精品解析：上海市蒙山中学2026-2027学年上学期八年级数学第一次学情自测

八年级数学第一学期第一次月考 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根和算术平方根，无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：， 无理数有，π，1.010010001…， ∴无理数有3个， 故选：A． 2. 数据0.000 000 00258用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示一个绝对值较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此得出结论即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列各式计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根及立方根，熟练掌握相关性质及定义是解题的关键．利用平方根及立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不符合题意， B．，则不符合题意， C．，则不符合题意， D．无意义，则符合题意， 故选：D． 4. 若，则的算术平方根是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，算术平方根，根据算术平方根与平方数的非负性求出x，y的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是， 故选A． 5. 如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 6. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 二、填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7. 是的算术平方根，是立方根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是的算术平方根，是立方根， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义，立方根的定义是解题的关键． 8. 二次根式、、、（是正整数）中，最简二次根式是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：中，是能开得尽方的因数，则不是最简二次根式； 是最简二次根式； 中，被开方数含有分母，则不是最简二次根式； 中，是能开得尽方的因式，则不是最简二次根式． 9. 的倒数是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据倒数的定义和分母有理化计算即可． 【详解】解：的倒数是 故答案为：． 【点睛】此题考查的是分母有理化，掌握倒数的定义和分母有理化是解决此题的关键． 10. 化简：_________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接根据二次根式的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，则有： 或 当时，； 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的化简法则是解答此题的关键． 11. 等式成立的条件是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使等式成立，则， 解得． 12. 比较大小：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．先比较得，进而可得． 【详解】解：∵ ∴即 ∴ 故答案为：． 13. 把的根号外的因式移到根号内等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件确定的符号，再将根号外的因式变形后移入根号，化简即可得． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为， ∴， ∴， ∴ ． 14. 已知，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求多项式进行因式分解，再计算出和的值，整体代入求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，， ∴． 15. 若最简二次根式和是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式性质得，解出即可． 【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式； ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最同类二次根式，熟知被开方数相同是解决本题的关键． 16. 实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 17. 已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质：，分情况讨论即可确定a的取值范围． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上知，当时，的值是一个常数，这个常数为1； 故答案为：1． 18. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，满分58分） 19. 计算: 【答案】 【解析】 【分析】按照二次根式混合运算的法则进行计算即可. 【详解】原式===. 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握基本的运算法则是关键. 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 21. 将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．先对各数化简，对无理数取近似值，再借助近似值在数轴上确定它们的大至位置即可．然后根据数轴上的数从左到右逐渐增大排列大小． 【详解】解：，， ∴ 22. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得：， 则原式 ． 23. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先得出，，再计算二次根式的乘除法即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得：，， 则原式 ． 24. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 即． 25. 化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先将的值进行分母有理化，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 26. 综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）若a是的整数部分，b是的小数部分．求的算术平方根； （2）若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】（1）4 （2）18 【解析】 【分析】本题考查二次根式的估算与加减运算，根据被开方数在哪两个平方数之间，表示出二次根式的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）与80相邻的两个平方数是64，81，与5相邻的两个平方数是4，9，表示出，的取值，代入代数式中计算，再求算术平方根； （2）与11相邻的两个平方数是9，16，整理使结果满足是整数，，表示出，的值，代入代数式计算． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分为8， 即， ， ， 的小数部分为， 即， ， 算术平方根为； 【小问2详解】 中， 为的小数部分， ， ， 的整数部分为3，小数部分为 ， ，， ． 28. 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） （1）如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） （2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】（1）这场雷雨大约能持续 （2）这场雷雨区域的直径大约是 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【小问1详解】 解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. 【小问2详解】 当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 29. 观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第个等式：________； （2）请写出第个等式：________； （3）求的值：________； （4）数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】（1） （2）（为正整数） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）观察题干推导出第个等式； （2）每个等式的分母都是连续的正奇数，用含的代数式表示即可； （3）利用（2）中的规律求和即可； （4）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形求出代数式的值． 【小问1详解】 解：观察题干可知，第个等式为； 【小问2详解】 解：观察可得，每个等式的分母都是连续的正奇数， ∴第个等式为（为正整数）； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一学期第一次月考 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 数据0.000 000 00258用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则的算术平方根是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 5. 如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 二、填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7. 是的算术平方根，是立方根，则______． 8. 二次根式、、、（是正整数）中，最简二次根式是________． 9. 的倒数是_______________． 10. 化简：_________． 11. 等式成立的条件是________． 12. 比较大小：_______． 13. 把的根号外的因式移到根号内等于________． 14. 已知，，那么________． 15. 若最简二次根式和是同类二次根式，则______． 16. 实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是______． 17. 已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是_______． 18. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 三、解答题（共11小题，满分58分） 19. 计算: 20. 计算： 21. 将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，，． 22. 计算： 23. 计算： 24. 解方程： 25. 化简求值：已知，求代数式的值． 26. 综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 27. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）若a是的整数部分，b是的小数部分．求的算术平方根； （2）若，其中x是整数，且，求的值． 28. 某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） （1）如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） （2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 29. 观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第个等式：________； （2）请写出第个等式：________； （3）求的值：________； （4）数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $