精品解析：四川成都市石室天府中学2027届高三上学期开学定时训练试题

2026-2027学年上期高三年级开学定时训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 和可以不具有周期性 7. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个不同的极值点，，若存在实数使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 数据的第25百分位数是1 B. 若事件的概率满足且，则相互独立 C. 已知随机变量，若，则 D. 若随机变量，则 11. 对于函数，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则没有最低点 B. 若和都有最小值，则有最低点 C. 若有最低点，则和都有最小值 D. 若有最低点，则或有最小值 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为______． 13. 的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 14. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 四、解答题 15. 在三棱柱中，侧面是菱形，，，. （1）求证：； （2）已知，，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 数列是等差数列且，，数列的前项和为，且. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和为. 17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上且直线的斜率为． （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知直线l交抛物线于两点，且线段的中点Q在直线上，若直线的斜率之积为，求直线l的方程． 18. 《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题： （1）当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望； （2）当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率； （3）假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期高三年级开学定时训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】“”的否定是. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合=， =， 所以. 3. 若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义域得出恒成立，讨论，两种情况，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可得出实数m取值范围. 【详解】解：的定义域为R ∴恒成立 当m＝0时，不等式2＞0恒成立 当m≠0时，则满足，得，得0＜m＜8 综上0≤m＜8 故选：A 【点睛】本题主要考查了由定义域求参数的范围，属于中档题. 4. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知函数的一个周期为6，根据周期性结合偶函数定义运算求解即可. 【详解】因为，可得， 则，可知函数的一个周期为6， 又因为函数为定义在上的偶函数，则， 且当时，，所以. 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 6. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 和可以不具有周期性 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数对称性的定义可判断AB选项；利用复合函数的求导法则以及函数的对称性可判断C选项；利用函数周期性的定义可判断D选项. 【详解】为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称； 为奇函数，所以， 即，所以的图象关于点对称， 因为，所以， 因为，所以， 即的图象关于点对称, 因为，， 所以，所以， 所以的周期为. 7. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C． [方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 8. 已知函数有两个不同的极值点，，若存在实数使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知在内有2个不相等的实数根，，参变分离结合函数图象可得，利用韦达定理整理可得，存在实数，使得，即可得结果. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 若函数有两个不同的极值点，， 则在内有2个不相等的实数根，， 显然不合题意，即， 可得，即与在内的图象有2个不同的交点， 由图象可知：，解得， 且，， 由可得，即， 可知存在实数，使得， 且，则，可得， 所以实数的取值范围为. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据作差法判断AB；根据基本不等式判断C；根据幂函数的单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，则，所以，A正确. 对于B，， 因为，，所以，即，B错误. 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号， 又，故等号不成立，所以，C正确. 对于D，因为，所以，则在上单调递增，又，所以，D错误. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 数据的第25百分位数是1 B. 若事件的概率满足且，则相互独立 C. 已知随机变量，若，则 D. 若随机变量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据百分位数分析运算；对于B：根据条件概率和独立事件分析判断；对于C：根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断. 【详解】对于选项：8个数据从小到大排列，由于， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误； 对于选项：由，可得， 即，可得， 所以相互独立，故B正确； 对于选项C：因为，则，故C正确； 对于选项D：因为随机变量， 由正态曲线的对称性可得：，则， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 对于函数，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则没有最低点 B. 若和都有最小值，则有最低点 C. 若有最低点，则和都有最小值 D. 若有最低点，则或有最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】可以举反例证明选项B、C的命题均为假命题，对A、D，根据“最低点”的定义分析，再分类讨论即可. 【详解】A选项，因为，定义域，所以， 当，， 所以点集中纵坐标可以任意小，没有下界，因此不存在最低点，故A正确. B选项，取，定义域为；取，定义域为. 两函数都有最小值0，但，，交集为空，空集没有最低点，故B错. C选项，取（无最小值），（有最小值0）； 则，，交集， 存在最低点但无最小值，故C错误. D选项，设的最低点为，则或， 若，则且对任意有，即有最小值， 同理若，则有最小值，故或有最小值，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等比中项的性质求出，便可求出前五项积. 【详解】解：由题意得： 根据等比数列性质得 ∴， ∴． 故答案为： 13. 的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出，从而得到展开式的通项公式，令，带入即可求出答案. 令，得，则常数项为. 【详解】由题意得，，得， 则的展开式通项为， 令，得，则常数项为. 14. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 四、解答题 15. 在三棱柱中，侧面是菱形，，，. （1）求证：； （2）已知，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1) 取中点为,连接,然后证明垂直平分即可；（2）先证明两两垂直，然后建立空间直角坐标系计算即可. 【小问1详解】 取中点为,连接， 在三棱柱中，侧面是菱形，， 则为正三角形，取中点为，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为是中点，所以. 【小问2详解】 在边长为2的正中，， 在中，，则，又， 所以，所以， 所以两两垂直. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 则， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 16. 数列是等差数列且，，数列的前项和为，且. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和为. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的首项和公差求通项公式；根据与的关系求等比数列的通项公式； （2）根据数列特征，采用错位相减法求和. 【详解】（1）数列是等差数列且，， ∴，解得，， ∴ ∵，① ∴，，② ①-②，得 ∴ 又，解得 ∴是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴ （2）∵， ∴，① ∵，② ①﹣②，， ∴ 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的定义、通项公式，错位相减法求和，考查了推理能力、运算能能力，属于中档题. 17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上且直线的斜率为． （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知直线l交抛物线于两点，且线段的中点Q在直线上，若直线的斜率之积为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率得到方程，求出或16，舍去不合要求的解，得到抛物线方程； （2）直线l的斜率不存在时，不合要求，设出直线l的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据中点Q在直线上，得到方程，求出，根据斜率之积得到，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意得，点在C上，故， 直线的斜率为，即， 所以，解得或16， 当时，，满足要求，当时，，不合要求， 故抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，线段的中点Q在直线上，不合要求，舍去， 设直线l的方程为，联立得， 设，则， 则， 故中点Q的纵坐标为， 线段的中点Q在直线上，故，解得， 故，，解得， ，， ， 由（1）知，则， ， 化简得且，解得， 故直线l的方程为. 18. 《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题： （1）当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望； （2）当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率； （3）假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的数学期望公式计算即得； （2）由题意，可知即为求，先求得，再由，利用组合数的性质与运算公式即得； （3）由题意化简得，推出数列是首项为，公比为的等比数列，从而求得的解析式. 【小问1详解】 当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为， 设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即， 所以救援人数的期望值. 【小问2详解】 当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救. 所以本题即求.而， 则. 故 （*） 故. 附注：（*）式的证明如下： 因， 则， 即， 故. 【小问3详解】 村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救. 故正常情况下，村民前往营救的概率为， 当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为. 记事件为第n次村民前往营救白跑， 则, 故牧童第次呼救，有， 即， 整理可得， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 故.其中， 故 经检验也符合，故 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：； （3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，其中 （2）证明：由（1）知当时，， 所以，令， 则， ， 故， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，对求导，分，利用导数与单调性的关系求解即可； （2）由（1）可得时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证； （3）对化简可得，只有一个零点，令，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解． 【小问1详解】 的定义域为， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为； ②当时，有两个零点， 所以当时，，即； 当时，，即；当时，，即． 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 因为与同号，所以只有一个零点， 又存在一个零点，故有三个不同的零点， 令，，由， 则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 函数定义域为， 因为， 设，则， ①当时，，恒成立，此时在上单调递减，显然不符合题意， ②当时，，有两个零点，， 所以当时，，即；当时，，即； 当时，，即． 故在，,上单调递减，在,上单调递增； 因为，且，所以，所以， 由（2）知，时，， 所以，即， 所以， 所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的零点， 因为， 因为，所以， 所以时，存在三个不同的零点，1，， 故实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $