上海市新中高级中学2023-2024学年高三上学期10月阶段检测数学试卷

新中高级中学2023学年第一学期高三阶段检测数学试题 一、填空题：（本大题共有12个小题，其中1到6每小题4分，7到12每小题5分，总分54分） 1．已知集合，，且，则实数a的值是__________． 2．设集合，，则，则实数a的取值范围为__________． 3．已知方程的两个根为、，则=__________． 4．函数的严格增区间是__________． 5．点,都在同一个对数函数上，则t=__________． 6．已知常数，若函数为偶函数，则=_______． 7．陈述句“或”的否定形式为______________________________． 8．已知x，y为正实数，，则的最小值是__________． 9．已知函数，若对任意实数，关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围为__________． 10．定义在实数集R上的函数满足，，且当时，，则满足的取值范围为__________． 11．已知函数其中[x]表示不超过x的最大整数，（如,）．若函数与函数的图像恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围__________． 12．已知定义域为[0,1]的函数同时满足： ①对于任意的，总有； ②若,,，则有． 以下命题中正确的命题的序号为__________．（请写出所有正确的命题的序号） （1）；（2）函数的最大值为1； （3）函数对一切实数x，都有． 二、选择题：（本大题共有4个小题，其中13和14每小题4分，15和16每小题5分，总分18分） 13．已知a、b、c都是实数，则“”是“”的（ ） A．充分非必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 14．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（ ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 15．已知函数．若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D．． 16．设集合，我们用表示集合S的所有元素之和，用表示集合S的所有元素之积，例如：若，则；若，则，．那么下列说法正确的是（ ） A．若，对S的所有非空子集，的和为320； B．若，对S的所有非空子集，的和为640； C．若，对S的所有非空子集，的和为1； D．若，对S的所有非空子集，的和为0． 二、解答题：（本大题共有5个题，总分78分） 17．（本题满分14分） 设．证明：若是偶数，则n也是偶数． 18．（本题满分14分，本大题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分） 设全集，． （1）若，求,； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．（本题满分14分，本大题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场． （1）如图a所示，射线、为海岸线，，用长度为的围网依托海岸线围成一个的养殖场，问如何选取点P、Q，才能使养殖场的面积最大，并求最大面积． （2）如图b所示，直线l为海岸线，现用长度为的围网依托海岸线围成一个养殖场． 方案一：围成三角形（点A、B在直线l上），使三角形面积最大，设其为； 方案二：围成弓形（点D、E在直线l上，C是优弧DE所在圆的圆心且），面积为． 试求出的最大值和（均精确到），并指出哪一种设计方案更好． 20．（本题满分18分，本大题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分） 已知奇函数． （1）求实数m的值； （2）判断并证明在区间上的单调性； （3）设，对于任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 21．（本题满分18分，本大题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分） 对于集合D上的任意两相异实数、，若恒成立，则称在D上优于，若恒成立，则称在D上严格优于． （1）设在R上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性； （2）若在R上严格优于，，是R上的严格增函数，求证：在R上也是严格增函数． （3）设,，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数t的最大值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$