精品解析：重庆市第七中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

重庆市第七中学2025-2026学年度上期 高2027届第一次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则不可能取值（ ） A. B. 5 C. D. 6 7. 四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线，进行绘制，点在曲线上，点，则下列结论错误的是（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 的最小值是 C. 直线PQ的斜率的最大值为1 D. 的取值范围为 8. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 36 D. 48 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线m斜率为 B. 直线m横截距为1 C. 直线m纵截距为 D. 点不在直线m上 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 若点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是 D. 设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是 11. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B. 若两圆有四条公切线，则 C. 当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D. Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 13. 已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是__________. 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点P在椭圆上，且. （1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； （2）求的面积； 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． （1）用，，表示，并求的值； （2）求的值． 17. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 18. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B （1）若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； （2）设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； （3）设AB的中点为M，点，若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第七中学2025-2026学年度上期 高2027届第一次月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，即可得出倾斜角. 【详解】由直线方程可得： ， 即， 由， 所以． 故选：B 2. 直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可. 【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为， 则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0. 故选：B. 3. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解. 【详解】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：D. 4. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以且与不相等， 所以. 故选：C. 5. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，设，可得，，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率. 【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示： 设，轴，，， ，， 由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题. 6. 若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则不可能取值（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于1，即可满足题意，求出r的范围． 【详解】∵圆心到直线的距离， 圆上恰有相异两点到直线的距离等于1， ∴，即， ∴． 则不可能取值为6． 故选：D． 7. 四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线，进行绘制，点在曲线上，点，则下列结论错误的是（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 的最小值是 C. 直线PQ的斜率的最大值为1 D. 的取值范围为 【答案】B 【解析】 【分析】对A：根据曲线与圆的关系，结合面积公式，直接求解即可；对B：将问题转化为求到直线的距离的最小值问题，数形结合解决问题；对C：根据直线和圆的位置关系，数形结合，求解问题；对D：根据圆外一点到圆上一点距离的最值求解方法，数形结合，求解即可. 【详解】对曲线方程：， 当时，可化为，即， 故曲线在第一象限是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧； 根据对称性可知，该曲线关于轴，轴，以及坐标原点均对称，故其曲线绘制如下： 对A，记点，，显然在曲线上，如下图所示： 因为，故三点共线，则该曲线在第一象限内的面积为一个半圆的面积和面积之和；故曲线围成的图形面积，故A正确； 对B：设点到直线的距离为，则 ， 根据对称性可知，曲线在第三象限内的部分是在圆心为，半径为的圆弧， 数形结合可知，点到直线的距离最小值为， 故，故B错误； 对C：根据题意，作图如下： 数形结合可知，当且仅当为过且与曲线在第四象限内的圆弧相切时，其斜率取得最大值； 根据对称性，曲线在第四象限的部分是在圆心为，半径为的圆弧， 其方程为， 设过点，且斜率存在的直线为，故可得， 整理得：，，解得（舍去）或， 故斜率的最大值为1，故C正确； 对D：记曲线在第一和第二象限圆弧的圆心分别为，如下图所示： 根据圆上一点到圆外一点距离的最值求解，数形结合可知：当点在第一，第四象限时，可以取到最小值； 当点在第二，第三象限时，可取到最大值，为方便，只讨论第一，第二象限的情况. 当点在第一象限时，的最小值为； 当点在第二象限时，的最大值为； 故的取值范围为，故D正确. 故选：B 8. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设与，为的中点，可证明点在以为圆心，2为半径的圆上，由，结合两点距离的几何意义即可求解. 【详解】设与为圆上一点， 则，得，， 即为等腰直角三角形，设为的中点， 则，得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上， 故， 因为点到定点D的距离的最大值为， 因此的最大值为36. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题化为，根据两点距离的几何意义求解即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线m斜率为 B. 直线m横截距为1 C. 直线m纵截距为 D. 点不在直线m上 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，变形为，得到斜率；B选项，令求出横截距；C选项，令求出纵截距；D选项，代入检验即可. 【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确； B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误； C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确； D选项，当时，，故点在直线m上，D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 若点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是 D. 设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A．根据两直线垂直对应系数关系计算出的值并作出判断；B．根据两直线平行对应的系数关系计算出的值，然后排除重合的情况，由此可判断；C．结合图象可求解出满足条件的的范围；D．过点作圆的切线，根据的大小分析出的范围，由此可求的范围. 【详解】A．“直线与直线互相垂直”等价于 “”，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故错误； B．当与互相平行时，，解得或， 若，，满足条件， 若，，此时两直线重合，不满足条件， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故正确； C．如图所示，， 结合图象可知时，与线段相交，故正确； D．当在圆上或圆内时，此时显然满足条件， 当在圆外时，过作圆的切线，此时只需，故只需， 又因为，所以，所以， 所以，解得，故正确； 故选：BCD. 11. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B. 若两圆有四条公切线，则 C. 当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D. Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径，求出相交两圆公共弦所在直线方程判断AD；由两圆相离求出范围判断B；利用圆的性质求出最值判断C. 【详解】圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径，， 对于A，当时，，圆与相交， 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，A正确； 对于B，由两圆有四条公切线，得圆与外离，则，解得，B错误； 对于C，当时，圆与外离，则，C正确； 对于D，设，依题意，点在以线段为直径的圆上， 线段为直径的圆方程为，与圆的方程相减， 得直线方程：，即， 由，解得，因此直线过定点，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定直线所过的定点坐标，再根据过圆内点的弦长的最大最小值可求的范围. 【详解】因为，令，所以过定点， 又因为，所以在圆内， 当经过圆心时，此时有最大值即为圆的直径，， 当与垂直时，此时有最小值，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解. 【详解】设，因为点，，， 所以，即， 所以，可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点P在椭圆上，且. （1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； （2）求的面积； 【答案】（1） 由椭圆方程得：，，则， 椭圆的长轴长为；短轴长为； 焦点坐标为，，离心率. （2）9 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由椭圆的定义知：， ，， 即，解得：， . 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． （1）用，，表示，并求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【小问1详解】 因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. 【小问2详解】 因为， 所以 . 17. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 18. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. 【小问3详解】 因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B （1）若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； （2）设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； （3）设AB的中点为M，点，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 设直线的方程为：，联立 可得：， 设，则，① ， 则 ，② 将①代入②化简可得， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）可设点，表示出，可求出参数或6，结合题意可舍去，再由两点已知求出直线的方程； （2）可设，设直线方程为，联立直线和圆的方程求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出，结合前式即可求解； （3）设，由建立方程，化简可得，由（2）可得，联立求解得，再结合圆的几何性质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解； 【小问1详解】 设，求出，， 则或6， 当时，，此时直线的方程为：， 圆心到直线距离，满足题意； 当时，，，直线的方程为：， 圆心到直线距离（舍去）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设点，由点，， 可得，化简得，③ 又，④ ④式代入③式解得或， 由圆心到直线的距离，故， 此时，圆心到直线距离， 则，直线方程为：，， 到直线的距离，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $