb2 B．若ka2＞kb2，则0＜a＜3 C．若﹣3＜a＜0，则ka2＜kb2 D．若ka2＞kb2，则﹣3＜a＜0 【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得出a，b之间的关系式，用b表示a之后，可解出方程的解，进而得出k的值，最后用作差法对ka2和kb2进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b+3＝0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（b+3）＝0， ∴a＝b+3，则b＝a﹣3 ∴原方程为ax2﹣2ax+a＝0， ∴x1＝x2＝1， ∴k＝1． ∴ka2﹣kb2＝（a+b）（a﹣b）＝3（2a﹣3）， ∴当0＜a＜3时， ﹣3＜2a﹣3＜3， ∴ka2与kb2的大小无法判断． 故A选项不符合题意； 当ka2＞kb2时， 3（2a﹣3）＞0， ∴a，故BD选项不符合题意； 当﹣3＜a＜0时， ﹣9＜2a﹣3＜﹣3＜0， ∴ka2﹣kb2＜0， 即ka2＜kb2． 故C选项符合题意． 故选：C． 教学提示：由判别式＝0 得 a＝b+3，原方程化为 ax²-2ax+a＝0 从而两根都是 1；再对 a 的正负分情况讨论大小关系。 即时巩固31．（2026春•上城区校级期中）·【提升】对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0； ②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立； ③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1； ④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． 其中正确是　 　 ． 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【解答】解：若方程的两个根是﹣1和2，则（﹣1）×2＝﹣2， ∴c＝2a， ∴2a﹣c＝0，故①正确； 若c是方程的一个根，则ac2﹣bc﹣c＝c（ac﹣b﹣1）＝0， ∴c＝0或ac﹣b﹣1＝0，故②错误； 若a+b﹣c＝0，则a×（﹣1）2﹣b×（﹣1）﹣c＝a+b﹣c＝0， 即ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）有一个根是x＝﹣1，故③正确； 若方程有一个根是x＝m（m≠0），则am2﹣bm﹣c＝0（a≠0）， 当时，， ∴若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0．一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 教学提示：第二条要分 c＝0 与 ac-b-1＝0 两种情况，不能只写后者；第四条把 x＝1/m 代入新方程验证即可。 易错点8：含参综合不会分步拆解 学习目标 · 能说出韦达定理的推导过程 · 能按小问顺序分步解含参问题 纠错指引 含参大题按小问顺序拆：先由 Δ≥0 与 a≠0 定参数的取值范围，再在该范围内用韦达定理求和与积，最后处理附加条件。证明韦达定理时从求根公式出发，把两根相加、相乘分别化简即可，注意 a≠0 的前提不能漏。 精讲例题 例题8．（2026春•寿县期末）·【基础】[回归教材]（1）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个实数解为x1，x2，则有x1+x2，x1•x2．这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．请你证明这个定理． [夯实基础]（2）若一元二次方程3x2﹣9x﹣8＝0的两个实数解为x1、x2，求39x2+5的值． [拓展应用]（3）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2+1＝0的两个实数解为x1、x2，求的最小值． 【分析】（1）先利用求根公式得出x1，x2，然后证明x1+x2，x1•x2即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系以及方程的解的概念即可求出答案； （3）根据根的判别式得出a，再根据一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个实数解为x1，x2， ∴x1，x2， ∴x1+x2， x1•x2•； （2）解：∵一元二次方程3x2﹣9x﹣8＝0的两个实数解为x1、x2， ∴39x1﹣8＝0，x1+x2＝3， ∴39x1+8， ∴39x2+5 ＝9x1+8+9x2+5 ＝9（x1+x2）+13 ＝9×3+13 ＝27+13 ＝40； （3）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2+1＝0的两个实数解为x1、x2， ∴Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4（a2+1）＝4a2+4a+1﹣4a2﹣4＝4a﹣3≥0， ∴a， 又∵x1+x2＝2a+1，x1•x2＝a2+1， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2 ＝（2a+1）2﹣2（a2+1） ＝4a2+4a+1﹣2a2﹣2 ＝2a2+4a﹣1 ＝2（a+1）2﹣3， ∵a， ∴当a时，有最小值，最小值为2×（1）2﹣3． 教学提示：第一问从求根公式出发把两根相加、相乘分别化简；第二、三问都要在「方程有实数根」的前提下使用韦达定理。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 证明韦达定理时漏写a≠0 · 应用时未先确定参数范围 即时巩固 即时巩固32．（2026春•包河区校级期中）·【提升】一元二次方程ax2+（b+3）x+9＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2且x1≠x2． （1）若此方程一个根为﹣1，则a﹣b＝　 　 ； （2）当x1＝1，x2＝﹣3时，求a，b的值； （3）若4ak＝b，时，求证：． 【分析】（1）依据题意，设x1＝﹣1，由x1+x2，x1x2，则﹣1+x2，﹣x2，从而﹣1，进而变形可以得解； （2）依据题意，由韦达定理得：，则，进而可以得解； （3）依据题意得，，则，从而，两边同除4得：，结合4ak＝b，进而，即． 【解答】（1）解：由题意，设x1＝﹣1， ∵x1+x2，x1x2， ∴﹣1+x2，﹣x2， ∴﹣1， ∴﹣a﹣9＝﹣b﹣3． ∴a﹣b＝﹣6． 故答案为：﹣6； （2）解：由韦达定理得：， ∴． ∴a，b的值分别为﹣3，﹣9； （3）证明：由韦达定理得：， ∴， ∴， 两边同除4得：， ∵4ak＝b， ∴，即． 教学提示：三小问依次用「根的定义」「韦达定理列方程组」「结合条件 4ak＝b 变形」；第三问要注意不等号的方向与字母范围。 即时巩固33．（2026•厦门模拟）·【提升】已知关于x的方程x2﹣（m+2n）x+2mn+p＝0，其中m＞0，n＞0． （1）当p＝0，m≠2n时，判断该方程根的情况，并说明理由； （2）在▱ABCD中，E是边AB上一点，连接DE，AC交于点F，AB＝m，BC＝n，AE的长是该方程的一个根，且2AE•BE＝n2，当时，确定点F在线段AC上的位置并说明理由． 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）根据根的判别式结合四等分点的定义即可求解． 【解答】解：（1）当p＝0时，方程可化为x2﹣（m+2n）x+2mn＝0， ∵对于任意实数m，n都有（m﹣2n）2≥0，且m≠2n， ∴Δ＝[﹣（m+2n）]2﹣4×2mn＝m2+4mn+4n2﹣8mn＝m2﹣4mn+4n2＝（m﹣2n）2＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）如图， 设AE＝t，则BE＝m﹣t（0＜t＜m）． ∵2AE•BE＝n2， ∴2t（m﹣t）＝n2，即2t2﹣2mt+n2＝0， ∴n2＝﹣2t2+2mt． ∵AE的长是方程x2﹣（m+2n）x+2mn+p＝0的一个根，且p， ∴． 将n2＝﹣2t2+2mt代入上述方程，得2t2﹣（2m+n）t+mn＝0． ∵Δ＝[﹣（2m+n）]2﹣4×2mn＝（2m﹣n）2≥0， ∴，t2m（不合题意，舍去）． 将t代入方程2t2﹣2mt+n2＝0， ∴2（）2﹣2m•n2＝0． ∴mn． ∴AEn，． 在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CDn， ∴∠EAF＝∠FCD，∠AEF＝∠CDF． ∴△AEF∽△CDF． ∴． ∴． ∴点F在AC靠近点A的四等分点上． 教学提示：第一问把判别式化成（m-2n）²>0；第二问把几何条件翻译成边长是方程的根，再结合已知积的关系求解。 【附录‑备用题库】 48．（2025秋•易县期末）·【基础】已知方程5x﹣1＝4x2，x1与x2是方程的两个根，则　 　 ． 49．（2025秋•仁寿县校级期末）·【提升】关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且，则m的值为　 　 ． 51．（2025秋•武汉期末）·【提升】关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 59．（2025秋•市北区期末）·【提升】（1）解方程：x（3x﹣2）＝4（2﹣3x）； （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． ①若方程总有两个实数根，则m的取值范围是　 　 ； ②若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 60．（2025秋•晋江市期末）·【提升】已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+nx+k﹣n＝0的两个实数根． （1）当n＝2时，求k的取值范围； （2）若，求k与n的函数关系式． 过关测试（综合检测） 1．（2025秋•桐柏县期中）·【基础】关于x的方程x2+2x+m＝0有两个根为x1、x2，则x1+x2＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】依据题意，由一元二次方程根与系数的关系，即“”直接计算两根之和即可． 【解答】解：由题意，根据根与系数的关系得， ∴． 故选：D． 教学提示：两根之和＝-b/a＝-2，让学生先圈出 b＝2，再带上负号；讨论「为什么答案不是 2」比直接讲评更有效。 2．（2026春•浙江期中）·【基础】关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则一次函数y＝bx+c的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出b，c的值，再结合一次函数图象的性质即可解决问题． 【解答】解：∵二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5， ∴﹣1+5＝﹣b，﹣1×5＝c， ∴b＝﹣4，c＝﹣5， ∴一次函数的解析式为y＝﹣4x﹣5． 函数图象如图所示， ∴一次函数y＝bx+c图象不经过第一象限． 故选：A． 教学提示：由两根 -1、5 得两根之和＝4＝-b、两根之积＝-5＝c，即 b＝-4、c＝-5，再判一次函数图象；提醒「-b 才是和」。 3．（2025秋•潮阳区期末）·【基础】若x1，x2是方程x2＝9的两根，则x1+x2的值是（　　） A．18 B．9 C．6 D．0 【分析】依据题意，由x1，x2是方程x2＝9的两根，则x1，x2是方程x2﹣9＝0的两根，从而可以得解． 【解答】解：由题意，∵x1，x2是方程x2＝9的两根， ∴x1，x2是方程x2﹣9＝0的两根． ∴x1+x2＝0． 故选：D． 教学提示：x²＝9 必须先化成 x²-9＝0 才能用韦达定理，否则会误以为一次项系数不存在、常数项是 9，属典型前提性错误。 4．（2025秋•郾城区校级月考）·【提升】已知一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝﹣1 C．x1，x2都是无理数 D．x1，x2都是正数 【分析】利用根与系数的关系可得出，x1x2，进而逐项判断可以得解． 【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴，x1x2， ∴A、B、D选项均错误，排除法选C， 故选：C． 教学提示：先算两根之和＝5/2>0、两根之积＝-1/2<0，据此排除 A、B、D；训练「不必求根也能判断」的思路。 5．（2025秋•济宁期末）·【提升】已知m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则m（1+n）﹣n2的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣9 D．9 【分析】依据题意，由m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，可得m+n＝﹣1，mn＝﹣4，n2+n﹣4＝0，进而代入m（1+n）﹣n2进行计算即可得解． 【解答】解：由题意，∵m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，n2+n﹣4＝0． ∵n2+n﹣4＝0， ∴n2＝﹣n+4． ∴m（1+n）﹣n2＝m+mn﹣n2＝m+n+mn﹣4． ∵m+n＝﹣1，mn＝﹣4， ∴m（1+n）﹣n2＝﹣1﹣4﹣4＝﹣9． 故选：C． 教学提示：由 n²+n-4＝0 得 n²＝-n+4，原式化为两根之和＋两根之积－4；提醒两个根角色不同，代入时不要互换。 6．（2026春•台江区校级期末）·【基础】已知m，n是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为　 　 ． 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n，mn，然后整体代入求解． 【解答】解：由条件可知m+n，mn， ∴m+n﹣mn（）＝1． 故答案为：1． 教学提示：两根之和＝-3/2、两根之积＝-5/2，代入时把两项的负号一起抄全，建议先写括号再填数，避免符号丢失。 7．（2026•丹阳市二模）·【基础】已知实数x、y满足x2＝x+3，y2＝y+3且x≠y，则x4+y4＝　 　 ． 【分析】依据题意，由实数x、y满足x2＝x+3，y2＝y+3且x≠y，则x，y可以看作方程z2﹣z﹣3＝0的两个实数根，从而x+y＝1，xy＝﹣3，可得x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝12﹣2×（﹣3）＝7，故x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2，最后代入计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵实数x、y满足x2＝x+3，y2＝y+3且x≠y， ∴x，y可以看作方程z2﹣z﹣3＝0的两个实数根， ∴x+y＝1，xy＝﹣3． ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝12﹣2×（﹣3）＝7． ∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2 ＝72﹣2×（﹣3）2 ＝49﹣18 ＝31． 故答案为：31． 教学提示：x≠y 且两者都满足同型方程，说明它们是同一方程的两个根；四次方的和要连续用两次完全平方公式降次。 8．（2026春•环翠区校级月考）·【基础】已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0的两个实数根x1，x2．满足x1x2＝16，则a的值为　 　 ． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，由x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，结合x1x2＝16，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4×1×（a2﹣a﹣2）＞0， ∴a＜3． ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2， ∴x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝16， 即[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16， 整理得：a2﹣5a﹣6＝0， 解得：a1＝﹣1，a2＝6（不合题意，舍去）． 故答案为：﹣1． 教学提示：式子化成（两根之和）²-3×两根之积，注意合并后是减 3 倍积而不是 2 倍；求出 a 后还要用判别式筛选。 9．（2026•海陵区一模）·【基础】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的两根，且x1+x2＝3x1x2，则k的值为　 　 ． 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3k，x1x2＝2，代入求值即可得解． 【解答】解：根据题意得：x1+x2＝3k，x1x2＝2， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴3k＝3×2， ∴k＝2． 故答案为：2． 教学提示：由两根之和＝3k、两根之积＝2 及条件 x₁+x₂＝3x₁x₂ 得 3k＝6；让学生说清「3k」里的 3 来自 3 倍的积。 10．（2026•尤溪县一模）·【基础】若a，b是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则（a2+3a﹣3）（b2+3b﹣3）的值为　 　 ． 【分析】依据题意，由a，b是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则a2+a﹣4＝0，b2+b﹣4＝0，a+b＝﹣1，ab＝﹣4，则（a2+3a﹣3）（b2+3b﹣3）＝4ab+2（a+b）+1，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵a，b是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣4＝0，b2+b﹣4＝0，a+b＝﹣1，ab＝﹣4． ∴（a2+3a﹣3）（b2+3b﹣3）＝（a2+a﹣4+2a+1）（b2+b﹣4+2b+1） ＝（2a+1）（2b+1） ＝4ab+2（a+b）+1． ∴（a2+3a﹣3）（b2+3b﹣3）＝4×（﹣4）+2×（﹣1）+1＝﹣16﹣2+1＝﹣17． 故答案为：﹣17． 教学提示：由根的定义把 a²+a-4＝0 变形为 a²+3a-3＝2a+1，同理处理 b，再整体相乘，训练整体代入的意识。 11．（2026•常州校级模拟）·【基础】若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0有一个根为﹣2，则另一个根为　 　 ． 【分析】依据题意，设原方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【解答】解：由题意，设一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的另一个根为t， ∴， ∴t＝3， ∴另一个根为3． 故答案为：3． 教学提示：一根为 -2，由 (-2)×t＝-6 得 t＝3；提醒两根之积为负说明两根异号，可作为快速检验的抓手。 12．（2026•雷州市模拟）·【提升】已知α是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2α2﹣2α+2026的值是　 　 ． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到α2﹣α＝1，再把2α2﹣2α+2026变形为2（α2﹣α）+2026，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴α2﹣α﹣1＝0， ∴α2﹣α＝1， ∴2α2﹣2α+2026＝2（α2﹣α）+2026＝2×1+2026＝2028． 故答案为：2028． 教学提示：α 满足 α²-α-1＝0 即 α²-α＝1，整体代入 2（α²-α）+2026；强调「不求 α 具体值」这一降次思想。 13．（2026春•海淀区校级期末）·【提升】若关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为正整数，求m的值． 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值． 【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）， ∴Δ＝（m2+2）2﹣4×m×2m＝m4﹣4m2+4＝（m2﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：由题意，∵mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）， ∴（mx﹣2）（x﹣m）＝0． ∴x或x＝m． ∵方程的两个根均为正整数，即为正整数，m为正整数， ∴m＝1或2． 教学提示：第一问把判别式化成（m²-2）²≥0 即可证明；第二问因式分解成 (mx-2)(x-m)＝0，由两根皆为正整数确定 m。 14．（2026•惠安县一模）·【提升】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若为整数，求整数m的值． 【分析】（1）依据题意，由方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，从而计算可以得解； （2）依据题意得，x1+x2＝4，x1x2＝﹣m，结合m均为整数，且﹣m﹣3≠0，即m≠﹣3，又由（1）知m＞﹣4，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0， ∴m＞﹣4； （2）由题意得，x1+x2＝4，x1x2＝﹣m， ∴ ∵m均为整数，且﹣m﹣3≠0，即m≠﹣3， ∴﹣m﹣3＝±1，±2． ∴m＝﹣2或﹣4或﹣1或﹣5． 又由（1）知m＞﹣4， ∴m＝﹣1或﹣2． 教学提示：第一问由判别式得 m>-4；第二问把分式通分化为 2/(-m-3)，再由「结果为整数」讨论 m，注意 m≠-3 这个分母限制。 苏科版2024 · 一元二次方程的根与系数的关系 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 一元二次方程的根与系数的关系 · 第1章 一元二次方程 1.3一元二次方程的根与系数的关系 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第1章 一元二次方程 第3课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题精选一元二次方程根与系数关系的典型易错题，按错因重新分组而非按知识点罗列：每组先用一道精讲例题暴露错因，再配同错因的即时巩固题，边练边看清错在哪里；全部学完之后，文末另设综合检测题组统一检验掌握情况。 目录 易错点1：和积公式符号写错 易错点2：已知一根不会反求另一个根 易错点3：对称式不会变形求值 易错点4：见二次项不会降次代入 易错点5：求参数后漏验判别式 易错点6：附加条件不会转成和积 易错点7：多结论不会逐条验证 易错点8：含参综合不会分步拆解 易错点1：和积公式符号写错 学习目标 · 能准确写出两根之和与两根之积 · 能把方程先化为一般式 · 能检查系数符号是否弄反 纠错指引 用前先把方程化成 ax²+bx+c＝0（a≠0）的一般式，再套两根之和＝－b/a、两根之积＝c/a：和是「负的 b 除以 a」，最容易丢的就是这个负号；积是 c 除以 a，符号跟着 c 走。算完把两根之和与一次项系数对照一次：b 是正的，和就是负的，别让负号在抄写中溜走。 精讲例题 例题1．（2026春•宁国市期末）·【基础】已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝﹣1 B．mn＝1 C．mn＝﹣5 D．m+n＝5 易错倾向标签：易算错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把－b/a 的负号漏掉 · 把两根之和与两根之积弄混 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2026春•台州期中）·【基础】设m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则mn的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 即时巩固2．（2025秋•丹江口市期末）·【基础】方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 即时巩固3．（2025秋•沙依巴克区校级期中）·【基础】若m，n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则mn的值是（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2 即时巩固4．（2026春•西湖区期末）·【基础】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．13 B．﹣13 C．3 D．﹣3 即时巩固5．（2025春•沙坪坝区校级作业）·【基础】若x1，x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝﹣5 B．x1+x2＝5 C． D．x1x2＝6 即时巩固6．（2025秋•龙湖区校级月考）·【基础】若x1，x2是一元二次方程x2+3x+2＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 即时巩固7．（2025秋•上蔡县月考）·【基础】已知a，b是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则a+b的值等于（　　） A． B． C． D． 易错点2：已知一根不会反求另一个根 学习目标 · 能用两根之和或之积求另一个根 · 能由和积关系反求方程中的参数 纠错指引 已知一个根求另一个根，优先用和或积一步到位，不必先代入求参数再解方程：用和就写「已知根＋另一个根＝－b/a」，用积就写「已知根×另一个根＝c/a」，哪个里不含未知参数就用哪个。若题目还给两根的倍数、差这类关系，就把它与和、积联立成方程组。 精讲例题 例题2．（2025秋•湖南期末）·【基础】已知关于x的方程x2﹣2x+a＝0的一个根是3，则它的另一个根是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 拿到已知根先代入求参数绕远路 · 不知用两根之和直接求另一根 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固8．（2025秋•鲁山县期末）·【基础】关于x的一元二次方程的一个根是3，则它的另一个根是（　　） A．﹣2 B．1 C． D． 即时巩固9．（2026•建邺区一模）·【基础】设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1x2+x1+x2+1＝0，则m的值是　 　 ． 即时巩固10．（2026春•岳麓区校级期末）·【基础】若x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根，则另一个根为　 　 ． 即时巩固11．（2026•高邮市二模）·【基础】若x＝1是一元二次方程x2﹣x﹣3m2+m＝0的一个根，则方程的另一根为　 　 ． 易错点3：对称式不会变形求值 学习目标 · 能把平方和化成和与积的形式 · 能把倒数和分式通分后再代入 纠错指引 凡遇到两根的平方和、倒数和、分式对称式，先用和与积表示：平方和＝（两根之和）²－2×两根之积；倒数和＝（两根之和）÷（两根之积）；分式先通分，分子往往又落回平方和。千万不要先解方程把两个根算出来再代，那样既慢又容易在无理数上算错。 精讲例题 例题3．（2025秋•邹平市校级月考）·【提升】设一元二次方程的两个根分别是x1，x2，则的值是（　　） A．6 B．16 C．26 D．36 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 不会用完全平方公式变形 · 先求根再代入既慢又易错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固12．（2025秋•江阳区校级月考）·【基础】已知方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则的值为（　　） A．﹣8 B．20 C．8 D．﹣12 即时巩固13．（2024秋•东胜区校级期末）·【基础】若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为：x1、x2，且，则p的值为（　　） A． B． C．﹣10 D．10 即时巩固14．（2025秋•闻喜县月考）·【基础】一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的解为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D． 即时巩固15．（2026春•上城区期末）·【基础】已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n，且m2+n2＝6，则b＝　 　 ． 即时巩固16．（2026春•瑶海区校级期中）·【提升】已知一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1、x2． （1）值为　 　 ； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：　 　 ． 易错点4：见二次项不会降次代入 学习目标 · 能用根的定义把二次项降为一次 · 能把降次结果与两根之和合并 纠错指引 看到某个根的平方，不要急着去解方程求根：因为这个根满足原方程，可把它的平方换成一次式（如由 x₁²+3x₁－1＝0 得 x₁²+3x₁＝1），高次式就降成一次，再与两根之和整体代入。凡是「平方项＋另一个根」这类式子，都是先降次、后合和的两步走。 精讲例题 例题4．（2026春•宁国市期末）·【基础】已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 看到二次项就想先解方程求根 · 降次后忘了与两根之和合并 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固17．（2026•靖江市一模）·【基础】设关于x的方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则代数式的值为　 　 ． 即时巩固18．（2026春•莱山区期中）·【基础】如果m，n是一元二次方程x2﹣x＝5的两个实数根，那么多项式m2﹣mn+n+1的值是　 　 ． 即时巩固19．（2026春•芝罘区期中）·【基础】若方程x2﹣2x﹣2025＝0两根为x1，x2，则代数式的值等于　 　 ． 即时巩固20．（2025秋•洪湖市期末）·【基础】若m，n是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n的值为　 　 ． 易错点5：求参数后漏验判别式 学习目标 · 能用判别式检验参数的取值 · 能排除使方程无实根的增解 纠错指引 凡是用韦达定理反求参数，求完必须补两步检验：一是判别式 Δ＝b²－4ac≥0（有实数根的前提），二是二次项系数 a≠0。两步筛完剩下的才是答案。题目要「两个不相等的实根」就用 Δ>0；若还要求两根为正，还要加上两根之和为正、两根之积为正。 精讲例题 例题5．（2026春•柯桥区期中）·【基础】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m＞3 C．3＜m≤5 D．m＞1 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 只解不等式漏掉Δ≥0 · 忘了上界导致范围写宽 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固21．（2025秋•东莞市校级月考）·【提升】在▱ABCD中，对角线AC，BD的长是关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0的两个根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．﹣1≤k＜0 C．k≤﹣1 D．﹣1＜k＜0 即时巩固22．（2026春•青羊区校级月考）·【基础】关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m＝　 　 ． 即时巩固23．（2026•兴化市二模）·【基础】若x1，x2是一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0的两个实数根，且满足x1+x2＝5，则m的值为　 　 ． 即时巩固24．（2026春•栖霞市期中）·【基础】已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1+x2＝7，则m的值为　 　 ． 即时巩固25．（2026春•亳州期末）·【提升】已知a，b是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣2时． （i）求a2+b2的值； （ii）求﹣3a2﹣a+b的值． 易错点6：附加条件不会转成和积 学习目标 · 能把两根的倍数差关系列成方程 · 能识别同型方程构造出两个根 纠错指引 题目给出两根的额外关系（如一个比另一个大 2、一个是一个的 3 倍、两根互为相反数），就把它与两根之和、两根之积联立成方程组求解。若看到两个不同字母满足形状相同的方程（如 x²＝x+3、y²＝y+3 且 x≠y），说明它们就是同一个方程的两个根，可直接用韦达定理。 精讲例题 例题6．（2026春•青羊区校级月考）·【基础】已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根，其中b＝a+2，则k＝　 　 ． 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 看到两根之差不知联立两根之和 · 求出两根后忘了回代求参数 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固26．（2025秋•路北区校级月考）·【提升】关于x的一元二次方程x2+（2﹣b）x﹣2＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．当b＝3时，x1＝1，x2＝2 B．若x1＝4为方程的一个根，则另一个根 C．存在实数b使方程无实数根 D．存在实数b使两根互为相反数 即时巩固27．（新教材同步题）·【基础】（1）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为　 　 ． （2）已知实数p，q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，求的值为　 　 ． 即时巩固28．（2026春•拱墅区月考）·【基础】设x1，x2是方程x2﹣8x+m＝0的两个根，且x2＝3x1，求常数m的值． 易错点7：多结论不会逐条验证 学习目标 · 能逐条判断多个结论的真假 · 能区分判别式与韦达定理的用法 纠错指引 多结论题不要凭感觉挑，逐条写出依据：涉及「有没有实根」用判别式 Δ＝b²－4ac；涉及「两根之和、之积」用韦达定理；涉及「某数是不是根」就把它代入方程看等号是否成立。每条都在草稿上留一句理由，最后再数正确结论的个数。 精讲例题 例题7．（2026春•瑶海区校级期中）·【提升】下列说法：①对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0也有两个不相等的实根；③若方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是m+1和﹣m﹣1；④已知两实数m，n满足m2+3m﹣9＝0，9n2﹣3n﹣1＝0，且，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 凭感觉挑结论不逐条验证 · 把判别式与韦达定理混用 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固29．（2025秋•张家口校级月考）·【基础】关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x﹣6＝0中，k＜0，则该方程根的情况正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个负实数根 C．两根之和为1﹣k D．两根之积为6 即时巩固30．（2026春•椒江区期中）·【提升】关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+b+3＝0（a≠0）有两个相等的实数根x1＝x2＝k，则下列成立的是（　　） A．若0＜a＜3，则ka2＜kb2 B．若ka2＞kb2，则0＜a＜3 C．若﹣3＜a＜0，则ka2＜kb2 D．若ka2＞kb2，则﹣3＜a＜0 即时巩固31．（2026春•上城区校级期中）·【提升】对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0； ②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立； ③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1； ④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． 其中正确是　 　 ． 易错点8：含参综合不会分步拆解 学习目标 · 能说出韦达定理的推导过程 · 能按小问顺序分步解含参问题 纠错指引 含参大题按小问顺序拆：先由 Δ≥0 与 a≠0 定参数的取值范围，再在该范围内用韦达定理求和与积，最后处理附加条件。证明韦达定理时从求根公式出发，把两根相加、相乘分别化简即可，注意 a≠0 的前提不能漏。 精讲例题 例题8．（2026春•寿县期末）·【基础】[回归教材]（1）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个实数解为x1，x2，则有x1+x2，x1•x2．这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”．请你证明这个定理． [夯实基础]（2）若一元二次方程3x2﹣9x﹣8＝0的两个实数解为x1、x2，求39x2+5的值． [拓展应用]（3）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2+1＝0的两个实数解为x1、x2，求的最小值． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 证明韦达定理时漏写a≠0 · 应用时未先确定参数范围 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固32．（2026春•包河区校级期中）·【提升】一元二次方程ax2+（b+3）x+9＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2且x1≠x2． （1）若此方程一个根为﹣1，则a﹣b＝　 　 ； （2）当x1＝1，x2＝﹣3时，求a，b的值； （3）若4ak＝b，时，求证：． 即时巩固33．（2026•厦门模拟）·【提升】已知关于x的方程x2﹣（m+2n）x+2mn+p＝0，其中m＞0，n＞0． （1）当p＝0，m≠2n时，判断该方程根的情况，并说明理由； （2）在▱ABCD中，E是边AB上一点，连接DE，AC交于点F，AB＝m，BC＝n，AE的长是该方程的一个根，且2AE•BE＝n2，当时，确定点F在线段AC上的位置并说明理由． 本专题错因自查清单 ☐ 和积公式符号写错 ☐ 已知一根不会反求另一个根 ☐ 对称式不会变形求值 ☐ 见二次项不会降次代入 ☐ 求参数后漏验判别式 ☐ 附加条件不会转成和积 ☐ 多结论不会逐条验证 ☐ 含参综合不会分步拆解 过关测试（综合检测） 1．（2025秋•桐柏县期中）·【基础】关于x的方程x2+2x+m＝0有两个根为x1、x2，则x1+x2＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 2．（2026春•浙江期中）·【基础】关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则一次函数y＝bx+c的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．（2025秋•潮阳区期末）·【基础】若x1，x2是方程x2＝9的两根，则x1+x2的值是（　　） A．18 B．9 C．6 D．0 4．（2025秋•郾城区校级月考）·【提升】已知一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝﹣1 C．x1，x2都是无理数 D．x1，x2都是正数 5．（2025秋•济宁期末）·【提升】已知m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则m（1+n）﹣n2的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣9 D．9 6．（2026春•台江区校级期末）·【基础】已知m，n是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为　 　 ． 7．（2026•丹阳市二模）·【基础】已知实数x、y满足x2＝x+3，y2＝y+3且x≠y，则x4+y4＝　 　 ． 8．（2026春•环翠区校级月考）·【基础】已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0的两个实数根x1，x2．满足x1x2＝16，则a的值为　 　 ． 9．（2026•海陵区一模）·【基础】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3kx+2＝0的两根，且x1+x2＝3x1x2，则k的值为　 　 ． 10．（2026•尤溪县一模）·【基础】若a，b是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则（a2+3a﹣3）（b2+3b﹣3）的值为　 　 ． 11．（2026•常州校级模拟）·【基础】若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0有一个根为﹣2，则另一个根为　 　 ． 12．（2026•雷州市模拟）·【提升】已知α是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2α2﹣2α+2026的值是　 　 ． 13．（2026春•海淀区校级期末）·【提升】若关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为正整数，求m的值． 14．（2026•惠安县一模）·【提升】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若为整数，求整数m的值． 苏科版2024 · 一元二次方程的根与系数的关系 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $