精品解析：江苏南通市东方中学2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

初二数学单元练习 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．请将正确答案填涂在答题卡上） 1. 下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等 3. 要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD=10，ED=5，则AB的长是（　　） A. 2.5 B. 10 C. 5 D. 以上都不对 4. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 7. 如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若，的周长为12，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 如图，在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A. B. 、 C. 、、 D. 、、 10. 如图，点分别在x轴，y轴的正半轴上．点在线段上，过A作分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段上任意一点（P不与A，E重合），连接，过E作，交的延长线于点G，交的延长线于点D．有以下结论①，②，③，④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（共8小题，第11~12题每小题3分，13~18题每小题4分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 12. 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”，需要添加的条件是_____． 13. 小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是______． 14. 如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长是______． 15. 课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则顶点的坐标为____________． 16. 中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是__________． 17. 如图，，，点E在边上，，若，则的面积为________． 18. 如图，在 中，，以 为边，作 ，满足 为 上一点，连接 ，连接 ，① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有__________． 三、解答题（共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 20. 如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论） 21. 某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度． 22. 如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AC∥DF． 23. 如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上． （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当，则的长度为　　． （3）猜想与的位置关系，并说明理由． 24. 如图，已知在△ABC中，AE平分△ABC的外角∠PAC，DE垂直平分BC，分别交BC，AC，AE于点D，F，E，分别过点E作EQAP，EHAC，垂足分别为Q，H． （1）求证：BQ＝CH； （2）若AQ＝4，BQ＝12，求AC的长． 25. 如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． （1）如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 26. （1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学单元练习 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．请将正确答案填涂在答题卡上） 1. 下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等边三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的概念及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键． 利用“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”解题即可． 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 3. 要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD=10，ED=5，则AB的长是（　　） A. 2.5 B. 10 C. 5 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】∵AB⊥BD，ED⊥AB， ∴∠ABC=∠EDC=90∘， 在△ABC和△EDC中, ， ∴△ABC≌△EDC(ASA)， ∴AB=ED=5. 故选C. 4. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 5. 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，结合作图得又因为，故，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得 ∵， ∴， ∴， 故选：A， 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点作于E点，于F点，则，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分． 【详解】解：如图，过点作于E点，于F点， ∵两把长方形直尺完全相同， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 7. 如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若，的周长为12，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段中点的定义可得，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为12，可得，从而求出的周长，即可解答． 【详解】∵点D是AC的中点， ∴， 由题意得： ED是AC的垂直平分线， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判断定理是解题的关键． 9. 如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A. B. 、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键． 分类讨论：①当在线段上，时，，②当在上，时，，③当在上，时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）， 综上所述的值为：4，12，16． 故选：D． 10. 如图，点分别在x轴，y轴的正半轴上．点在线段上，过A作分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段上任意一点（P不与A，E重合），连接，过E作，交的延长线于点G，交的延长线于点D．有以下结论①，②，③，④，其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，作轴于，于，首先证明四边形是正方形，再证明、、即可解决问题． 【详解】解：如图，作轴于，于， ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 同理可证， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 当为定值时，点是动点，故，故②错误； 综上所述，C． 二、填空题（共8小题，第11~12题每小题3分，13~18题每小题4分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据该规律即可得结果． 【详解】解：∵ 关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标变为的相反数， ∴所求对称点的坐标为． 12. 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”，需要添加的条件是_____． 【答案】AB=AC 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出∠BAD=∠CAD，根据SAS推出两三角形全等即可． 【详解】解：AB=AC， 理由是：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为AB=AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 13. 小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，根据在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒即可得到答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． 14. 如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：7． 15. 课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，则顶点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：作轴，轴，根据余角的性质可得，再证明，然后根据全等三角形的判定与性质得到、的长度，最后确定点的坐标即可． 【详解】解：如图：作轴，轴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 16. 中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过倍长中线构造全等三角形，将已知边和中线的倍放到同一个三角形中，利用三角形三边关系求解中线的取值范围． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，可得， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， 代入得， 化简得，即． 17. 如图，，，点E在边上，，若，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．过点E作于点D，设，则，证，并利用勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得，据此可得，，进而可求出答案 【详解】解：过点E作于点D，如图所示： 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵于点D， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4． 18. 如图，在 中，，以 为边，作 ，满足 为 上一点，连接 ，连接 ，① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】因为，且，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的；当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的；也可以通过线段的等量代换运算推导出③是正确的；设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故④是正确的． 【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，故①是正确的； 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故②是不正确的； ， ， ， ，故③是正确的， 设，则， ， ， ， ， ， ， ④是正确的； 故正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求． 三、解答题（共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求． （3）点E的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）结合全等三角形的判定确定点E的位置，即可得出答案． 【小问1详解】 解：点C与点关于y轴对称， 点C的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点，，均满足题意， 点E的坐标为或或． 20. 如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论） 【答案】见解析图 【解析】 【分析】分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线，两条线的交点即为所求． 【详解】如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等， 再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等， 此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P． 【点睛】本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用，理解它们的性质是解题关键． 21. 某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度． 【答案】52米 【解析】 【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD可以推出≌，从而得到，进而计算出即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又CD=12米，BD=64米， 米， 米， 答：该居民楼ED的高度为52米． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明≌是解题的关键． 22. 如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AC∥DF． 【答案】 (1)证明： 即： 在和中 (2)证明： 【解析】 【详解】试题分析： 由判定由得到进而证明 试题解析：略 略 23. 如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上． （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当，则的长度为　　． （3）猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） ，理由如下： ∴ 在与中 ． （2）8 （3） ，理由如下： 与相交于点，在与中 ． 【解析】 【分析】（1），，知，可证； （2）根据计算求解即可； （3）与相交于点，在与中，，，，进而可说明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 故答案为：8． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等．解题的关键在于证明三角形全等． 24. 如图，已知在△ABC中，AE平分△ABC的外角∠PAC，DE垂直平分BC，分别交BC，AC，AE于点D，F，E，分别过点E作EQAP，EHAC，垂足分别为Q，H． （1）求证：BQ＝CH； （2）若AQ＝4，BQ＝12，求AC的长． 【答案】（1） 证明：连接EB，EC，如图所示： ∵AE平分∠PAC，EQ⊥AP，EH⊥AC， ∴EQ＝EH， ∵DE垂直平分BC， ∴EB＝EC， ∵在Rt△BEQ和Rt△CEH中， ∴Rt△BEQ≌Rt△CEH（HL）， ∴BQ＝CH． （2）16 【解析】 【分析】（1）连接EB，EC，根据角平分线的性质得到EQ＝EH，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，即可利用HL判定Rt△BEQ≌Rt△CEH，根据全等三角形的性质即可得解； （2）结合（1），利用HL判定Rt△AEQ≌Rt△AEH，根据全等三角形的性质得到AQ＝AH，结合BQ＝CH，利用线段的和差即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵EQ⊥AP，EH⊥AC， ∴∠AQE＝∠AHE＝90°， ∵在Rt△AEQ和Rt△AEH中， ∴Rt△AEQ≌Rt△AEH（HL）， ∴AQ＝AH， 由（1）知BQ＝CH， ∴AC＝AH＋CH＝AQ＋BQ， ∵AQ＝4，BQ＝12， ∴AC＝16． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 25. 如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． （1）如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 又，， 平分， ； （3）式子的值不发生改变，值为4． 【解析】 【分析】（1）根据平方的非负性，求出点和点的坐标，再证明，得到，即可得到点P的坐标； （2）过点分别作、的垂线，垂足分别为、，根据多边形内角和得到，，进而证明，推出平分，即可证明结论； （3）连接，利用等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形斜边中线的性质，证明出，得到，进而得到，即可得解． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为， ， ， 点P的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：式子的值不发生改变， 如图，连接， ，，点D为的中点， ，，，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， 式子的值不发生改变，值为4． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 26. （1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 【答案】（1）； （2）证明：如图， ，，，， ，， 在和中， ， ； （3）如图所示；， 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）利用三角形的外角性质证明，，再利用即可证明； （3）在线段上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质结合三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）解：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $