广西壮族自治区来宾高级中学2026-2027学年高三上学期9月检测数学试题

来宾高中2027届高三上9月检测卷 一、单选题:本题共8小题,每小题6分,共40分.在每小厕给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.已知集合A={2<x<2,B={x2-2x-3<0,刚AUD=() A.(-2,3) B.(-2,-H) c.(-1,2) D.(-1,3) 2.平面向量 ,6的夹角为60,若同=2,同=1,则6(a-)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 3.某光电子产业基地汇聚众多高利技企业,在多个领域打破国际垄断、领跑全球已知该地某芯片企业近9 个月的月产量构成等比数列,其中前3个月总产量为50万片,前6个月总产量为110万片,则该企业这9个 月的总产量为() A.170万片 B.178万片 C.182万片 D.188万片 e*-ez 4.若函数f儿因)+02x-可为奇函数,则a=() A.-1 B.1 c.月 D.3 5.在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b(tanA+tanB)+2 c tan B=0,则角A的大小是 () A c D. 2 6.某单位有5名员工,需要在小长假三天安排人员值班,每天只需一人值班,不能出现同一人连续两天 值班情况,则所有的安排方法种数为() A.60 B.70 C.80 D.100 7.已知4,B为两个相互独立的随机事件,若P()=),且P(a)=P(回,则P(4=() A号 c号 D.月 8。已知a>1,若函数/心)=与g问-3,工-少上的最大值相等,则a的值所在区间为() A( (22 c D 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在年小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全 部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.己知?,2为复数,则下列说法中正确的有() A.若=l,则z=z好 试卷第1页(共4项) B.若名+z2=0,则名=z2=0 C.若名-1=22-=1,则|3-2≤2 D.若3+2=3-22,则2=0 五:父-二1的左右焦点分别为R,,过霄的直线1与双曲线E交于么B两点 中正确的有() A双曲线五的离心率是号 B.若AF=2AF,则 AFE的周长为18 C.存在四条不同直线1使得AB=5 D.线段AB的中点坐标可能是1,V) 11.如图,圆锥S0的底面圆心为O,高S0=2,AB为底面直径,且AB=4,点C为底面圆周上异于A, B的动点,E为母线SC的中点,则下列说法正确的是() A.三棱锥S-ABC的外接球的表面积为定值 B.存在点C,使得直线OE⊥平面SBC C.直线OB与平面SMB所成角的正弦值的最大值为 2 D.若∠B0C=60 ,则平面SMB与平面SBC夹角的余弦值为 7 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.函数f(x)=2 sin ox+- +写)的图象向右平移牙个单位长度后与原图象重合,则正实数心的最小值为 4 13.记公差不为零的等差数列{an}前n项和为Sn,若S5=5(a2+a,+a4),则正整数k的值为 14.记椭圆T:+片=1(a>b>0的左右焦点分别为R,乃,已知椭圆r上的点P满足 osP邓=, PRPR 记∠FPF的平分线与椭圆T交于另外的点2,若∠F2F=90 ,则 OROF :椭圆 的离心率 e= 试卷第2页(共4页) 四、解答题:本题共6小题,共77分,解答应写出文字说明、正明过程或者演算步骤 15.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a=3,S,=4a. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列 的前n项和为,求证:父<分 16.某地将举办大型体育赛事,为做好比赛的志愿服务保障工作,组委会定期对报名者开展综合能力测评. 现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分(满分100分),分别得到如图所示的 两个频率分布直方图. 撷率/组距 频率组距 0.03 0.025 0.025 0.02 0.02 0.015 0.01 0.01 0.005 可V5060708090100评分/分 0V5060708090100评分1分 男生 女生 (1)求a的值,并估计女生评分的平均数: (2)若评分不低于70分定为“合格”,评分低于70分定为“不合格”完成下列2 2列联表,并根据小概率值 a=0.01的独立性检验,判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联 评分等级 性别 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附:= n(ad-bc) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+d. 0.05 0.01 0.001 a 3.841 6.635 10.828 试卷第3页(共4顷) 17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2,BC=4,∠BC=60 ,E为PB 中点. (1)证明:直线PD∥平面ACB: (2)若直线PA⊥平面ABCD,异面直线AE与PD所成的角为45 ,求直线PD与 平面PAC所成角的正弦值. 18.已知函数f(x)=(x+a2-4a2nx,其中a≠0. (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点((,f()处的切线方程: (2)讨论f(x)的单调区间: (3)若f(x)>0,求a的取值范围 19.已知圆M:(x-1)2+y2=1与抛物线E:y=2px(p>0)的三个公共点恰好构成等腰直角三角形. (1)求抛物线E的标准方程: (2)过抛物线上一点A引射线,该射线与圆M相切且与抛物线E交于另一点B,记该射线与x轴的交点为N. (i)若∠AMB=60 ,求AB所在直线的斜率: (ii)若AM=AWAB,求AM:BM. 试卷第4页(共4页) 来宾高中2027届高三上9月检测卷参考答案 1.A【详解】不答式x'-2r-3<0可化为(x-3)(x+I)<0 因此B={x-1<x<3),所以UB={2<x<3),对应区间为(-2,3), 2.B【详解】由愿意得:6(6-列=66-6=co60-=2x1x号1=0, 3、C【详解】设该芯片企业近9个月的月产量构成等比数列(o,),公比为9,前”项和为8, 则8=50,&。=110,g=0+a+=8-9-6 4+4+a,S51 8心=马+a+=g=36, S3 a+a+a 一25,S,-36 50+110=182,即该企业这9个月的总产量为182万片。 4D【学1ar的定义碳为4写丑-可。 因为西数了(因为奇函数,所以定义域关于原点对称,故口=分即 =分 所以/()= +写2)因的定义城为》》行树小,关于原点对斋, c'-e2c-e) 又儿-2-付敢函数了冈为商函数所以a-月 4x2-1 2 2csin B 5.D【详解】将题中所给等式切化弦得, b sinA,sinB) =0,则 cos A cos B cos B b(sin Acos B+cos Asin B)2csin B =0, cos Acos B CosB 由两角和公式化简可知, bsin(+B)2esinBbsinC2csinB=0, cos Acos B cos B cos Acos B cos B 因为cos Acos B≠0,所以两边同时乘以cos Acos B得,bsinC+2 csin Bcos A=0, 由正弦定理得,sin BsinC+2 sin Csin Bcos A=0, 因为si血BsinC≠0,所以两边同时除以sin Bsin C得,1+2cosA=0,所以co3A=-】 因为4∈(0,),所以A=2 3 6.C【详解】第1天:5个人任选1人,5种选择 第2天:不能和第1天是同一个人,剩下4人,4种选择: 第3天:不能和第2天是同一个人,剩下4人,4种选择;总方法数:5 4 4=80, 7.B【详解】由题意得:P(B)=P(P()=[-P(4]P(8),P(A)=P()P()=P(A)[1-P(8], 又P()=P(A),所以P(A)=P(),所以P(A=P(), 答案第1页(共8页) 所以P()-P(a)P()-[P(a]=),所以P( )=子,所以P()=1-P(A)=子 B详解】了回四(x>0,则r上舌应.设潮足飞 则当0<x<x时f'(x)>0,f(x)单调递增:当x>时(x)<0,∫(x)单调递减, 所以了()的最大值为()==1 eseg)=lo8k-l月-1h 2(x>1).令y=-1,则x=y+1, a" a'lna 代入得g= 品。高哥当e,即加1时,8=品号-以此时8的绿大值与f的 In-1 最大值相等下证使最大值相等的唯一,记g,()- ,则g(x)>0当且仅当x>a+1, a'lna 故8。的最大值在某点x。>a+1处取得.当a2>a,>1时,x>a2+1>a,+1, 于是血志1, 1<h且空a,>ala,所以8a(伍)K8a(,)g8,的最大值, a, a 即a越大,8的最大值越小.所以使最大值相等的a至多一个,故a恰为方程ana=l的根. 设p(a=alna(a>l),则p'(a)=lna+1>0,p(a)单调递增, 方程咖0=1有唯-根因为P[)-号061<1,pQ)-22=139>1,所以限: 21 2 9.BC【详解】取名1=1,22=i,满足==1,但是22=1,22=-1, Z2≠z22,A错误B.:+2=0,.Va2+62+√a2+,2=0, 即4=6=a2=b2=0,.=z2=0,B正确. C.名-=3-1=1, V(a-12+62=V(4,-12+b,2=1,即 (a-12+62=1,(a2-12+b,2=1,其几何意义是圆(x-1)2+y2-1上任意两个点P(a,),(a2,), 又名-zs2 (4-a2}+(6-b)2≤2,其几何意义是两个点P(4,),(42,)之间的距离小于等于2, :圆上任意两点P2≤2(值径),C正确D.举反例,当名=l,2=i时,1+=1-=V2, 满足Z1+z2=3-22,但是22=1≠0,D错误。 10.ABD【详解】对于A,由双曲线方程知:a=2,b=√5,则c=√a2+b2=3, 双贵线8的离心率=吕子,人正商 对于B,AF=2MF,∴A-=A=2a=4, 答案第2页(共8页) ∴a5的周长为A+MF+F引=4+8+2c=12+6=18,B正确: 对于C,当1翻率不存在时,即1:x=-3时,M8=20=5:当1斜率存在时,设1:y=kx+3引,4:,), 86.006-4-2m-36-29=0, .24k2 5-4k2+0且 =805+52)>0,则 +名=写=4'= 36k2+20 5-4k2, -E+-5,据将:-官即 201+k2) 4 B方程为:y=土2女+3):综上所述:存在三条不同的直线1使得 =5,C错误 对于D,当直线1斜率不存在时,线段AB中点为(-3,0):当直线I斜率存在时,由C知,若线段AB中点 为个则+名=2银=2,%+%=g+名+6列=写0=26,解得:k= 24k2 4 当1方程为)=(+到时,线段心的中点坐标为心,D正确 11.ACD【详解】以底面圆心O为坐标原点, 以直线OB、底面内垂直于OB的直线、直线OS分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则0(0,0,0),A(-2,0,0,B(2,0,0),S(0,0,2), 设C(2cos8,2sin0,0),0∈(0,2 )且0≠ ,由E为SC的中点,得E(cos0,sin8,1). 对于A,易知OA=OB=OC=OS=2,即点O到三棱锥S-ABC的四个顶点的距离相等, 故点O即为三棱锥S-ABC外接球的球心,外接球半径为R=2, 所以三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4 R2=4 22=16 ,为定值,故A正确: 对于B,若直线OE⊥平面SBC,则OE⊥BC,易知SO⊥BC,SO∩OE=O,所以BC⊥平面SCO,则BC⊥SC, 在 SBC中,由SB=SC,可知BC⊥SC不可能成立,所以不存在点C,使得直线OE⊥平面SBC,故B 错误: 对于C,易知平面SAB的一个法向量为i=(0,1,0), 直线OE的方向向量为OE=(cos0,sin0,1),设直线OE与平面SAB所成的角为 OE. sine sine a,则sina三 0同Vcos28+sin28+pV2 当sin=l,即日=或3亚时,对应点C的坐标为(0,2,0),符合题意, 2 2 此时sina取得最大值 方兰,放c正确, 15 答案第3页(共8页) 对于D,平面SMB的一个法向量为=(O1,0),当∠B0C=60时,不妨设点C的坐标为,W5,0, 则S5=(2,0,-2),SC=(1,V5,-2:设平面SBC的法向量为m=(x,y,z, m.S8=2x-22=0 m5C=x+5-2=0令x=5,得z=5,y=1,即平面9C的-个法向量为分=(5,1月), 则或 1 万 同VW3+12+5 7,故平面SMB与平面58C夹角的余妆值为 ,故D正确 12.8【详解】函数f()=2 sin ox+- 的图象向右平移无个单位长度后解析式为: d f(x)=2 sin ox-二o+5 要使其与原图象重合,即w=2,keZ,所以0=8k,kE乙,因为w是 4 3 正实数,所以,当k=1时,w最小为8. 13.15【详解】因为{a}是等差数列,设公差为d, 因为=5a+a+a),所以5g+514d-5[a+d+a+6d+4+-d, 即154+105d=15a+5(k+6)d,所以解得k=15. 14. 3 解设m=P,n=P四u=2gv= ,则m 设PQ平分∠FPE,记∠FP0=∠QPF=0, 又设∠F2P=a,因为∠F2F2=90 ,所以∠F0P=90 -a, 在 PR2与 PF,Q中由正弦定理得,m_smgO,”_sim(90- _c0sa@, u sine sine sine 4 在oPF中,由余弦定理得:(2c)2=m2+m2-2mn:4, F OD a F 在 05中,由勾股定理得:(2c)2=2+v2. 两式相等,且m+n=u+v=2a,整理得m-, 得w),由①②相乘:m”-sinacosa5 sin209' 又cos28=4,所以sim20=1-cos2017 ,于是sinacosa= 511 210 91018 由①②相加:"+”_sina+cosa sine 11 两边平方: _1+2sinacosa 9_100 sin20 1 9 所以”+”=0, wv3,即 PFPE10 le 3 10 由①②消去m,整理得u= 2a(sine-cosa) 2a(sina-sine) V=- sina-cosa sina-cosa 答案第4页(共8页) 于是w- 4a2sin20-(sina+cosa)sin+sinacosa 1-2sinacosa 代入m0-0 sineo= ino 计算可得w=4g又由沟股定理:2@=+=(u+-2w=4-2.4红124 55 所以g-号专黄西 5 a 5 15.(1)设等差数列{an}公差为d,因为a2=3,所以a2=a+d=3, 因为8,=54+a)_10=54,8=4a4,所以54,=4a 2 2 则5(a+2d)=4(a+3d),解得5a+10d=4a+12d,即a=2d, a+d=3 联立 ∫a=2 4=2a,解得 d=1' 则an=a+(n-l)d=2+(n-l) 1=n+l. (2)由(1)知an=n+1,故an1=n+2, 1 1 (n+2)-(n+1))_11 a.a(n+1(n+2)(n+10(n+2)n+1n+2' 因为2>0,所以7-2n+2方 111 n+2 16.(1)由女生直方图各矩形面积之和为1,得10(0.01+0.02+a+0.025+0.005)=1,解得a=0.04. 以各组中值作为该组评分的代表值,女生平均分估计为 x=55 0.1+65 0.2+75 0.4+85 0.25+95 0.05=74.5. 所以a=0.04,女生评分的平均数约为74.5分 (2)男生合格频率为10(0.03+0.02+0.01)=0.6,女生合格频率为10(0.04+0.025+0.005)=0.7,故列联表 为: 性别 合格 不合格 合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 答案第5页(共8页) 提出零假设:评分等级与性别相互独立.由列联表计算得7=500120x0-80 210 -5.348. 200 300 330 170 因为5.348<6.635,所以在小概率值a=0.01的检验标准下,不能拒绝零假设,即没有充分证据认为评分 等级与该校报名者的性别有关联。 17.(1)如图所示,连接BD,交AC于O, 因为ABCD为平行四边形,所以O是BD的中点, 在 PBD中,E、O分别为PB、BD的中点,故EOIIPD, 又EOC平面ACE,PD平面ACE,所以PD∥平面ACE. (2)如图所示,过A做AF⊥BC于F,,再以A为原点,分别以AF,AD,P为x,y,z轴建立空间直角坐标 系, 设PA=h>0, 由∠BD=1m,可取40a0.D040.5-o0.c不53.P0a.马月-) 直线AE、PD的方向向量可分别取i=(V5,-,h),=(0,4,-h), h2+4-2 由两直线所成角为45”,得你+4F+16之 平方整理得2(h2+4)=2+16,所以h2=8,h=22. 可知亚=(0,022),AC=(53,0, 设平面PAC的法向量为i=(x,y,z), 7 AF=0[22z=0 可得 即 a.AC=0'即l3x+3y=0' 令y=1,解得x=一√5,z=0,即平面PAC的一个法向量为元=(-5,l,0) 设直线PD与平面PAC所成角为0,则sin0= 它列_4V6 同√24 26 18.(1)函数定义域为(0+),且f)=2+)-4女-2(x+2ax-a 当a=-1时,f()=0,f'(0=4. 故切线方程为y=-4(x-1),即y=-4x+4. (2)因为x>0,导数的符号由(x+2a(x-a)决定. 当a>0时,x+2a>0, 答案第6页(共8页) 当0<x<a时,f'(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减, 当x>a时,f'(x)>0,f(x)在(a,+oo)上单调递增: 当a<0时,x-a>0, 当0<x<-2a时,f'(x)<0,(x)在(0,-2a上单调递减, 当x>-2a时,f'"(x)>0,f(x)在(-2a,+o)上单调递增. (3)要使定义域内恒有f(x)>0,只需且必须使其最小值大于0. 当a>0时,∫(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+o)上单调递增, 最小值为f(a=4a2(1-na, 所以f(a)>0等价于na<l,得到0<a<e. 当a<0时,f(x)在(0,-2a上单调递减,在(-2a,+o)上单调递增. 最小值为f(-2a)=a2[1-4h(-2a)], 所以f-2a小>0等价于h(-2a)<好,得到-9<a<0. 2 19.(1)联立 -1,得-旷+2m=.即4ep-2k=0, y2=2px 所以x=0或x=2-2p. 故圆M与抛物线E的三个公共点分别为(0,0),(2-2p,2Vp(1-p可 这三点拾好构成等腰直角三角形,所以2-2p=2p(1-可,解得p=或p=1(舍去), 故E的标准方程为y2=x. (2)易知AB的斜率不为0,设直线AB方程为x=m+1,A(,),B(,),M(山,0). 联立{ 2=x,,得y2-my-1=0,所以 =m2+4>0,y+为=m=-4. GD因为AMB=60,M到AB距离d=-A=1,即m=F-24. √m2+1 因为∠AMB=60 , 答案第7页(共8页) 所以an∠AMB=k-k} 3-0-02-04+0-5, 1+kuk(-12-1)+yy-(经-+ 而2-0号-)=(0%}-[0y+y }-2y%]+1=-(m+24)+1=1, 且以-=Vm2+4=VP+2. 所以tanLAMB -小P+2 1-1 =√P+2=3,解得1=-3或t=1, 但t=1时,m2=-1<0舍去 放1=-3,m=士V厅,放直线B的斜率k=1=t压 m 15 (i)由|AM=AWAB,得 N-4,所以 MMN∽ MBM,从而∠AM=LMMB. AMAB 由0知mMa=F+2,而a2MNM=所F-2a 1 1 所以+2-2解得r-245,且m42 1 又由增aa则-ha. 由弦长公式知-原+=++F+a-+ 所以AMBM=AB-M=+1-1=P-1=1+v5. 答案第8页(共8页)