精品解析：上海市松江二中2026-2027学年第一学期9月学情调研高三数学试题

松江二中 2026 学年第一学期 9 月学情调研 高三 数学 2026.9 一、填空题 （本大题共有 12 题， 第 1-6 题每题 4 分， 第 7-12 题每题 5 分， 共 54 分）考生应在答题纸的 相应位置直接填写结果. 1. 已知集合 ，，则__________． 2. 平面向量，则___________． 3. 展开式中的常数项为__________． 4. 中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 5. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则 ________． 6. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答） 7. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 8. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 9. 设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点， 且 时，则 _____. 11. 如图， 是款户外露营 “遮阳神器” 的平面结构示意图， 它由三叉形的支架 和覆盖在支架上的遮阳布 组成. 已知 ，且 ；当遮阳效果最好 （即 的面积最大）时， _____. 12. 已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为___________. 二、单选题 （本大题共有 4 题， 第 13、 14 题每题 4 分， 第 15、 16 题每题 5 分， 共 18 分）每题有且只有一个正确答案， 考生应在答题纸的相应位置上， 将所选答案的代号涂黑. 13. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 14. 如果A与B是独立事件，与分别是A与B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 15. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 设各项均为实数的等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，对于方程① ，② ，③ .下列判断正确的是 （ ） A. 若①有实根，②有实根，则③有实根； B. 若①有实根，②无实根，则③有实根； C. 若①无实根，②有实根，则③无实根 D. 若①无实根，②无实根，则③无实根 三、解答题 （本大题共有 5 题， 满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 是正方形， . （1）求证:平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角的大小. 18. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）若，求函数的最小值. 20. 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若，求直线的方程； （3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江二中 2026 学年第一学期 9 月学情调研 高三 数学 2026.9 一、填空题 （本大题共有 12 题， 第 1-6 题每题 4 分， 第 7-12 题每题 5 分， 共 54 分）考生应在答题纸的 相应位置直接填写结果. 1. 已知集合 ，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 2. 平面向量，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的坐标，利用平面向量模长的坐标运算公式计算即可.  【详解】由题意得， 所以. 3. 展开式中的常数项为__________． 【答案】 【解析】 【详解】，令，得， ∴常数项为． 4. 中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得解. 【详解】已知，可得， 根据余弦定理， 将，，代入上式：， 化简得：，，解得：(边长为正，舍去负根). 5. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求得，再由求得答案. 【详解】显然，由得 即，得，所以. 故答案为：8 6. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可. 【详解】第一步选2个空给两个1有种选法， 第二步选剩下的3个空给两个3有种选法， 最后剩一个空排5即可， 根据分步乘法计数原理有种排法， 故答案为：. 7. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数. 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. 8. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 9. 设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式. 【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为, 所以,即, 所以,此时, 因为对称轴为, 故有:, 即, 因为, 所以, 故. 故答案为: 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点， 且 时，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，分析可知四边形为平行四边形，可得出，，利用椭圆的定义结合余弦定理可求得的值，即为所求. 【详解】在椭圆中，，，则，即、， 因为椭圆和直线都关于原点对称，易知点、也关于原点对称， 即点为线段、的中点，所以四边形为平行四边形， 所以，， 由椭圆定义可得， 由余弦定理可得， 即，解得， 故. 11. 如图， 是款户外露营 “遮阳神器” 的平面结构示意图， 它由三叉形的支架 和覆盖在支架上的遮阳布 组成. 已知 ，且 ；当遮阳效果最好 （即 的面积最大）时， _____. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用建立面积关于的函数，通过求导求得最大值时的，进而求得. 【详解】设，其中 ， 因为，，，所以 ，故，， 所以的面积， 令，因为 ，所以 ， 设， 求导得， 令，化简得 ， 解得或（舍去）， 在内，当 时，，函数单调递增； 当 时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值， 此时. 12. 已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为、、满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以、、一定各包含4个不同数值， 根据题意、、的最小元素必有，最大元素必有， 要使最小，则、、中最小元素分别为，而除外的另两个最大元素要尽量小， 如的最小元素为，最大元素为，此时要使、中最大元素尽可能小， 则，必属于，此时还剩下的最大数为， 则必为、中的最大元素，不妨令，要使中最大元素尽可能小， 则、必属于，此时还剩下的最大数为，即中最大元素为， 如，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 此时最小，最小值为； 同理，当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的积为. 故答案为：. 二、单选题 （本大题共有 4 题， 第 13、 14 题每题 4 分， 第 15、 16 题每题 5 分， 共 18 分）每题有且只有一个正确答案， 考生应在答题纸的相应位置上， 将所选答案的代号涂黑. 13. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题，，，则. 14. 如果A与B是独立事件，与分别是A与B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式判断． 【详解】A与B是独立事件，则与也是独立事件，与，与也是独立事件， 所以，， 由，则不一定成立， 故选：D． 15. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用三次多项式的因式分解性质说明必要性成立，从而得解. 【详解】设命题为“存在实数，使得既是的零点又是驻点”(即且)，命题为“恰好有两个零点”. 若成立，当时，， 则，满足且， 所以既是的零点又是驻点，但是只有一个零点，所以， 若成立，即恰好有两个不同的实零点，则根据三次多项式的因式分解性质可得： ，其中为函数的两个不同零点， 此时满足且，故成立，即. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 16. 设各项均为实数的等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，对于方程① ，② ，③ .下列判断正确的是 （ ） A. 若①有实根，②有实根，则③有实根； B. 若①有实根，②无实根，则③有实根； C. 若①无实根，②有实根，则③无实根 D. 若①无实根，②无实根，则③无实根 【答案】B 【解析】 【分析】先借助等差数列奇数项求和公式化简方程①的判别式，得到中间项满足； 再把方程②、③的判别式相加，结合均值不等式放缩，推出①有实根时两个判别式相加结果一定非负，二者不可能同时小于0. 【详解】设各项均为实数的等差数列和的前项和分别为和， 对于方程①，②，③. （1）若①有实根，由题意得：，其中，， 代入上式得，设方程与方程的判别式分别为和， 则，等号成立的条件是. 又， 如果②有实根，则，则或者，所以③有实根或者没有实根，如 ，，，，满足，. 但是，所以③没有实根，所以A不符合题意； 如果②没实根，则，则，所以③有实根，所以B符合题意； （2）若①无实根，则，②有实根，则， 设，，，所以，， 此时，则③有实根，所以C不符合题意； 若①无实根，则，②无实根，则， 设，，，，所以，， 此时，则③有实根，所以D不符合题意. 三、解答题 （本大题共有 5 题， 满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 是正方形， . （1）求证:平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角的大小. 【答案】（1）证明：底面，平面，. 底面是正方形，. 又，平面， 平面. 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直底面得，正方形对角线，证出平面，再由面面垂直判定定理证明. （2）利用第一问的面面垂直，作垂线找到线面角，解三角形算出角度. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设，设交于点. 由 （1），平面平面，交线为. 过作于，则平面，就是与平面所成角. ，，. . ，因为线面角范围，直线与平面所成角为. 18. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【答案】（1）80m （2） 【解析】 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； 【小问2详解】 由，故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 19. 已知函数. （1）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）若，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由参变量分离可得，令，则，结合二次函数的基本性质求解即可； （2）令，可得，求得，令，化简得出，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的最小值的表达式，即为所求. 【小问1详解】 若存在，使得，可得， 令，则， 令，其中， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，故实数的取值范围是. 【小问2详解】 ， 令，则， 故， 因为函数、在上均为增函数， 故在上为增函数， 当时，， 设，其中， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增，此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时. 综上，. 20. 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若，求直线的方程； （3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解； （2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解； (3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解. 【小问1详解】 由得，所以焦距，离心率 . 【小问2详解】 ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. 【小问3详解】 ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程， 利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题. 21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． （1）判断是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 【答案】（1） 记， 显然，则其是偶函数. 当时，，故， 所以对恒成立，具有性质. （2） （3） 对任意及， 都有， 即对任意都有. 假设存在使得不具有性质， 则存在使得. 若，则. 当时，则在中取， 对任意有， 于是， 即. 而当时，， 故有，矛盾. 当时，记，则， 由得，得， 故. 与当时同理可得矛盾. 若，则，与时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. 【解析】 【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出时，即可； （2）求导得，得到其单调性，再对分和以及讨论即可； （3）根据定义知，再利用反证法即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时严格单调递增， 当时严格单调递减. 若，则，函数在上严格单调递增，恒成立， 此时函数具有性质. 若，则函数在上严格单调递减， ， 故函数不具有性质. 若，则函数在上严格单调递增， “对恒成立”等价于“对恒成立”， 而在上严格单调递减，在上严格单调递增， 故，即， 即. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用反证法得到与定义像矛盾的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $