精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

青铜峡市宁朔中学2026-2027学年第一学期 高二年级数学月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 若三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 4. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的方程为 B. C. 原点到直线的距离为 D. 线段的中点在直线上 10. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点与点是直线上的两个不同的点，则__________ 13. 已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 14. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 与直线交于点． （1）求过点P且平行于直线的直线的方程； （2）求过点P且垂直于直线的直线的方程. 16. 已知的顶点为，直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若为，求的面积． 17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且． （1）求的长； （2）直线与所成角的余弦值． 18. 在正四棱柱中，为的中点． （1）取中点中点，求证：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求直线与平面所成角的正弦． 19. 正方体，，，分别为，，的中点． （1）在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2026-2027学年第一学期 高二年级数学月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而结合倾斜角的范围可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，可得， 所以该直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知向量，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 3. 若三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的坐标表示与共线定理，有，即可解得的值，进而可求的值. 【详解】. 因为三点共线，所以，即，解得， 则. 故选：A. 4. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【详解】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 5. 在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 6. 如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 7. 如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先判断二面角的平面角为，然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】因为正方形和正方形，所以， 因为平面平面，二面角的大小是， 所以，因为， 所以， 因为正方形和正方形的边长都是2，所以， 因为，所以， 而， 所以. 故选：A. 8. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 【答案】C 【解析】 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的方程为 B. C. 原点到直线的距离为 D. 线段的中点在直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及点坐标，再结合两点间的距离公式和点到直线距离公式逐项判断. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线， 由时，得点，由时，得点， 对于A，直线的方程为，故A正确； 对于B，因， 则，故B正确； 对于C，原点到直线的距离为，故C正确； 对于D，线段的中点为，此时， 故线段的中点不在直线上，故D错误. 10. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点与点是直线上的两个不同的点，则__________ 【答案】## 【解析】 【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率， 又因为直线的斜率，所以， 13. 已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 【答案】 【解析】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和，，则. 向量在上的投影长度. 根据勾股定理，点到直线的距离. 14. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_________________ 【答案】 【解析】 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或， 即k的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 与直线交于点． （1）求过点P且平行于直线的直线的方程； （2）求过点P且垂直于直线的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解方程组得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果. （2）设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果. 【小问1详解】 由，得，则点， 设过点且平行于直线的直线方程为， 则，解得， 所以直线的方程是. 【小问2详解】 设过点且垂直于直线的直线方程为， 则，解得， 则直线的方程是. 16. 已知的顶点为，直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 17. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且． （1）求的长； （2）直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示出，然后平方转化为数量积的运算； （2）用空间向量法求异面直线所成的角． 【小问1详解】 由题意，， ， ， ． 【小问2详解】 ，， ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 18. 在正四棱柱中，为的中点． （1）取中点中点，求证：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求直线与平面所成角的正弦． 【答案】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则， 令，解得． 又∵，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，写出点坐标，求出平面的一个法向量，再证明即可； （2）根据点到面的距离公式求解即可； （3）根据直线与平面的夹角公式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面的法向量，， ∴点到平面的距离． 【小问3详解】 ，平面的法向量， 设直线与平面所成角为则 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 正方体，，，分别为，，的中点． （1）在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）为线段的中点 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，在正方体中构造正六边形，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得到结果； （2）根据题意，由面面角的定义即可得到为平面与平面夹角，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 取的中点分别为，连接， 连接，而都经过正方体中心，两两相交，所以多边形为平面六边形，且边长相等，故为平面正六边形． 取的中点，记为，取的中点为，连接． ，，四边形为平行四边形，故， 面，面，面，故线段的中点满足题意． 【小问2详解】 延长相交于，过作，交于，连接， 面，，为平面与平面夹角， 设正方体边长为2，则，，， 故，平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $