精品解析：上海市华东模范中学2026-2027学年第一学期第一次月考高三数学

上海市华东模范中学2026-2027学年第一学期第一次月考 （2026.9.23） 高三数学 一、填空题（54分） 1. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，所以. 2. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式化为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果. 【详解】. 故答案为： 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于基础题. 3. 若事件A与B互斥，且，则______________． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】因为事件A与B互斥，且， 所以. 故答案为：. 4. 若函数是偶函数，则实数______． 【答案】1 【解析】 【分析】由函数是偶函数，利用求得，再验证即可得结果. 【详解】 是偶函数， ，即，解得， 当时，是偶函数，合题意，故答案为1. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 5. 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 4 【解析】 【详解】因为，所以，，满足基本不等式的正数要求. 根据基本不等式：对任意正实数，有， 令，，可得： . 将代入上式计算： ，当且仅当时等号成立， 联立，解得，，符合的条件， 故的最小值为. 6. 若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先设出指数函数的标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再将代入解析式计算结果. 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 7. 设，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解项的系数即可得到的值. 【详解】由二项式定理可得，，故. 8. 函数是奇函数，当时，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的定义求得，即可将代入题干中已知区间的解析式，由此求解即可. 【详解】由题意得，即， 进而，解得. 9. 一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】从个不同的球中一次性摸出个，不考虑取球顺序， 等可能基本事件的总数为 . 设事件为“摸出的两个球中没有红球”，则事件等价于从黄、蓝、绿个非红球中摸出个， 所以事件包含的基本事件数为 . 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率为. 10. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为和的图象有两个不同的交点，画出函数的图象，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有两个不同的零点，可得有两个不同的实数解， 即方程有两个不同的实数解， 即和的图象有两个不同的交点， 因为函数，画出函数的图象，如图所示， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 11. 关于的不等式在上有解，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用的取值范围可去掉绝对值化简式子，再分离参数，把不等式变形为，不等式在区间有解，只需函数的最小值小于等于，利用基本不等式求最小值，并验证等号可取. 【详解】当时，，则， ，则， 故原不等式可化简为，则， 令，则， 不等式在上有解， 可等价于在上有解， 即，使不等式成立，故 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以实数的范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查了不等式在某个区间有解求参数的取值范围，求解时可采用分离参数法，，等价于；同时考查了基本不等式在求最值中的应用，注意应用时验证等号成立的条件是否落在给定区间. 12. 如图所示，正方形是一块边长为5的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，设，将的面积表示成关于的函数，再利用导数求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系： 则, 则抛物线的对称轴为轴， 设抛物线方程为， 代入的坐标，得，解得， 所以抛物线方程为， 设， 则，， 即, 所以矩形的面积 ， 所以， 令，解得， 所以在 上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为， 所以当时，取最大值， 即当时，矩形的面积取最大值. 二、选择题（18分） 13. 已知，则是不等式有解的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数有解得到判别式大于0即可求得的值，再结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若不等式有解，则判别式，解得或， 充分性验证:若，则或必然成立，故充分性成立， 必要性验证:若或,取，则不成立，故必要性不成立， 综上，是不等式有解的充分不必要条件. 14. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 15. 设实数，则下列不等式中错误的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性依次进行判断即可 【详解】对于A，构造指数函数，因为，所以函数在上单调递减，因为，所以，故A正确. 对于B，构造幂函数，因为时，所以函数在上单调递增，因为，所以，故B正确. 对于C，构造对数函数，因为时，所以函数在上单调递减，因为，所以，故C正确. 对于D，当时，，此时，与选项矛盾，故D错误. 16. 已知函数，有下列四个命题，其中正确的个数是（ ） （1）有两个极值点 （2）直线是曲线的切线 （3）点是曲线的对称中心 （4）有三个零点 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，导数的几何意义，以及零点的存在性定理和函数的对称性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或； 令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以是的极大值点，是的极小值点，所以（1）正确； 令，即，可得，解得， 当时，可得，此时切线方程为，即， 当时，可得，此时切线方程为，即， 所以直线不是曲线的切线，所以（2）错误； 由，可得，则， 所以点是曲线的对称中心，所以（3）正确； 由（1）知是的极大值点，是的极小值点， 可得，， 且当时，；当时，， 所以函数只有一个零点，所以（4）不正确， 综上可得：（1）（3）是正确的. 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 已知函数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若方程有两个不同的正根，求实数的范围． 【答案】（1）当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数 （2） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性定义，分别检验与，计算得，只有时满足偶函数；奇函数不可能成立，故时为偶函数，时非奇非偶. （2）方程化为，有两个不同正根，需同时满足：判别式大于零、两根之和大于零、两根之积大于零，由韦达定理列三个不等式，解得实数的范围. 【小问1详解】 已知，定义域为，， 偶函数恒成立，代入得：， 化简得，该式要对所有实数恒成立，仅当时满足， 此时函数变为，符合偶函数定义； 奇函数恒成立，代入得：， 化简得，方程没有实数解，不可能对所有恒成立，因此不可能是奇函数， 综上：当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 由得，移项得： 方程有两个不同的正实根，则， 化简得，因式分解得，解得或， 且，解得，，解得， 综上，取交集得，即实数的取值范围是. 18. 已知：，垂直平面，，，为中点． （1）求直线与平面所成的角； （2）如图若平面平面，求证是的中点． 【答案】（1） （2）证明： ∵平面平面，平面平面，平面平面，∴， ∵在中，为中点，，∴为中点， ∵平面平面，平面平面，平面平面，∴， ∵在中，为中点，，∴为中点. 【解析】 【分析】（1）连接，根据线面角定义可知是直线与平面所成的角，再由已知条件计算即可； （2）根据面面平行的性质定理证得，，再根据三角形中位线定理即可证明. 【小问1详解】 连接，∵垂直平面，∴是直线与平面所成的角， ∵垂直平面，平面，∴， ∵，，，∴， 又为的中点，∴， 在直角中，，∴； 【小问2详解】 略 19. 已知函数（，） （1）若函数的图像经过点，解不等式； （2）若，，成等差数列，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求参数的值，然后利用对数函数的定义域以及单调性化简不等式求解； （2）利用代数变形将，，成等差数列转化为一元二次方程有正数解的问题，然后利用二次函数的实根分布求解参数范围即可. 【小问1详解】 将代入， 可得，解得.显然在定义域内单调减. 因为，所以不等式变为. 因为对数函数需保证真数大于0，所以. 所以需满足，解得或， 即原不等式的解集为. 【小问2详解】 ， 因为，，成等差数列， 所以， 代入可得， 为了保证式子有意义，必须满足. 又因为在定义域内单调， 所以在上述范围内需保证有解. 整理得有正数解. 根据一元二次函数的实根分布可得对称轴，且. 解得. 20. 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点，求的最小值； （3）若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 【答案】（1）焦点，准线 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由结合抛物线的定义求解即可. （2）设，则，得，这是关于的二次函数，对称轴，分与讨论最小值， （3）由在上，斜率为，故，设，与抛物线联立求弦长；由与距离，令求，再计算面积. 【小问1详解】 已知抛物线，则，所以， 焦点坐标为准线方程为 【小问2详解】 设在抛物线上，则，且，点， 则， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，对称轴，函数在上单调递增， 最小值在处取得，即； 当时，对称轴，最小值在处取得， 此时所以 综上，； 【小问3详解】 已知正方形中，在抛物线上，在直线上， 由得：，斜率为，所以的斜率为， 正方形中，因此的斜率也为， 设直线的方程为 与抛物线联立：， 设交点，，则, 所以， 又与平行，在直线上，两平行线之间的距离为， 正方形中与是对边，所以边长等于这个距离，即， 于是，两边乘以，得 平方得 所以， 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 所以正方形的面积为或. 21. 已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且；求实数的值； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用新定义代入绝对值函数，直接解不等式求解即可. （2）结合二次函数性质，由说明是函数最小值，进而求解参数即可. （3）将集合包含关系转化为函数单调性问题，即函数单调递增，再通过导数研究含参函数单调性求解参数范围即可. 【小问1详解】 由，得，根据定义得到， 解不等式，解得或，所以或. 【小问2详解】 由，得. 而等价于对任意，都有，即是二次函数的最小值点， 而二次函数对称轴为，因此，解得. 验证：当时，，， 可得恒成立，符合题意，故. 【小问3详解】 由题意得对任意，都有. 可转化为若，则必有， 得到该条件等价于函数在上单调递增， 令，则， 可得对恒成立. 若：当时，，不满足恒成立要求， 若：对任意恒成立，符合题意. 若，令，则. 令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 可得. 要求恒成立，即，得到， 化简得，因为，所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市华东模范中学2026-2027学年第一学期第一次月考 （2026.9.23） 高三数学 一、填空题（54分） 1. 已知集合，，则________． 2. 不等式的解集是________. 3. 若事件A与B互斥，且，则______________． 4. 若函数是偶函数，则实数______． 5. 已知，，且，则的最小值为________． 6. 若指数函数的图象经过点，则______． 7. 设，则________． 8. 函数是奇函数，当时，，若，则________． 9. 一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 10. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______． 11. 关于的不等式在上有解，则实数的范围是______． 12. 如图所示，正方形是一块边长为5的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为________． 二、选择题（18分） 13. 已知，则是不等式有解的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 14. 幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3 15. 设实数，则下列不等式中错误的一个是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，有下列四个命题，其中正确的个数是（ ） （1）有两个极值点 （2）直线是曲线的切线 （3）点是曲线的对称中心 （4）有三个零点 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 已知函数 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若方程有两个不同的正根，求实数的范围． 18. 已知：，垂直平面，，，为中点． （1）求直线与平面所成的角； （2）如图若平面平面，求证是的中点． 19. 已知函数（，） （1）若函数的图像经过点，解不等式； （2）若，，成等差数列，求实数的范围． 20. 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点，求的最小值； （3）若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 21. 已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1）若，求； （2）若，且；求实数的值； （3）若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $