2026—2027学年人教版九年级数学上册10月份学情自测重难点常考题型专项训练卷

人教版2026—2027学年九年级数学上册10月份学情自测重难点常考题型专项训练卷 （测试范围：第25、26章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（    ）． A． B． C． D． 3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（     ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 4．方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根 5．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（    ） A． B． C． D．5 7．若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（    ） A．3或5 B．3 C．4或5 D．5 8．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 9．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 12．若是关于的方程的两个根，且，则______． 13．二次函数的图象经过点，则关于x的一元二次方程的根为______． 14．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为_________． 15．烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s． 16．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解下列方程： (1) (2) 18．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 19．已知二次函数． (1)当x为何值时，y有最值？是多少？ (2)当时，求函数的最值． (3)当时．求函数的最值． 20．现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展. 据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0. 6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 21．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ (3)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 22．已知抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． (1)求该抛物线的表达式和对称轴． (2)若抛物线与直线有两个不同交点，求m的取值范围． (3)设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 23．已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2) 已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B B A A B D C 11． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 12． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 13．或 【详解】解：∵当时， ∴二次函数的图象经过点， ∵二次函数的图象也经过点， ∴二次函数的图象与x轴的交点为和， ∴关于x的方程的根为或， 故答案为：或． 14． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 15．5 【详解】解： ， 当时，最大高度为 所以从点火升空到引爆需要的时间为5s. 故答案为：5 16．1 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 17．【详解】（1）解：， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，． 18．(1) 证明： ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得，， ， ， 解得或， 即的值为或． 19．【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为10； （2）解：由（1）可得对称轴为直线 当时，y随x的增大而增大， ∴由知，当时，y取得最小值，最小值， 当时，y取得最大值，最大值； （3）解：由（1）可得对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小， ∴在范围内，当时，函数取得最大值，最大值，无最小值． 20．【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为； （2）解：由题意知，6月份的投递任务为：（万件）， （万件）， ∵， ∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务， ∵（万件）， ∴， ∴需要再添加3名快递员． 21．【详解】（1）由可知边所用篱笆为， ∴， ∴， 墙的长度不超过， ， ； （2）在中， 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， ， 当为，为时，矩形场地的面积为； （3），且， 当时，y取最大值，即矩形场地的面积最大为． 22．【详解】（1）解：根据题意， 解得：， ∴抛物线的表达式：； ∴抛物线的对称轴为：； （2）解：令，即， 根据题意：，即， 解得：； （3）解：令， 解得：， ∴， 将代入，则， ∴， 过点P作于H，则， ∵， ∴， ∴四边形的面积为 ． 23．【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 24．【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $