专题11 弧长和扇形的面积（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以十大题型为框架，系统整合弧长与扇形面积的公式应用、动态问题及综合计算，提炼可迁移的解题方法，构建从基础到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弧长计算|4（1典3变）|公式直接应用、方程法求量、组合周长模型、动态最值分析|从公式直接代入到含动点/旋转的复杂路径计算，层层递进| |扇形面积|6（1典3变×2）|面积公式选优、方程求参数、规则阴影和差法、不规则阴影割补转化、旋转扫过面积计算|从基础面积公式到不规则图形转化，结合几何直观与推理能力|

专题11 弧长和扇形面积十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用公式求弧长 题型02 列方程求圆心角或半径 题型03 利用弧长公式求周长 题型04 利用弧长公式求最值 题型05求某点的弧形运动路径长度 题型06利用公式求扇形面积 题型07 列方程求扇形圆心角或半径 题型08 计算规则图形的阴影部分的面积 题型09 计算不规则图形的阴影部分的面积 题型10 求旋转过程中扫过的面积 ▌题型01 利用公式求弧长 1. 弧长公式： ：圆心角度数，：圆的半径，：弧长。 2. 使用前提：带入的是角度制，不带单位。 3. 解题思路：已知圆心角、半径，直接代入公式计算弧长。 4. 提示：看清是弧长，不是弦长；区分弧长与圆周长 。 【典例1】一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧ABC的长度为（　　） A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．30πcm 【答案】D． 【分析】根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：优弧ABC的长度为30π， 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【变式1-1】（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 【变式1-2】如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由圆内接四边形的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，最后由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点D作于点H． 为的切线， ． 又 平分， ． 是的切线． (2) 【分析】（1）过点D作于点H，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）先由三角形外角的性质求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 平分，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题关键． ▌题型02 列方程求圆心角或半径 1. 弧长公式变形： 已知求圆心角： 已知求半径： 2. 解题套路：把已知量代入弧长公式，列方程求解未知量或。 3. 注意：求出的圆心角为度数；半径结果大于 0。 【典例2】如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 【变式1-1】已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【答案】 【分析】设此弧所在圆的半径为 ，根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为 ， 根据弧长公式， 将，代入得， 解得， 则此弧所在圆的半径是． 【变式1-2】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是 ． 【答案】2 【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可； 【详解】连接OB、OC． ∵∠BOC=2∠BAC=120°，的长是， ∴=， ∴r=2． 故答案为2．    ． 【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 【变式1-3】如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌题型03 利用弧长公式求周长 1. 核心思路 组合图形周长 = 全部外轮廓弧长之和 + 全部外围线段长度之和 注意：内部线段不算周长，只算外围边界 2. 常见模型 模型1：多段圆弧拼接（凸轮型，无直边） ①找每段弧的圆心角、半径 ②出单段弧长，再乘段数，结果就是总周长 模型:2：圆弧 + 线段混合型 ①拆分图形外围：拆成若干段弧 + 若干条外围线段 ②弧套弧长公式计算；线段用等边三角形、勾股定理求长 ③弧长总和加线段总和得到周长 【典例3】如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 【变式1-1】如图，线段．以为直径作半圆，再分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ___________． 【答案】 【分析】阴影部分的周长为弧，弧和半圆的和，据此计算． 【详解】解：∵分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式：，也考查了等边三角形的判定与性质，难度适中． 【变式1-2】两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算、等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质、弧长计算公式是解题的关键； 本题设两圆周相交于点，连接、，再根据等边三角形的判定与性质得到，由弧长公式求出，同理求出，再根据出求出阴影部分的周长即可． 【详解】解：如图，设两圆周相交于点，连接、， ， 是等边三角形， ， ， 同理可得，， 阴影部分的周长为． 故答案为：． 【变式1-3】如图，在扇形中，圆心角，，分别以的中点为圆心的长为半径作半圆，两个半圆相交于点，则图中阴影部分的周长为 ．      【答案】 【分析】如图所示，连接，证明四边形是菱形，得到，再利用弧长公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得， ， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的周长为， 故答案为：．      【点睛】本题主要考查了求弧长，菱形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键． ▌题型04 利用弧长公式求最值 1. 常见考法：动点沿圆弧运动路径长度最值；旋转、滚动问题弧长最值。 2. 弧长 ，为定值，弧长大小由圆心角、半径共同决定。 3. 解题思路： ①确定运动轨迹圆弧的半径 R、转过的圆心角； ②找到最大 / 最小的圆心角或者半径，代入弧长公式； ③滚动类：分清转动角度，注意是否存在多圈情况。 4. 易错：不要把转动角度当成线段长度。 【典例4】如图，半圆的直径，，是上一个动点，弦，，交于点．，则图中阴影部分周长的最大值为______．    【答案】 【分析】根据题意得出四边形为平行四边形．根据，即可求解． 【详解】解：连接．    ， ． ， 四边形为平行四边形． ，． 阴影部分周长为：． 当最长时，阴影部分周长最长， ∴最大值为与重合． ∵， ∴． 周长最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求弧长，平行四边形的性质与判定，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【变式1-1】如图，在扇形中，，C为上一点，且，点P为扇形区域内（不包含边界）一动点．若，则阴影部分周长的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形判定，扇形弧长公式．根据题意连接，由于阴影部分的周长等于的长与的长度和，要使周长最小，则最小，证明是等边三角形，再利用扇形弧长公式得的长，继而得到本题答案． 【详解】解：如图，连接，由于阴影部分的周长等于的长与的长度和，要使周长最小，则最小， ， 而的最小值是， ∵， ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为， ∴阴影部分的最小值为， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在扇形中，，点A是中点，，点P是弧上一点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图所示，延长OA到E，使得CE=3，连接PE，OP，可以推出，即可证明△AOP∽△POE，得到，从而推出当B、P、E三点共线时，PB+2PA有最小值BE． 【详解】解：如图所示，延长OA到E，使得CE=3，连接PE，OP， ∴OE=OC+CE=6， ∵A是OC的中点， ∴， ∴， 又∵∠AOP=∠POE， ∴△AOP∽△POE， ∴， ∴， ∴PB+2PA=PB+PE， ∴当B、P、E三点共线时，PB+2PA有最小值BE， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本知识，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解． 【变式1-3】如图，在半径为6的扇形中，，平分，交于点，点为半径上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为__________（结果保留）． 【答案】 【分析】观察图形可知的长度为定值，只要确定的最小值即可，作点关于直线的对称点，连接交于点，的最小值即为，进而求得阴影部分周长的最小值． 【详解】如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，则由轴对称的性质可知 ． 当点与点重合时阴影部分的周长最小，为的长与的长的和． 平分，， ， ． 连接，由轴对称的性质可得，， ， 是等边三角形， ， 阴影部分周长的最小值为． ▌题型05 求某点的弧形运动路径长度 1. 扫过路径（轨迹长度）：点旋转扫过轨迹是圆弧，用弧长公式 ； ：旋转中心到动点的距离；：旋转角度。 2. 关键：找准旋转中心、旋转角度、旋转半径。 3. 易错提醒： ①区分 “点扫过的路径（弧长）” 和 “图形扫过的面积（扇形面积）”； ②看清旋转角度，不一定是，常为。 【典例5】如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 【变式1-1】如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 【变式1-2】如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先导角得到，作的外接圆，记为，连接，那么点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，则，连接，解直角三角形得到，路径长为． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ∴， 当弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转时， 即， ∴此时点D与点B，P重合， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，记为，连接， ∴点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度， ∴， 连接，∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路径长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在确定点P的运动轨迹． 【变式1-3】如图，的弦，，为上一动点，为上一动点，且满足，连接，，交于点，则点从点运动到点的过程中，点所运动的路径长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的三边关系，弧长公式，解题关键是作辅助线，利用定角定弦确定轨迹圆．连接，证明，得出是定角，是定长，则得点M所运动的路径为一圆的劣弧，求出圆心角和半径即可求出弧长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是定角，是定长， 得点M所运动的路径为如图的劣弧， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴，， ∴，， ∴点运动的路径长， 故选：C． ▌题型06 利用公式求扇形面积 1. 扇形面积两套公式： 公式 1（已知圆心角、半径）： 公式 2（已知弧长、半径）： ：圆心角，：扇形半径，：扇形弧长。 2. 选用技巧：给圆心角用公式 1；给弧长优先用公式 2，计算更快。 3. 思路：把对应已知数值直接代入公式计算扇形面积。 【典例6】一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知扇形的半径和圆心角，可直接利用扇形面积公式计算结果，再选出正确选项.用到的扇形面积公式为，其中为圆心角度数，为扇形半径． 【详解】解：由题意得，该扇形的半径，圆心角， 代入扇形面积公式得． 【变式1-1】如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 【变式1-2】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， ∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠AEB＝30°， ∴∠CBE＝∠AEB＝30°， ∴S扇形EBC12π（cm2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【变式1-3】已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为 　 　cm2． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式slr，求解即可． 【详解】解：扇形的面积2（cm2）． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式Slr． ▌题型07 列方程求扇形圆心角或半径 1. 公式： ，， 2. 解题套路：把已知量代入扇形面积 / 弧长公式，列方程求解未知的圆心角或者半径。 3. 常用变形： 已知求： 已知求： 已知求：由得 4. 注意： ①算出圆心角为角度；半径结果必须大于 0； ②灵活切换两个扇形面积公式，给弧长优先用计算。 【典例7】已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】 /30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【分析】将阴影部分的面积转换为扇形BOD的面积，利用扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAC＝60°， 设⊙O的半径为R， 由于S阴影部分＝S扇形BOD， 所以， 所以R＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，掌握扇形面积的计算公式以及圆周角定理是正确解答的关键． 【变式1-2】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（　　） A．180° B．120° C．90° D．60° 【答案】C． 【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，（）2π， 解得：n＝90， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【变式1-3】一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】根据弧长和扇形面积关系可得，求出R，再根据扇形面积公式求解. 【详解】∵一个扇形的弧长是，面积是， ∴，即，解得：， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键. ▌题型08 计算规则图形的阴影部分的面积 1. 规则阴影：由圆、扇形、三角形、矩形等基础图形拼接而成。 2. 核心方法：和差法 3. 常见组合：扇形 ± 三角形；扇形 ± 半圆；扇形 ± 扇形。 4. 步骤： ①识别阴影由哪几个规则图形构成； ②分别算出每个基础图形面积（扇形、三角形优先）； ③做加减运算得到阴影面积。 【典例8】（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 【变式1-1】如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 【变式1-2】如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 【变式1-3】（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． ▌题型09 计算不规则图形的阴影部分的面积 1.不规则图形不能直接套公式，常用技巧： •割补平移法：平移、旋转，把零散阴影拼合成扇形、三角形等规则图形； •等面积转化：同底等高三角形面积相等；同圆中等弧对应的扇形面积相等； •整体减空白：整体图形减去空白部分面积。 2.高频模型：弓形面积：。 做题步骤：观察图形，做辅助线进行图形转化，把不规则转为规则图形，再用面积和差计算。 【典例9-1】如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，可得，由是半圆的直径，可得 ，根据平行线的性质可得，根据特殊角三角函数值得到，即可得出，利用勾股定理求出的长，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，、为扇形的半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积、平行线的性质，特殊角三角函数值求角度及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键． 【典例9-2】如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 【变式1-1】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 【变式1-2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． (1)求正方形的边长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形的边长为1 (2) 【分析】（1）连接，设正方形的边长为x，推导出为等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 ∴， 设正方形的边长为x，有， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为1； （2）解：由（1），得， ∴，， ∴． 【变式1-3】如图， 的直径，的平分线交于D，过点 D作交延长线于点 E，连接、． (1)求证: 是的切线; (2)求由，，弧围成的阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接, 平分， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）先证明，再证明，继而证明即可； （2）由，，弧围成的阴影部分的面积为求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 的直径， ， 阴影部分的面积为： ▌题型10 求旋转过程中扫过的面积 1. 扫过面积：图形旋转扫过区域一般为扇形（扇环），用扇形面积公式； 扇环面积 = 大扇形面积−小扇形面积。 2. 关键：找准旋转中心、旋转角度、旋转半径。 3.易错提醒： ①区分 “点扫过的路径（弧长）” 和 “图形扫过的面积（扇形面积）”； ②看清旋转角度，不一定是，常为。 【典例10-1】如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 【典例10-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的； (2)画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)解：如图，为所求； (2)解：如图，为所求． 线段扫过的图形的面积为 【分析】（1）根据平移的方向和距离作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可．线段扫过的图形为以为半径，圆心角为的扇形，根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得， 线段扫过的图形的面积为． 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 【变式1-2】如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边边上的点处，线段扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，由锐角三角函数可求，由扇形面积公式可求解． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ，， 将线段绕点按逆时针方向旋转， ， ， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式1-3】如图，已知所在圆的半径为4，弦AB长为，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（　　） A． B． C．π D． 【答案】B 【分析】设所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D，根据已知条件求得∠AOD＝60°，进而求得的长，线段CB扫过的面积＝S扇形ABB′﹣S扇形ACC′，进而根据扇形面积公式求解即可 【详解】解：设所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D， ∴AD＝BDAB＝2， ∵OA＝4， ∴sin∠AOD， ∴∠AOD＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵点C是上靠近点B的四等分点， ∴∠AOC＝90°， ∴AC4， ∴线段CB扫过的面积＝S扇形ABB′﹣S扇形ACC′16πππ， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，解直角三角形，掌握扇形面积公式是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 弧长和扇形面积十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用公式求弧长 题型02 列方程求圆心角或半径 题型03 利用弧长公式求周长 题型04 利用弧长公式求最值 题型05求某点的弧形运动路径长度 题型06利用公式求扇形面积 题型07 列方程求扇形圆心角或半径 题型08 计算规则图形的阴影部分的面积 题型09 计算不规则图形的阴影部分的面积 题型10 求旋转过程中扫过的面积 ▌题型01 利用公式求弧长 1. 弧长公式： ：圆心角度数，：圆的半径，：弧长。 2. 使用前提：带入的是角度制，不带单位。 3. 解题思路：已知圆心角、半径，直接代入公式计算弧长。 4. 提示：看清是弧长，不是弦长；区分弧长与圆周长 。 【典例1】一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧ABC的长度为（　　） A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．30πcm 【变式1-1】（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． ▌题型02 列方程求圆心角或半径 1. 弧长公式变形： 已知求圆心角： 已知求半径： 2. 解题套路：把已知量代入弧长公式，列方程求解未知量或。 3. 注意：求出的圆心角为度数；半径结果大于 0。 【典例2】如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【变式1-2】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是 ． 【变式1-3】如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． ▌题型03 利用弧长公式求周长 1. 核心思路 组合图形周长 = 全部外轮廓弧长之和 + 全部外围线段长度之和 注意：内部线段不算周长，只算外围边界 2. 常见模型 模型1：多段圆弧拼接（凸轮型，无直边） ①找每段弧的圆心角、半径 ②出单段弧长，再乘段数，结果就是总周长 模型:2：圆弧 + 线段混合型 ①拆分图形外围：拆成若干段弧 + 若干条外围线段 ②弧套弧长公式计算；线段用等边三角形、勾股定理求长 ③弧长总和加线段总和得到周长 【典例3】如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，线段．以为直径作半圆，再分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ___________． 【变式1-2】两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为______．（结果保留） 【变式1-3】如图，在扇形中，圆心角，，分别以的中点为圆心的长为半径作半圆，两个半圆相交于点，则图中阴影部分的周长为 ．      ▌题型04 利用弧长公式求最值 1. 常见考法：动点沿圆弧运动路径长度最值；旋转、滚动问题弧长最值。 2. 弧长 ，为定值，弧长大小由圆心角、半径共同决定。 3. 解题思路： ①确定运动轨迹圆弧的半径 R、转过的圆心角； ②找到最大 / 最小的圆心角或者半径，代入弧长公式； ③滚动类：分清转动角度，注意是否存在多圈情况。 4. 易错：不要把转动角度当成线段长度。 【典例4】如图，半圆的直径，，是上一个动点，弦，，交于点．，则图中阴影部分周长的最大值为______．    【变式1-1】如图，在扇形中，，C为上一点，且，点P为扇形区域内（不包含边界）一动点．若，则阴影部分周长的最小值为________． 【变式1-2】如图，在扇形中，，点A是中点，，点P是弧上一点，则的最小值为___________． 【变式1-3】如图，在半径为6的扇形中，，平分，交于点，点为半径上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为__________（结果保留）． ▌题型05 求某点的弧形运动路径长度 1. 扫过路径（轨迹长度）：点旋转扫过轨迹是圆弧，用弧长公式 ； ：旋转中心到动点的距离；：旋转角度。 2. 关键：找准旋转中心、旋转角度、旋转半径。 3. 易错提醒： ①区分 “点扫过的路径（弧长）” 和 “图形扫过的面积（扇形面积）”； ②看清旋转角度，不一定是，常为。 【典例5】如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，的弦，，为上一动点，为上一动点，且满足，连接，，交于点，则点从点运动到点的过程中，点所运动的路径长是（     ） A． B． C． D． ▌题型06 利用公式求扇形面积 1. 扇形面积两套公式： 公式 1（已知圆心角、半径）： 公式 2（已知弧长、半径）： ：圆心角，：扇形半径，：扇形弧长。 2. 选用技巧：给圆心角用公式 1；给弧长优先用公式 2，计算更快。 3. 思路：把对应已知数值直接代入公式计算扇形面积。 【典例6】一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【变式1-3】已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为 　 　cm2． ▌题型07 列方程求扇形圆心角或半径 1. 公式： ，， 2. 解题套路：把已知量代入扇形面积 / 弧长公式，列方程求解未知的圆心角或者半径。 3. 常用变形： 已知求： 已知求： 已知求：由得 4. 注意： ①算出圆心角为角度；半径结果必须大于 0； ②灵活切换两个扇形面积公式，给弧长优先用计算。 【典例7】已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（　　） A．180° B．120° C．90° D．60° 【变式1-3】一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ． ▌题型08 计算规则图形的阴影部分的面积 1. 规则阴影：由圆、扇形、三角形、矩形等基础图形拼接而成。 2. 核心方法：和差法 3. 常见组合：扇形 ± 三角形；扇形 ± 半圆；扇形 ± 扇形。 4. 步骤： ①识别阴影由哪几个规则图形构成； ②分别算出每个基础图形面积（扇形、三角形优先）； ③做加减运算得到阴影面积。 【典例8】（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【变式1-2】如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． ▌题型09 计算不规则图形的阴影部分的面积 1.不规则图形不能直接套公式，常用技巧： •割补平移法：平移、旋转，把零散阴影拼合成扇形、三角形等规则图形； •等面积转化：同底等高三角形面积相等；同圆中等弧对应的扇形面积相等； •整体减空白：整体图形减去空白部分面积。 2.高频模型：弓形面积：。 做题步骤：观察图形，做辅助线进行图形转化，把不规则转为规则图形，再用面积和差计算。 【典例9-1】如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式1-1】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式1-2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． (1)求正方形的边长； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式1-3】如图， 的直径，的平分线交于D，过点 D作交延长线于点 E，连接、． (1)求证: 是的切线; (2)求由，，弧围成的阴影部分的面积． ▌题型10 求旋转过程中扫过的面积 1. 扫过面积：图形旋转扫过区域一般为扇形（扇环），用扇形面积公式； 扇环面积 = 大扇形面积−小扇形面积。 2. 关键：找准旋转中心、旋转角度、旋转半径。 3.易错提醒： ①区分 “点扫过的路径（弧长）” 和 “图形扫过的面积（扇形面积）”； ②看清旋转角度，不一定是，常为。 【典例10-1】如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【典例10-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的； (2)画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留） 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【变式1-2】如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边边上的点处，线段扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知所在圆的半径为4，弦AB长为，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（　　） A． B． C．π D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 弧长和扇形面积十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 利用公式求弧长 题型02 列方程求圆心角或半径 题型03 利用弧长公式求周长 题型04 利用弧长公式求最值 题型05求某点的弧形运动路径长度 题型06利用公式求扇形面积 题型07 列方程求扇形圆心角或半径 题型08 计算规则图形的阴影部分的面积 题型09 计算不规则图形的阴影部分的面积 题型10 求旋转过程中扫过的面积 ▌题型01 利用公式求弧长 【典例1】【答案】D． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：如图，过点D作于点H． 为的切线， ． 又 平分， ． 是的切线． (2) 【分析】（1）过点D作于点H，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）先由三角形外角的性质求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 平分，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题关键． ▌题型02 列方程求圆心角或半径 【典例2】【答案】D 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】2 【变式1-3】【答案】/45度 ▌题型03 利用弧长公式求周长 【典例3】【答案】C 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】    【答案】 ▌题型04 利用弧长公式求最值 【典例4】【答案】 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】 ▌题型05 求某点的弧形运动路径长度 【典例5】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】C ▌题型06 利用公式求扇形面积 【典例6】【答案】C 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】C． 【变式1-3】【答案】 ▌题型07 列方程求扇形圆心角或半径 【典例7】【答案】/30度 【变式1-1】【答案】B． 【变式1-2】【答案】C． 【变式1-3】【答案】/100度 ▌题型08 计算规则图形的阴影部分的面积 【典例8】【答案】A 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． ▌题型09 计算不规则图形的阴影部分的面积 【典例9-1】【答案】C 【典例9-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 【变式1-2】 【答案】(1)正方形的边长为1 (2) 【分析】（1）连接，设正方形的边长为x，推导出为等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 ∴， 设正方形的边长为x，有， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为1； （2）解：由（1），得， ∴，， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：连接, 平分， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）先证明，再证明，继而证明即可； （2）由，，弧围成的阴影部分的面积为求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 的直径， ， 阴影部分的面积为： ▌题型10 求旋转过程中扫过的面积 【典例10-1】【答案】 【典例10-2】 【答案】(1)解：如图，为所求； (2)解：如图，为所求． 线段扫过的图形的面积为 【分析】（1）根据平移的方向和距离作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可．线段扫过的图形为以为半径，圆心角为的扇形，根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得， 线段扫过的图形的面积为． 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】B 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $