2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考模拟卷2

2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-2章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 3．如图，是菱形的对角线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴. 4．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的基本性质，只需对比各图形的性质，找出四个图形共同具备的性质即可. 【详解】解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等； 菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等； 矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等； 正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等； ∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确. 6．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 7．我国古代的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”，这就是大家熟悉的“赵爽弦图”．如图所示，，，，是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么等于（     ） A．4 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等得出，结合正方形性质求出的长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 8．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 9．如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依据折叠的性质以及勾股定理，即可得出的长，进而得到，再根据勾股定理可得，中，，列方程求解即可得到，进而得出点的坐标． 【解答】解：∵矩形纸片中，， ， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ∴， ∵点在第二象限， 的坐标为． 10．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 11．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 【答案】D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 12．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点到的距离为2，则可得动点在平行于且与之间的距离为2的直线上，再设直线与交于点，延长至点，使得，连接，，则线段的长即为所求，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， 解得， ∴如图，动点在平行于且与之间的距离为2的直线上， 设直线与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使得，连接，， ∴垂直平分，且， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出动点的运动轨迹． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．一元二次方程的解是______． 【答案】4或/或4 【详解】解：， 开方得：． 14．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_______． 【答案】6 【详解】解：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得： ． 15．若方程的两个实数根为，，则的值是______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式通分变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根为，， ∴根据根与系数的关系可得 ，， ∵， 将，代入， 得原式． 16．如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，G是的中点，线段（点E在点F的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是__． 【答案】 【分析】取的中点P，连接，，设与的交点为H，根据平行四边形的判定和性质，三角形中位线，得到，继而得到，根据，故当三点共线时，取得最小值，即F与H重合时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 如图，取的中点P，连接，，设与的交点为H， ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵正方形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵, 故当三点共线时，取得最小值，即F与H重合时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有． 【详解】略． 19．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）略 （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两根之和等于两根之积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有两个实数根，得出判别式大于等于0，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，得，，根据方程的两根之和等于两根之积，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：设分别是的两个根， ∵， ∴，， ∵方程的两根之和等于两根之积 ∴， ∴， 解得， 由（1）得， ∴． 21．如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作 交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． (3)要使四边形是正方形，需要给添加什么条件？直接写出你的答案． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； (2)解：四边形是矩形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； (3)解：当是直角三角形即时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，，又， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合矩形的判定即可求解； （3）当时，四边形是正方形，利用直角三角形的性质结合正方形的判定定理即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，       所以二次项的系数为1的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为；           当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 23．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点． 现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点． 例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点， (1)如图1，在菱形中，，点是上的类费马点， ①为的中点，为的中点，则________． ②为上一动点，为上一动点，且，则________． (2)如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小）， ①当时， ________． ②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值． 【答案】(1)①；② (2)①； ②如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的值最小，为的长，且点是的费马点， ，， ， 此时的最小值为． 【分析】（1）①取的中点，连接，根据菱形的定义和线段中点的定义可证明，得到，则，当、、三点共线时，有最小值，为，证明四边形是平行四边形，得到，即可求解；②由①知，，则的最小值为与之间的距离，过点作于，求出即可； （2）①将绕点顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质得到是等边三角形，推出，则，当、在线段上时，的值最小，为的长，连接，与的交点为点，与交于点，根据等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理得到，，，则，根据勾股定理以及三线合一求出，即可求解；②将绕点顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质得到得到是等边三角形，推出，则，当、在线段上时，的值最小，为的长，且点是的费马点，推出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，取的中点，连接， 四边形是菱形， ，， 为的中点，为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，为， ，， 四边形是平行四边形， ， ； ②由①知，， 、分别为、上的动点， 的最小值为与之间的距离， 如图，过点作于， ， ， ， ， 点是上的类费马点， ； （2）解：①如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的值最小，为的长， 连接，与的交点为点，与交于点， ，， ， ，， ，， ， ， 同理，， ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-2章（北师大版2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是菱形的对角线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 6．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．我国古代的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”，这就是大家熟悉的“赵爽弦图”．如图所示，，，，是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么等于（     ） A．4 B．5 C．9 D．10 8．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 9．如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 11．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 12．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．一元二次方程的解是______． 14．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_______． 15．若方程的两个实数根为，，则的值是______． 16．如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，G是的中点，线段（点E在点F的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是__． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 19．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两根之和等于两根之积，求k的值． 21．如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作 交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． (3)要使四边形是正方形，需要给添加什么条件？直接写出你的答案． 22．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 23．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点． 现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点． 例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点， (1)如图1，在菱形中，，点是上的类费马点， ①为的中点，为的中点，则________． ②为上一动点，为上一动点，且，则________． (2)如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小）， ①当时， ________． ②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $