专题02+有理数的运算（知识&考点&公式&8高频&3易错&5重难&6模型，期中知识清单）2026-2027学年青岛版数学七年级上册

null 专题02 有理数的运算 （青岛版·七年级上册 第2章 期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 识辨清单(10类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 思维导图 知识点01 有理数的加法 1、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； ③一个数同相加，仍得这个数． 2、有理数加法的运算律： ①加法交换律：； ②加法结合律：． 3、简便运算的常用技巧：①互为相反数的两个数先结合；②同号的数先结合；③能凑整的数先结合；④同分母（或容易通分）的数先结合． 知识点02 有理数的减法与加减混合运算 1、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即． 2、减法运算的“两变”：一是把减号变为加号，二是把减数变为它的相反数，被减数不变． 3、加减混合运算：先把减法统一成加法，再写成省略加号和括号的和的形式，最后运用加法运算律使计算简便． 4、写成省略加号的和的形式后，每个数前面的符号是性质符号，既可以看做运算符号，也可以看做这个数的符号． 知识点03 有理数的乘法 1、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同相乘，都得0． 2、多个不等于的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正（简记“奇负偶正”），再把绝对值相乘；只要有一个因数为，积就为0． 3、乘法运算律：①交换律；②结合律；③分配律． 知识点04 有理数的除法 1、倒数：乘积是1的两个数互为倒数；0没有倒数． 2、有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数，即（）． 3、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以任何一个不等于的数都得0；0不能作除数． 4、乘除混合运算：先把除法转化为乘法，再按乘法法则定符号、算绝对值． 知识点05 有理数的乘方 1、乘方的意义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，叫做底数，叫做指数． 2、乘方的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；的任何正整数次幂都是． 3、特别注意：，而，两者的底数不同，结果也不同． 知识点06 有理数的混合运算、科学记数法与近似数 1、有理数混合运算的顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，从左到右依次进行；③如有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行． 2、科学记数法：把一个绝对值大于的数表示成的形式（其中，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法． 3、近似数与精确度：通常用四舍五入法取近似值；近似数精确到哪一位，就说这个数精确到那一位，如万精确到百位． 4、用有理数的运算解决实际问题时，先规定正方向，再用正负数表示相反意义的量，最后列出算式进行计算． 考点01 有理数的加法与运算律 考点内容：有理数加法法则（同号相加、异号相加、与相加）；加法交换律与结合律；用运算律进行简便计算． ①直接计算两个有理数的和（先定符号，再算绝对值）； ②运用“同号结合、凑整结合、相反数结合、同分母结合”进行简便计算； ③已知绝对值或大小关系，求两数和的所有可能值（分类讨论）． 考点02 有理数的减法与加减混合运算 考点内容：减法法则（）；加减统一成加法；省略加号的和式；温差、水位等实际问题中的加减运算． ①直接进行减法与加减混合运算（先把减法统一成加法）； ②把加减混合算式写成省略加号的和的形式，正确读出一个数的性质符号； ③用正负数表示相反意义的量，求温差、水位变化、路程差等． 考点03 有理数的乘法与运算律 考点内容：乘法法则（同号得正、异号得负）；多个因数相乘的“奇负偶正”；乘法交换律、结合律、分配律． ①直接计算两个或多个有理数的积（先定符号，再算绝对值）； ②运用乘法分配律进行简便计算（）； ③由积的符号或绝对值的大小关系判断因数的符号、负因数的个数． 考点04 有理数的除法与倒数 考点内容：倒数的意义；除法法则（，）；乘除混合运算；不能作除数． ①求一个数的倒数（注意没有倒数，区分倒数与相反数）； ②进行除法与乘除混合运算（先把除法转化为乘法）； ③判断“除法可以用分配律”等易错说法是否正确． 考点05 有理数的乘方与符号规律 考点内容：乘方的意义（底数、指数、幂）；乘方的符号规律；与的区别；乘方在混合运算中的应用． ①计算有理数的乘方，特别是负数的乘方、分数与小数的乘方； ②区分与（看底数是否带负号和括号）； ③利用“个位数字的周期规律”“的规律”进行探究． 考点06 有理数的混合运算、科学记数法与近似数 考点内容：混合运算顺序；科学记数法；近似数与精确度；有理数运算的简单实际应用． ①按“先乘方、再乘除、后加减”进行混合运算（含绝对值、括号）； ②把大于的数用科学记数法表示，或把还原成原数； ③按精确度取近似值，判断一个近似数精确到哪一位； ④用有理数的运算解决质量、收支、行程、分段计费等实际问题． 1. 有理数的加法、减法与运算律 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 同号两数相加 ； ，；取相同的符号，并把绝对值相加 2 异号两数相加 （）；（） 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 3 有理数减法 减号变加号，减数变为它的相反数，被减数不变 4 加法运算律 ； 同号、凑整、互为相反数、同分母优先结合 5 有理数乘法 ；； 同号得正、异号得负，并把绝对值相乘 6 乘法运算律 ；； 分配律是简便计算的主要依据，逆向使用可“凑整” 2. 有理数的乘除、乘方与混合运算 序号 名称 公式（符号语言） 说明 7 有理数除法 （） 除以一个不等于的数等于乘它的倒数；不能作除数 8 乘方与混合运算顺序 （个）；先乘方再乘除后加减；（） “奇负偶正”；括号优先，同级从左到右；为正整数 识辨01 异号两数相加，要“符号随大、大减小”，不要丢掉符号 异号两数相加，应先比较绝对值的大小，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．常见错误是只算绝对值的差而漏写符号，或把“大减小”做成“小减大”． 识辨02 减法一定要做到“两变”，只变一处就会出错 把减法转化为加法时，必须同时做到两件事：减号变成加号、减数变成它的相反数．只把减号改成加号而减数不变（或相反）是典型错误． 识辨03 省略加号的和式里，数前面的符号是性质符号 把加减混合算式写成省略加号的形式后，每个数前面的符号既表示运算符号，又表示这个数本身的符号．交换加数位置时，要连同它前面的符号一起交换． 识辨04 多个因数相乘，“奇负偶正”，只看负因数的个数 几个不等于的有理数相乘，积的符号只由负因数的个数决定：奇数个为负、偶数个为正，与正因数的个数无关；算完符号后再把绝对值相乘． 识辨05 除法没有“左分配律”，不能拆开 成立，但不成立．遇到，必须先算括号内的和，再相除． 识辨06 没有倒数，也不能作除数 互为倒数的两个数乘积为，互为相反数的两个数和为，二者不要混淆；因为不能作除数，所以没有倒数． 识辨07 ，而，底数不同结果不同 的底数是，表示两个相乘，结果为；的底数是，表示的平方的相反数，结果为．看式子要先看括号． 识辨08 混合运算的顺序不能随意改变 有理数混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面的；同一级运算从左到右依次进行．随意“先凑整”而改变运算顺序会出错． 识辨09 科学记数法中，必须满足 用科学记数法表示绝对值大于的数时，是整数位只有一位的数，等于原数的整数位数减．写成或都不符合要求． 识辨10 取近似值时，末尾的不能随意去掉 近似数精确到哪一位，要看最后一位数字所在数位．万与万、与的精确度不同，四舍五入得到的末尾表示了精确度，不能省略． 【题型一】有理数的加法运算 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·即墨·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：B． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东青岛·市北·期中）已知，，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由得，由得． 因为，所以只能取，或，． 当，时，；当，时，． 所以的值为或，故选：C． 【变式1-2】（25-26七年级上·青岛版·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． （这里把能凑整的与结合，把互为相反数的与结合） 【题型二】有理数的减法与加减混合运算 【例2】（25-26七年级上·青岛版·期中综合评价）计算：． 【答案】 【详解】解：原式（先把减法统一成加法，写成省略加号的和） ． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东青岛·即墨·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2-2】（2025·山东济南·期末）某地一天早晨的气温是℃，中午上升了℃，到了深夜又下降了℃，则深夜的气温是________℃． 【答案】 【详解】解：规定上升为正、下降为负，则深夜的气温为 （℃）． 故答案为：． 【题型三】有理数的乘法运算 【例3】（25-26七年级上·山东青岛·李沧·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．有个负因数，积为负，，故A错误； B．，故B错误； C．有个负因数，积为正，且，故C正确； D．任何数同相乘都得，故D错误． 故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． （运用乘法分配律，可避免通分的麻烦） 【变式3-2】（25-26七年级上·山东青岛·期中）已知，，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 因为，所以，异号，积为负，即． 故选：B． 【题型四】有理数的除法与倒数 【例4】（25-26七年级上·青岛版·期中综合评价）计算：． 【答案】 【详解】解：原式（先算前两个数，同号得正） ． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，所以的倒数是． 故选：B． 【变式4-2】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式（先算括号里面的） ． 【题型五】有理数的乘方 【例5】（25-26七年级上·山东青岛·城阳·期中·改编）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故A错误； B．，而不是，故B错误； C．，故C正确； D．，而不是，故D错误． 故选：C． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东青岛·城阳·期中·改编）观察下列等式：，，，，，…，根据你发现的规律，可知的个位数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的正整数次幂的个位数字依次为，，，，，，，，…，每个一循环． 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，是． 故选：B． 【变式5-2】（25-26七年级上·青岛版·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【题型六】有理数的混合运算 【例6】（25-26七年级上·青岛版·期中综合评价）计算：． 【答案】 【详解】解：原式（先算乘方和括号） （再算乘除） ． 【变式6-1】（25-26七年级上·山东青岛·即墨·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式6-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【题型七】科学记数法与近似数 【例7】（2025·山东青岛·中考）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 【变式7-1】（25-26七年级上·山东青岛·城阳·期中）截至2025年10月，港珠澳大桥珠海公路口岸往来粤港澳三地的旅客数量已超过人次．将数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 故选：D． 【变式7-2】（2025·甘肃平凉·中考）2024年中国生产芯片约颗．数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 故选：C． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东青岛·期中）近似数万精确到（　　） A．百分位 B．百位 C．千位 D．万位 【答案】B 【详解】解：万，最后一位数字在百位上，所以万精确到百位． 故选：B． 【题型八】有理数运算的实际应用 【例8】（25-26七年级上·山东青岛·胶州·期中）某超市购进筐大白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来记录，记录如下（单位：千克）： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； (1)这筐大白菜与标准质量相比，总质量超出或不足多少千克？ (2)这筐大白菜一共多少千克？ (3)若每千克大白菜售价元，则这筐大白菜可以卖多少元？ 【答案】(1)超出千克；(2)千克；(3)元 【详解】解：(1) （千克）． 答：与标准质量相比，这筐大白菜的总质量超出千克． (2)（千克）． 答：这筐大白菜一共千克． (3)（元）． 答：这筐大白菜可以卖元． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东青岛·即墨·期中）小明家购置了一辆新能源汽车，充满电后连续天每天行驶的路程记录如下（单位：km，以 km为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）： ，，，，，，． (1)这天中，行驶路程最多的一天比最少的一天多走多少千米？ (2)这天一共行驶多少千米？ 【答案】(1) km；(2) km 【详解】解：(1)最多的一天行驶（km），最少的一天行驶（km）． （km）． 答：最多的一天比最少的一天多走 km． (2)（km）． 答：这天一共行驶 km． 【变式8-2】（25-26七年级上·青岛版·期末）某水库上周末的水位是 m，警戒水位是 m．本周水位的变化情况为：周一上升 m，周二下降 m，周三下降 m，周四上升 m，周五下降 m． (1)本周末的水位是多少米？ (2)本周末的水位是否超过警戒水位？ 【答案】(1) m；(2)没有超过警戒水位 【详解】解：(1)规定上升为正、下降为负，则本周水位总变化量为 （m）． （m）． 答：本周末的水位是 m． (2)因为，所以本周末的水位没有超过警戒水位． 【题型一】混淆与、运算顺序出错 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，底数是，故A错误； B．，底数是，故B错误； C．，先算，再取相反数，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 易错警示：看到乘方先“看底数”——有括号时底数带负号，无括号时底数不带负号．的底数是，的底数是，两者结果相差一个符号． 【变式1-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式（先算乘方） （再算除法） ． 【题型二】误用运算律（把除法当成了可以分配） 【例2】（25-26七年级上·青岛版·期中）下面是小明同学计算的过程： 解：原式　第一步 　第二步 ．　第三步 (1)小明的计算过程是否正确？若不正确，请指出错误原因； (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)不正确，第一步就错了，除法没有“左分配律”；(2) 【详解】解：(1)不正确．错误出在第一步：除法不满足， 即被除数相同、除数是和的形式时，不能把除号“分配”到每一项． (2)正确过程：原式 ． 易错警示：是成立的（分配到被除数），但不成立．计算必须先算括号内的和． 【变式2-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）计算：与． 【答案】； 【详解】解：； ． （乘法可以用分配律，除法不能这样用，必须先算括号） 【题型三】科学记数法与近似数的易错 【例3】（2025·山东淄博·中考·改编）2024年至月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：万，所以． 故选：B． 易错警示：带“万”“亿”单位的数，要先化成原数再用科学记数法表示；中必须满足，所以而不是． 【变式3-1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）按括号内的要求，用四舍五入法取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到）； (3)（精确到千位）． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】解：(1)； (2)（百分位上的不能去掉，它表示精确到）； (3)（或万）． 【题型一】有理数运算中的新定义问题 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）对于有理数，，规定一种新运算“※”：※．求※的值． 【答案】 【详解】解：根据新运算的规定，把，代入： ※ ． 所以※的值是． 【变式1-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）对于有理数，（），规定：．求的值． 【答案】 【详解】解：先算括号里面的：； 再算：． 所以的值是． 【题型二】数轴与有理数运算的综合 【例2】（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求，两点之间的距离； (2)若点沿数轴向右移动个单位长度到达点，求点表示的数，以及，两点之间的距离； (3)若点到点、点的距离相等，求点表示的数． 【答案】(1)；(2)点表示，距离为；(3) 【详解】解：(1)，两点之间的距离为． (2)点表示的数为； ，两点之间的距离为． (3)点到，两点的距离相等，所以点表示的数是，所表示的数的和的一半： ． 【变式2-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）点从数轴上表示的点出发，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，最后向右移动个单位长度． (1)此时点表示的数是多少？ (2)点一共移动了多少个单位长度？ 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)规定向右为正、向左为负，则点表示的数为 ． (2)一共移动了（个）单位长度． 【题型三】有理数运算的规律探究（裂项相消） 【例3】（25-26七年级上·青岛版·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；…… (1)请写出第个等式； (2)利用上述规律计算：． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)第个等式为． (2)原式 ． 【变式3-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）利用上面“裂项相消”的方法计算：． 【答案】 【详解】解：因为，，…，， 所以原式 ． 【题型四】含绝对值的有理数运算 【例4】（25-26七年级上·山东青岛·期中）已知，且，则下列说法正确的是（　　） A．，同为正数 B．，同为负数 C．，异号 D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以，． 当时，；当时，．同理可讨论． 由可知，这两个数一个是、另一个是， 所以，一正一负，即，异号． 故选：C． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）已知，，且，求的值． 【答案】或 【详解】解：由得，由得． 又因为，所以只能取，或，． 当，时，； 当，时，． 所以的值为或． 【题型五】有理数运算的实际综合（分段计费） 【例5】（2026·山东青岛·期末）某市居民生活用水收费标准：每户每月用水量不超过吨的部分，按元/吨收费；超过吨的部分，按元/吨收费．小明家9月份交水费元，求小明家9月份的用水量． 【答案】吨 【详解】解：吨水的水费为（元）． 因为，所以小明家9月份用水超过吨． 超过部分的水费为（元），超过部分的用水量为（吨）． 所以小明家9月份的用水量为（吨）． 答：小明家9月份用水吨． 【变式5-1】（2026·山东青岛·期末）某市出租车收费标准：起步价元（含 km），超过 km的部分每千米收费元（不足 km按 km计算）．小王乘出租车行驶了 km，应付车费多少元？ 【答案】元 【详解】解：超过 km的部分为（km），这部分的车费为（元）． 所以应付车费为（元）． 答：应付车费元． 【题型一】同号相加模型——“同号相加，符号不变，绝对值相加” 【例1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：两个数都是负数，取“”号，并把绝对值相加： ． 【变式1-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【题型二】异号相加模型——“大减小，符号随大” 【例2】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：因为，所以结果取“”号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值： ． 【变式2-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【题型三】减法转加法模型——“两变一不变” 【例3】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：减号变加号，减数变成它的相反数，被减数不变： ． 【变式3-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【题型四】乘法符号判定模型——“奇负偶正，有零得零” 【例4】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）判断的符号，并求出它的值． 【答案】符号为负，值为 【详解】解：负因数有个，是奇数个，所以积为负； 再把绝对值相乘：． 所以原式． 【变式4-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：算式中含有因数，所以积为（不必再判断负因数的个数）． 【题型五】乘方运算模型——“看底数、数奇偶” 【例5】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：与． 【答案】； 【详解】解：的底数是，表示； 的底数是，表示． 【变式5-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． （的奇次幂是，偶次幂是） 【题型六】混合运算顺序模型——“先乘方、再乘除、后加减” 【例6】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式（先算乘方） （再算乘除） ． 【变式6-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 技巧 一句话要点 有理数加法——“符号三步法” 一看符号（同号还是异号），二定符号，三算绝对值（同号相加、异号相减）． 减法运算——“两变一不变” 减号变加号、减数变相反数、被减数不变． 加减混合——“统一成加法” 先把减法统一成加法，写成省略加号的和式，再用运算律“凑整”． 乘法符号——“奇负偶正” 数一数负因数的个数，奇数个为负、偶数个为正；有因数则积为． 除法运算——“一化二定三约” 先把除法化成乘法（乘除数的倒数），再定符号，最后约分计算；不能作除数． 乘方运算——“看底数、数奇偶” 先看清底数是否带负号和括号，再用“奇负偶正”定符号． 混合运算——“三级顺序” 先乘方、再乘除、后加减；括号优先，同级运算从左到右． 简便计算——“四优先结合” 同号优先、凑整优先、互为相反数优先、同分母优先． 科学记数法——“定点移位” 中；小数点向左移几位，就是几． 近似数——“看下一位四舍五入” 精确到哪一位，就看它的下一位四舍五入；末尾的表示精确度，不能丢． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题02 有理数的运算 （青岛版·七年级上册 第2章 期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 识辨清单(10类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 思维导图 知识点01 有理数的加法 1、有理数加法法则： ①同号两数相加，取 的符号，并把绝对值 ； ②绝对值不相等的异号两数相加，取 的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 ； ③一个数同相加，仍得 ． 2、有理数加法的运算律： ①加法交换律：；②加法结合律：． 3、简便运算的常用技巧：①互为相反数的两个数先结合；②同号的数先结合；③能凑整的数先结合；④同分母（或容易通分）的数先结合． 知识点02 有理数的减法与加减混合运算 1、有理数减法法则：减去一个数，等于 ，即． 2、减法运算的“两变”：一是把减号变为 ，二是把减数变为它的 ，被减数不变． 3、加减混合运算：先把减法统一成 ，再写成省略加号和括号的 的形式，最后运用加法运算律使计算简便． 4、写成省略加号的和的形式后，每个数前面的符号是 ，既可以看做运算符号，也可以看做这个数的符号． 知识点03 有理数的乘法 1、有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；任何数同相乘，都得 ． 2、多个不等于的有理数相乘，积的符号由 的个数决定：负因数有 数个时积为负，有 数个时积为正（简记“奇负偶正”），再把绝对值相乘；只要有一个因数为，积就为 ． 3、乘法运算律：①交换律；②结合律；③分配律． 知识点04 有理数的除法 1、倒数：乘积是 的两个数互为倒数； 没有倒数． 2、有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于 ，即（）． 3、两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；除以任何一个不等于的数都得 ； 不能作除数． 4、乘除混合运算：先把除法转化为 ，再按乘法法则定符号、算绝对值． 知识点05 有理数的乘方 1、乘方的意义：求 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做 ．在中，叫做 ，叫做 ． 2、乘方的符号规律：正数的任何次幂都是 数；负数的 次幂是负数，负数的 次幂是正数；的任何正整数次幂都是 ． 3、特别注意：，而，两者的 不同，结果也不同． 知识点06 有理数的混合运算、科学记数法与近似数 1、有理数混合运算的顺序：①先算 ，再算 ，最后算 ；②同级运算，从 到 依次进行；③如有括号，先算括号里面的，并按 括号、 括号、 括号的顺序进行． 2、科学记数法：把一个绝对值大于的数表示成的形式（其中，为 ），这种记数方法叫做科学记数法． 3、近似数与精确度：通常用 法取近似值；近似数精确到哪一位，就说这个数精确到那一位，如万精确到 位． 4、用有理数的运算解决实际问题时，先规定 ，再用正负数表示相反意义的量，最后列出算式进行计算． 考点01 有理数的加法与运算律 考点内容：有理数加法法则（同号相加、异号相加、与相加）；加法交换律与结合律；用运算律进行简便计算． ①直接计算两个有理数的和（先定符号，再算绝对值）； ②运用“同号结合、凑整结合、相反数结合、同分母结合”进行简便计算； ③已知绝对值或大小关系，求两数和的所有可能值（分类讨论）． 考点02 有理数的减法与加减混合运算 考点内容：减法法则（）；加减统一成加法；省略加号的和式；温差、水位等实际问题中的加减运算． ①直接进行减法与加减混合运算（先把减法统一成加法）； ②把加减混合算式写成省略加号的和的形式，正确读出一个数的性质符号； ③用正负数表示相反意义的量，求温差、水位变化、路程差等． 考点03 有理数的乘法与运算律 考点内容：乘法法则（同号得正、异号得负）；多个因数相乘的“奇负偶正”；乘法交换律、结合律、分配律． ①直接计算两个或多个有理数的积（先定符号，再算绝对值）； ②运用乘法分配律进行简便计算（）； ③由积的符号或绝对值的大小关系判断因数的符号、负因数的个数． 考点04 有理数的除法与倒数 考点内容：倒数的意义；除法法则（，）；乘除混合运算；不能作除数． ①求一个数的倒数（注意没有倒数，区分倒数与相反数）； ②进行除法与乘除混合运算（先把除法转化为乘法）； ③判断“除法可以用分配律”等易错说法是否正确． 考点05 有理数的乘方与符号规律 考点内容：乘方的意义（底数、指数、幂）；乘方的符号规律；与的区别；乘方在混合运算中的应用． ①计算有理数的乘方，特别是负数的乘方、分数与小数的乘方； ②区分与（看底数是否带负号和括号）； ③利用“个位数字的周期规律”“的规律”进行探究． 考点06 有理数的混合运算、科学记数法与近似数 考点内容：混合运算顺序；科学记数法；近似数与精确度；有理数运算的简单实际应用． ①按“先乘方、再乘除、后加减”进行混合运算（含绝对值、括号）； ②把大于的数用科学记数法表示，或把还原成原数； ③按精确度取近似值，判断一个近似数精确到哪一位； ④用有理数的运算解决质量、收支、行程、分段计费等实际问题． 1. 有理数的加法、减法与运算律 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 同号两数相加 ； ，；取相同的符号，并把绝对值相加 2 异号两数相加 （）；（） 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 3 有理数减法 减号变加号，减数变为它的相反数，被减数不变 4 加法运算律 ； 同号、凑整、互为相反数、同分母优先结合 5 有理数乘法 ；； 同号得正、异号得负，并把绝对值相乘 6 乘法运算律 ；； 分配律是简便计算的主要依据，逆向使用可“凑整” 2. 有理数的乘除、乘方与混合运算 序号 名称 公式（符号语言） 说明 7 有理数除法 （） 除以一个不等于的数等于乘它的倒数；不能作除数 8 乘方与混合运算顺序 （个）；先乘方再乘除后加减；（） “奇负偶正”；括号优先，同级从左到右；为正整数 识辨01 异号两数相加，要“符号随大、大减小”，不要丢掉符号 异号两数相加，应先比较绝对值的大小，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．常见错误是只算绝对值的差而漏写符号，或把“大减小”做成“小减大”． 识辨02 减法一定要做到“两变”，只变一处就会出错 把减法转化为加法时，必须同时做到两件事：减号变成加号、减数变成它的相反数．只把减号改成加号而减数不变（或相反）是典型错误． 识辨03 省略加号的和式里，数前面的符号是性质符号 把加减混合算式写成省略加号的形式后，每个数前面的符号既表示运算符号，又表示这个数本身的符号．交换加数位置时，要连同它前面的符号一起交换． 识辨04 多个因数相乘，“奇负偶正”，只看负因数的个数 几个不等于的有理数相乘，积的符号只由负因数的个数决定：奇数个为负、偶数个为正，与正因数的个数无关；算完符号后再把绝对值相乘． 识辨05 除法没有“左分配律”，不能拆开 成立，但不成立．遇到，必须先算括号内的和，再相除． 识辨06 没有倒数，也不能作除数 互为倒数的两个数乘积为，互为相反数的两个数和为，二者不要混淆；因为不能作除数，所以没有倒数． 识辨07 ，而，底数不同结果不同 的底数是，表示两个相乘，结果为；的底数是，表示的平方的相反数，结果为．看式子要先看括号． 识辨08 混合运算的顺序不能随意改变 有理数混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面的；同一级运算从左到右依次进行．随意“先凑整”而改变运算顺序会出错． 识辨09 科学记数法中，必须满足 用科学记数法表示绝对值大于的数时，是整数位只有一位的数，等于原数的整数位数减．写成或都不符合要求． 识辨10 取近似值时，末尾的不能随意去掉 近似数精确到哪一位，要看最后一位数字所在数位．万与万、与的精确度不同，四舍五入得到的末尾表示了精确度，不能省略． 【题型一】有理数的加法运算 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·即墨·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东青岛·市北·期中）已知，，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（25-26七年级上·青岛版·期中）用简便方法计算：． 【题型二】有理数的减法与加减混合运算 【例2】（25-26七年级上·青岛版·期中综合评价）计算：． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东青岛·即墨·期中）计算：． 【变式2-2】（2025·山东济南·期末）某地一天早晨的气温是℃，中午上升了℃，到了深夜又下降了℃，则深夜的气温是________℃． 【题型三】有理数的乘法运算 【例3】（25-26七年级上·山东青岛·李沧·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）用简便方法计算：． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东青岛·期中）已知，，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型四】有理数的除法与倒数 【例4】（25-26七年级上·青岛版·期中综合评价）计算：． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【题型五】有理数的乘方 【例5】（25-26七年级上·山东青岛·城阳·期中·改编）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·山东青岛·城阳·期中·改编）观察下列等式：，，，，，…，根据你发现的规律，可知的个位数字是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·青岛版·期中）计算：． 【题型六】有理数的混合运算 【例6】（25-26七年级上·青岛版·期中综合评价）计算：． 【变式6-1】（25-26七年级上·山东青岛·即墨·期中）计算：． 【变式6-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）计算：． 【题型七】科学记数法与近似数 【例7】（2025·山东青岛·中考）2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级上·山东青岛·城阳·期中）截至2025年10月，港珠澳大桥珠海公路口岸往来粤港澳三地的旅客数量已超过人次．将数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·甘肃平凉·中考）2024年中国生产芯片约颗．数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级上·山东青岛·期中）近似数万精确到（　　） A．百分位 B．百位 C．千位 D．万位 【题型八】有理数运算的实际应用 【例8】（25-26七年级上·山东青岛·胶州·期中）某超市购进筐大白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来记录，记录如下（单位：千克）： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； (1)这筐大白菜与标准质量相比，总质量超出或不足多少千克？ (2)这筐大白菜一共多少千克？ (3)若每千克大白菜售价元，则这筐大白菜可以卖多少元？ 【变式8-1】（25-26七年级上·山东青岛·即墨·期中）小明家购置了一辆新能源汽车，充满电后连续天每天行驶的路程记录如下（单位：km，以 km为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）： ，，，，，，． (1)这天中，行驶路程最多的一天比最少的一天多走多少千米？ (2)这天一共行驶多少千米？ 【变式8-2】（25-26七年级上·青岛版·期末）某水库上周末的水位是 m，警戒水位是 m．本周水位的变化情况为：周一上升 m，周二下降 m，周三下降 m，周四上升 m，周五下降 m． (1)本周末的水位是多少米？ (2)本周末的水位是否超过警戒水位？ 【题型一】混淆与、运算顺序出错 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）计算：． 【题型二】误用运算律（把除法当成了可以分配） 【例2】（25-26七年级上·青岛版·期中）下面是小明同学计算的过程： 解：原式　第一步 　第二步 ．　第三步 (1)小明的计算过程是否正确？若不正确，请指出错误原因； (2)请写出正确的计算过程． 【变式2-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）计算：与． 【题型三】科学记数法与近似数的易错 【例3】（2025·山东淄博·中考·改编）2024年至月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）按括号内的要求，用四舍五入法取近似值： (1)（精确到）； (2)（精确到）； (3)（精确到千位）． 【题型一】有理数运算中的新定义问题 【例1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）对于有理数，，规定一种新运算“※”：※．求※的值． 【变式1-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）对于有理数，（），规定：．求的值． 【题型二】数轴与有理数运算的综合 【例2】（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求，两点之间的距离； (2)若点沿数轴向右移动个单位长度到达点，求点表示的数，以及，两点之间的距离； (3)若点到点、点的距离相等，求点表示的数． 【变式2-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）点从数轴上表示的点出发，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，最后向右移动个单位长度． (1)此时点表示的数是多少？ (2)点一共移动了多少个单位长度？ 【题型三】有理数运算的规律探究（裂项相消） 【例3】（25-26七年级上·青岛版·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；…… (1)请写出第个等式； (2)利用上述规律计算：． 【变式3-1】（25-26七年级上·青岛版·期中）利用上面“裂项相消”的方法计算：． 【题型四】含绝对值的有理数运算 【例4】（25-26七年级上·山东青岛·期中）已知，且，则下列说法正确的是（　　） A．，同为正数 B．，同为负数 C．，异号 D． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）已知，，且，求的值． 【题型五】有理数运算的实际综合（分段计费） 【例5】（2026·山东青岛·期末）某市居民生活用水收费标准：每户每月用水量不超过吨的部分，按元/吨收费；超过吨的部分，按元/吨收费．小明家9月份交水费元，求小明家9月份的用水量． 【变式5-1】（2026·山东青岛·期末）某市出租车收费标准：起步价元（含 km），超过 km的部分每千米收费元（不足 km按 km计算）．小王乘出租车行驶了 km，应付车费多少元？ 【题型一】同号相加模型——“同号相加，符号不变，绝对值相加” 【例1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【变式1-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【题型二】异号相加模型——“大减小，符号随大” 【例2】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【变式2-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【题型三】减法转加法模型——“两变一不变” 【例3】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【变式3-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【题型四】乘法符号判定模型——“奇负偶正，有零得零” 【例4】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）判断的符号，并求出它的值． 【变式4-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【题型五】乘方运算模型——“看底数、数奇偶” 【例5】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：与． 【变式5-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【题型六】混合运算顺序模型——“先乘方、再乘除、后加减” 【例6】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 【变式6-1】（25-26七年级上·青岛版·课后作业）计算：． 技巧 一句话要点 有理数加法——“符号三步法” 一看符号（同号还是异号），二定符号，三算绝对值（同号相加、异号相减）． 减法运算——“两变一不变” 减号变加号、减数变相反数、被减数不变． 加减混合——“统一成加法” 先把减法统一成加法，写成省略加号的和式，再用运算律“凑整”． 乘法符号——“奇负偶正” 数一数负因数的个数，奇数个为负、偶数个为正；有因数则积为． 除法运算——“一化二定三约” 先把除法化成乘法（乘除数的倒数），再定符号，最后约分计算；不能作除数． 乘方运算——“看底数、数奇偶” 先看清底数是否带负号和括号，再用“奇负偶正”定符号． 混合运算——“三级顺序” 先乘方、再乘除、后加减；括号优先，同级运算从左到右． 简便计算——“四优先结合” 同号优先、凑整优先、互为相反数优先、同分母优先． 科学记数法——“定点移位” 中；小数点向左移几位，就是几． 近似数——“看下一位四舍五入” 精确到哪一位，就看它的下一位四舍五入；末尾的表示精确度，不能丢． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $