精品解析：江苏南京市浦口区南京书人实验学校2026-2027学年第一学期学情调研八年级数学A卷

2026-2027学年第一学期学情调研八年级 数学A卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是中心对称图形，故A符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 若最简二次根式与能合并，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，结合最简二次根式可合并的条件列方程求解. 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴与的被开方数相同， ∴， 解得． 3. 如图，在中，用直尺和圆规在边上找一点P，使得P到点A、C的距离相等，以下符合要求的作图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图． 根据尺规作图的方式逐一判断即可． 【详解】解：A．，可知，但无法判断P到点A、C的距离是否相等； B．，作的是的垂直平分线，即P到点A、C的距离相等； C．，可知平分，但无法判断P到点A、C的距离是否相等； D．，作的是的垂直平分线，但无法判断P到点A、C的距离是否相等； 故选：B． 4. 如果能被n整除，则n的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，掌握平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式对进行因式分解，分析其因数，即可求解． 【详解】解：根据因式分解，可得， 的因数为2和7，而中不含因数2和7， 不能被整除，即n的值不可能是． 故选：C． 5. 已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，再分别求出当选项中的点也在直线上时对应的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点是直线（）上一点， ∴， 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； 若点在该直线上，则， 整理得：， ∴， 解得， ∴直线解析式为； ∴点，，都在直线上， ∴不在该直线上的点是． 故选：A． 6. 如图，已知不共线三点，点是平面内的动点，线段的中点分别为，．下列关于四边形的说法正确的是（ ） ①存在无数个平行四边形； ②存在无数个菱形； ③存在无数个矩形； ④有且只有一个正方形． A. ① B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：平面内任意取一点D，与点A，点B，点C构成四边形，连接，，如图， ∵M、N、P、Q分别是，，，的中点， ，，，，，，，， ，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； 当时，即以点B为圆心，的长为半径画圆，在圆弧上任取一点D（不与三点A，B，C中两点共线），如图， 同上得，， 则有， ∴四边形是菱形， ∴存在无数个四边形是菱形，故②正确； 当时，即过点作垂线，为垂线上任一点（不与三点A，B，C中两点共线）时，如图， 同上得，， ∴， 即， ∴四边形是矩形， ∴存在无数个四边形是矩形，故③正确； 当且仅当，时，即，时，中点四边形才是正方形，即点必须在以点B为圆心，的长为半径的圆上，且在过点作的垂线上，这样的点D在左侧，右侧各一个共有2个，如图， 故存在两个四边形是正方形，故④错误． 综上，正确的有①②③． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 8. 一次函数，若y随x的增大而增大，则的取值范围是___ 【答案】． 【解析】 【详解】一次函数的图象有两种情况： ①当时，函数的值随x的值增大而增大； ②当时，函数的值随x的值增大而减小． 由题意得，函数的y随x的增大而增大，． 9. 若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质，将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， ， 故答案为：． 10. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则底角(锐角)等于______度 【答案】45 【解析】 【详解】试题分析：先依题意画出图形，则可得△ACE为等腰直角三角形，即可得到结果． 如图所示， 则CE=DF，CD=3AB=3EF，AB=AE， ∴AE=CE， ∴△ACE为等腰直角三角形， ∴底角(锐角)等于45度 考点：此题考查了等腰梯形的性质 点评：解答本题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 11. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，得，设，则，，再次使用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， 设，则，， 根据勾股定理，得， 解得，负的舍去， 故即梯子的底端B向右滑动． 故答案为：． 12. 如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键． 根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，即可解答． 【详解】解：∵为中点，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵点F为边的中点， ∴ ∴阴影部分的面积为． 故答案为：15． 13. 如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则_________． 【答案】##117度 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行四边形性质可得，从而得出，再根据翻折得出，再根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵将沿对角线折叠使点B落在处， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则EF的最小值为_____． 【答案】4.8 【解析】 【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝8，BD＝BD＝6，根据勾股定理得到AB＝10，证明四边形OEPF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝OP，则当OP⊥AB时，OP最小，EF的值最小，然后根据三角形的面积公式求出此时OP的长即可． 【详解】解：连接OP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝AC＝8，BO＝BD＝6， ∴AB＝， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF＝OP， ∴当OP取最小值时，EF的值最小， ∴当OP⊥AB时，OP最小， ∴＝OA•OB＝AB•OP， ∴OP＝， ∴EF的最小值为4.8， 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，设菱形较长对角线长为，较短对角线长为，根据两种拼图得到等式，计算得出的值，后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】解：设菱形较长对角线长为，较短对角线长为， 由图2得 由图3得，即 所以菱形的面积为： 故答案为：6． 16. 如图，在矩形A中，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作的延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据提公因式法和平方差公式，进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图所示的一块草坪，已知，若每铺1m2草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？ 【答案】8640 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，然后根据求出面积，再乘以每平方米的费用可得答案． 【详解】连接， 根据勾股定理，得． 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ， 则． 所以铺这块草坪共需要花费8640元． 20. 【观察】；；；… 【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数； 【验证】 （1）的结果是4的_________倍； （2）设连续的两个偶数为2n，（n为整数）．试说明：与2n的平方差是4的倍数． 【答案】（1）13 （2） 证明： n为整数， 也为整数，且是4的倍数 是4的倍数 【解析】 【分析】（1）根据题意，得积中的两个因数，一个是常数4，另一因数是两个平方幂底数的和的一半，计算即可； （2）利用平方差公式，证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得积中的两个因数，一个是常数4，另一因数是两个平方幂底数的和的一半， 故， 故的结果是4的13倍． 【小问2详解】 略 21. 如图，在等腰中，，是的中线，，点O是的中点，连接并延长交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）当满足条件______时，四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵点O是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可得出结论； （2）根据邻边相等的矩形，是正方形，得到当时，四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当满足时，四边形是正方形． 理由：∵当时，是等腰直角三角形， 又∵是的中线， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查矩形的判定，正方形的判定、平行四边形的判定．三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 22. 如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动． （1）当t= 时，四边形PODB是平行四边形； （2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求出当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标 （直接写出答案）． 【答案】（1）t=5；（2）存在，t=3，点Q的坐标为（8，4）；（3）P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道PB＝5，可以求出PC＝5，从而可以求出t的值． （2）要使ODQP为菱形，可以得出PO＝5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值． （3）当P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5时分别作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐标． 【详解】解：（1）∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB＝OD＝5， ∴PC＝5， ∴t＝5． （2）∵ODQP为菱形， ∴OD＝OP＝PQ＝5， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得： ， ∴t＝3， CQ＝PC+PQ＝3+5＝8， ∴点Q的坐标为（8，4）． （3）当P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝3， P2O＝P2D时，作P2E⊥OA， ∴OE＝ED＝2.5； 当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3， ∴P3C＝2； 当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得 DG＝3， ∴OG＝8． ∴P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．解决本题的关键是熟记平行四边形、菱形的判定． 23. 如图，已知线段，用直尺和圆规按下列要求分别作一个菱形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）菱形的对角线长为，对角线的长为； （2）菱形的边长为边上的高为． 【答案】（1）如图，四边形即为所求； （2）如图，四边形即为所求 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）作线段，作线段的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，为半径作弧交直线于点B，D，连接即可； （2）作线段，过点A作，在射线上截取，使得，过点F作，以A为圆心，为半径作弧交于点D，以D为圆心，为半径作弧交射线J于点C，连接即可． 【小问1详解】 解：作线段，作线段的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，为半径作弧交直线于点B，D，连接． 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴ ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：作线段，过点A作，在射线上截取，使得，过点F作，以A为圆心，为半径作弧交于点D，以D为圆心，为半径作弧交射线于点C，连接． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 24. 请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． （1）根据函数数表达式，填写下表： ______，______． （2）利用（1）中表格画出函数的图象． （3）观察图象，当______时，随的增大而减小． （4）利用图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 函数图象如图所示； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数，可以计算出当和对应的函数值，从而可以将表格补充完整； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象，可以直接写出随的增大而减小时的取值范围； （4）根据函数图象，可以直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵ ∴当时，，当时，； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可得， 当时，随的增大而减小， 故答案为：； 【小问4详解】 画出函数的图象， 由图象可得，不等式的解集为． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 25. 小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油，沿途的高速公路服务区A离老家．轿车到南京的距离与轿车行驶时间之间的函数图象如图①到达高速公路服务区后立刻加油（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以的速度回到南京．（小明的轿车以的速度行驶时每平均耗油，以的速度行驶时每平均耗油．） （1）观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是__________； （2）图象中_________，_________； （3）直接写出轿车的余油量与轿车行驶的时间之间的函数表达式，说明自变量的取值范围，并在图②中画出与之间的函数图象． 【答案】（1）100 （2）； （3） 函数图象如下： 【解析】 【分析】（1）由图象可知，前2小时轿车从距离南京行驶到，行驶路程为，进而即可计算平均速度； （2）由图象可得，a对应休息结束的时间，行驶2小时后休息半小时，故；b为到达南京的总时间，服务区到南京路程，速度，行驶时间为，则可求解出； （3）按行程分为三个阶段：：以行驶，每小时耗油，余油量为；：服务区休息加油，余油量恒定为；：以行驶，每小时耗油，整理得；最终写成分段函数，画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：服务区A离老家， ∴由图可得，期间行驶了2小时，路程为，即到C， 前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是； 【小问2详解】 解：到服务区A后，休息了半个小时， ， 服务区A到南京的距离为，且之后以的速度回到南京， ； 【小问3详解】 解：当时，此时轿车行驶速度为， ∴路程为， ∵以的速度行驶时每平均耗油， ； 当时，前面两小时耗油量为， ∴还剩， ∵在A服务区加油， ∴此时共有； ； 当时，此时轿车行驶速度为， ∴路程为； ； 综上所述，， 函数图象如下： 26. 我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点是的对称中心． 如图2，若将绕对称中心点旋转得到，当分别与、交于点、，分别与、交于点、时．因为，，所以四边形是平行四边形，由旋转可知，，所以（等高），所以四边形是正方形，且由旋转可知点也是正方形对角线的交点． （1）如图3，若将绕对称中心点旋转一定的角度得到，当分别与、交于点、，分别与、交于点、时．求证：四边形是菱形． （2）如图4，若将绕对称中心点旋转得到，当各边与各边分别交于点、、、．求证：四边形是正方形． （3）如图5，在中，，点、、、分别在、、、上，满足什么条件时，存在正方形．（直接写出答案） 【答案】（1） 证明：作，，垂足分别为，如图， ∵将绕对称中心点O旋转得到， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 证明：延长交于点，连接，如图， 由题干材料知，四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， 同理，， ∵四边形是正方形， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 由全等三角形的性质得， 由对顶角相等知， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）作，，由题意得四边形是平行四边形，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）作出如图的辅助线，由题干材料知，四边形是正方形，证明和，同理得到，推出四边形是菱形，再证明，根据正方形的判定定理即可得证； （3）分两种情况讨论，当重合和重合，分别根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求得特殊点的情况，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当重合时，如图， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当重合时，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，存在正方形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期学情调研八年级 数学A卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分． 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若最简二次根式与能合并，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，在中，用直尺和圆规在边上找一点P，使得P到点A、C的距离相等，以下符合要求的作图是（ ） A. B. C. D. 4. 如果能被n整除，则n的值不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是直线（）上一点，下列四个点中有三个点在该直线上，则不在该直线上的点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知不共线三点，点是平面内的动点，线段的中点分别为，．下列关于四边形的说法正确的是（ ） ①存在无数个平行四边形； ②存在无数个菱形； ③存在无数个矩形； ④有且只有一个正方形． A. ① B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 若分式有意义，则的取值范围是______． 8. 一次函数，若y随x的增大而增大，则的取值范围是___ 9. 若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 10. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则底角(锐角)等于______度 11. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________． 12. 如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 13. 如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则_________． 14. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则EF的最小值为_____． 15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为________． 16. 如图，在矩形A中，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为________． 三、解答题 17. 因式分解 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图所示的一块草坪，已知，若每铺1m2草坪需要花费40元，则铺这块草坪共需花费多少元？ 20. 【观察】；；；… 【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数； 【验证】 （1）的结果是4的_________倍； （2）设连续的两个偶数为2n，（n为整数）．试说明：与2n的平方差是4的倍数． 21. 如图，在等腰中，，是的中线，，点O是的中点，连接并延长交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）当满足条件______时，四边形是正方形． 22. 如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动． （1）当t= 时，四边形PODB是平行四边形； （2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求出当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标 （直接写出答案）． 23. 如图，已知线段，用直尺和圆规按下列要求分别作一个菱形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）菱形的对角线长为，对角线的长为； （2）菱形的边长为边上的高为． 24. 请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． （1）根据函数数表达式，填写下表： ______，______． （2）利用（1）中表格画出函数的图象． （3）观察图象，当______时，随的增大而减小． （4）利用图象，直接写出不等式的解集． 25. 小明驾驶轿车从老家回南京．出发前，油箱有余油，沿途的高速公路服务区A离老家．轿车到南京的距离与轿车行驶时间之间的函数图象如图①到达高速公路服务区后立刻加油（加油时间忽略不计），休息了半个小时，然后以的速度回到南京．（小明的轿车以的速度行驶时每平均耗油，以的速度行驶时每平均耗油．） （1）观察图象，前2个小时小明驾驶轿车的平均速度是__________； （2）图象中_________，_________； （3）直接写出轿车的余油量与轿车行驶的时间之间的函数表达式，说明自变量的取值范围，并在图②中画出与之间的函数图象． 26. 我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点是的对称中心． 如图2，若将绕对称中心点旋转得到，当分别与、交于点、，分别与、交于点、时．因为，，所以四边形是平行四边形，由旋转可知，，所以（等高），所以四边形是正方形，且由旋转可知点也是正方形对角线的交点． （1）如图3，若将绕对称中心点旋转一定的角度得到，当分别与、交于点、，分别与、交于点、时．求证：四边形是菱形． （2）如图4，若将绕对称中心点旋转得到，当各边与各边分别交于点、、、．求证：四边形是正方形． （3）如图5，在中，，点、、、分别在、、、上，满足什么条件时，存在正方形．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $