第10讲 函数（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第10讲 函数 （新教材北师大版） 知识点一．常量与变量 2 知识点二．函数的概念 2 知识点三．函数关系式 2 知识点四．函数自变量的取值范围 3 知识点五．函数值 3 知识点六．函数的图象 3 知识点七．动点问题的函数图象 3 知识点八．函数的表示方法 3 【题型1 函数的概念】 4 【题型2 求自变量取值范围】 5 【题型3 求自变量的值或函数值】 6 【题型4 函数的三种表示方法】 7 【题型5 函数解析式】 9 【题型6 函数图像识别】 10 【题型7 从函数的图像获取信息】 12 【题型8 动点问题的函数图像】 13 【探究式学习】 15 【课后检测】 17 【复盘笔记】 24 知识点一．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点二．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点三．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点四．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点五．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点六．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点七．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点八．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 【题型1 函数的概念】 【例1】．（2026·江苏常州·中考真题）如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为．一段时间内，小球距离操作台台面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（     ） A．释放小球的位置距离操作台台面的高度是 B．小球距离操作台台面的最低高度是 C．当时，小球在的右侧 D．当从增大到时，小球距离操作台台面的高度越来越大 【变式1-1】下列说法正确的是（     ） A．变量x，y满足，则y是x的函数 B．变量x，y满足，则y是x的函数 C．变量x，y满足，则y是x的函数 D．变量x，y满足，则y是x的函数 【变式1-2】下列表达形式中，能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． 年份x 2010 2020 人口数y/亿 13.71 14.12 D．   【变式1-3】下列各曲线不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 求自变量取值范围】 【例2】（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式2-1】小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】等腰三角形的周长是，腰长是底边长的函数，此函数解析式和自变量取值范围正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知是关于的函数，函数图象如图，则当时，自变量的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【题型3 求自变量的值或函数值】 【例3】．（2026·江苏淮安·中考真题）在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（     ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A． B． C． D． 【变式3-1】图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的有几个（     ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流） ①电阻的初始阻值为 ②当的阻值为时，报警器会报警 ③传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 ④定值电阻的阻值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（如图①中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图②），空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度c的关系见图③．下列说法不正确的是（     ） A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，的阻值越小 B．当浓度c为时，的阻值为 C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D．当时，燃气报警器为报警状态 【变式3-3】在一次实验中，小明同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，所挂物体的质量与弹簧长度的几组对应值如表格所示，下列结论中，错误的是（     ） 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 A．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而变长 B．不挂物体时，弹簧长 C．当所挂物体的质量为时，弹簧长度是 D．当弹簧长度为（在弹性限度内）时，所挂物体的质量是 【题型4 函数的三种表示方法】 【例4】．（25-26八年级下·河南商丘·期末）下列不能表示y是x的函数的是（     ） A． x … 0 1 2 … y … 3 0 … B． C．   D．   【变式4-1】下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   【变式4-2】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【变式4-3】漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【题型5 函数解析式】 【例5】（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】变量随变化的关系式如图所示，当的大小从变化到时，的变化情况是（     ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 【变式5-2】下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（     ） ①正方形边长为5，若边长增加，则面积增加，是的函数； ②表达式中，是的函数； ③下表中，是的函数； 1 2 3 8 9 2 ④如图中，曲线表示是的函数． A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式5-3】一个蓄水池有50m3的水，打开放水闸门放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下列说法不正确的是（　　） 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中的水量（） 48 46 44 42 … A．每分钟放水 B．放水10分钟后，水池中还有的水 C．水池中的水量是自变量，放水时间是因变量 D．放水25分钟，水池中的水全部放完 【题型6 函数图像识别】 【例6】（25-26八年级下·吉林长春·期末）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出，能刻画蓄水池中水的高度h（米）与放水时间t（时）的函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】甘德尔山隧道是内蒙古自治区最长的高速铁路隧道，全长．如图，一辆列车匀速通过隧道（隧道长大于列车长）时，从车头进入隧道开始计时，到车尾驶出隧道计时结束，在这个过程中，列车在隧道内的长度y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系用图象描述大致是（     ） A． B． C． D． 【题型7 从函数的图像获取信息】 【例7】某数学兴趣小组在“音乐与数学”实践活动中，将一段乐曲的音高（单位：级）与时间（单位：拍）的关系用函数图象表示，如图所示． 根据该图象，下列说法正确的是（     ） A．在拍时，音高为 B．从第2拍结束到第3拍结束，音高升高了2级 C．该段乐曲的音高始终大于1级 D．在0到4拍内，音高最大值与最小值的差为4 【变式7-1】如图，在我校女子800米比赛中，小莹和小珊所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，下列说法正确的是（     ） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．小珊的平均速度比小莹的平均速度大 【变式7-2】已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图，图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象，下列结论不正确的是（     ） A．体育场离该同学家2.5千米． B．该同学在体育场锻炼了15分钟． C．该同学跑步的平均速度是步行的平均速度的2倍． D．若该同学骑行的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 【变式7-3】硫酸钠（）是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度y（g）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【题型8 动点问题的函数图像】 【例8】（安徽合肥·模拟预测）如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，关于的函数图象如图2所示．当时，的值是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】周末，小明从家出发晨练，他不间断地匀速跑了后回家．小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数图像如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（     ）． A． B． C． D． 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）数学活动课上，同学们在探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，同学们发现：每增加一个纸杯，叠在一起的纸杯增加的高度是一样的，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图，纸杯的个数与纸杯的高度的关系如下表：根据上表，回答以下问题： 纸杯的个数 纸杯的高度（） 1 8 2 3 4 … … (1)表中有两个变量，分别是__________和__________； (2)请同学们用自己喜欢的字母表示上述两个变量，建立一个函数关系，用来描述变量之间的变化规律； (3)若有25个上述规格的纸杯，求其叠放在一起的高度． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．如图1，可得等式，现用四个长与宽分别为，的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： ①【探索发现】观察图2，若，，则 ． ②【解决问题】我们还可以利用图1中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，求的值． 解：设，，则，． ． 请仿照上面的方法，求解下面问题：当，则的值为多少？ (2)如图1，在长方形中，，动点以的速度从点出发，沿的路径运动，记的面积为．与运动时间（单位：）的关系如图2所示． ①求的长； ②求图2中，的值； ③求点在线段上运动时，与的关系式． 【课后检测】 1．（26-27八年级上·全国·单元测试）下列各曲线中不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）南宁某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天小时的气温变化情况．下列说法正确的是（     ） A．上午点时，该地气温最低 B．这一天早上点之后，该地气温一直在升高 C．该地这天的最高与最低气温差大约是 D．该地这天只有一个时刻的气温达到摄氏度 3．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·广西崇左·阶段检测）下列图形中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积 B．当加入絮凝剂的体积为时，净水率最高 C．未加入絮凝剂时，净水率为0 D．随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低 6．（25-26八年级下·云南红河·期末）李想从家跑步到书店，在那里看一会儿书，过了一段时间后又跑步到他妈妈公司，然后步行回家（李想家、李想妈妈公司、书店依次在同一直线上），如图表示的是李想离家的距离与时间的关系．下列说法不正确的是（     ） A．李想家到书店的距离为 B．李想在他妈妈公司待了 C．李想在书店看书时间是 D．李想家离他妈妈公司 7．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）甲、乙两种植物在下，净光合速率随浓度的变化趋势如图所示，则下列说法中，错误的是（     ） A．当浓度为时，甲的净光合速率比乙的净光合速率大 B．当浓度为时，甲、乙的净光合速率相同 C．在浓度未达到时，浓度对甲的净光合速率影响比对乙的净光合速率影响大 D．随着浓度增加，甲、乙两种植物的净光合速率先增加后逐渐趋于稳定 8．（2026·辽宁·中考真题）一个试验室在保持的恒温，在匀速升温至，试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数图像如图所示，则这个试验室在时的温度为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路线前往．如图，，分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程/千米与所用的时间/时的关系，下列说法错误的是（    ） A．小斌比小明晚走2小时 B．小斌的速度是小明速度的2倍 C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明 10．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度与注水时间的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法错误的是（     ） A．注水前，蓄水池水的初始深度为0.2米 B．水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C．注水时间为1.6小时时水泵报警 D．注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.2米 11．（2026·江苏常州·中考真题）正方形的周长关于它的边长的函数表达式为__________． 12．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知一个长方形的长为，宽比长少，设长方形的面积为，则与的变量关系式为________． 13．（25-26七年级下·四川乐山·期末）在中，如果，那么________． 14．（2026·山东济南·中考真题）某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发，七年级经过抵达目的地．两个年级之间的距离（单位：）和七年级出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是________． 15．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．则与的函数关系式为________． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）党的十八大以来，通过推进城乡人居环境整治等系列工程，我国城乡人居环境明显改善，美丽中国建设成效显著．下表是2014年至2020年我国城市绿地面积的统计情况： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 城市绿地面积/万公顷 252.80 266.96 278.61 292.13 304.71 315.29 331.22 (1)其中有哪些变量？ (2)可以把其中的哪个变量看作另一个变量的函数？ 17．（26-27八年级下·全国·课后作业）在某超市中，橙子标价为12元/千克．设购买这种橙子，付费y元． (1)请指出这个过程中的常量和变量． (2)请写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 18．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图是某地区学生的平均体重随年龄（岁）变化的图象． (1)在哪个年龄段，女生的平均体重略高于男生的平均体重？ (2)从哪个年龄开始，男生的平均体重超过了女生的平均体重？ 19．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是________米，甲起飞________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若乙起飞后，两架无人机所在的高度相差米，请直接写出的值． 20．（25-26八年级下·北京丰台·期末）如图，矩形长为3，宽为2．若长和宽各增加，则矩形面积增加． (1)补全表格； 1 2 3 4 6 14 36 (2)求出关于的函数解析式． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第10讲 函数 （新教材北师大版） 知识点一．常量与变量 2 知识点二．函数的概念 2 知识点三．函数关系式 2 知识点四．函数自变量的取值范围 3 知识点五．函数值 3 知识点六．函数的图象 3 知识点七．动点问题的函数图象 3 知识点八．函数的表示方法 3 【题型1 函数的概念】 4 【题型2 求自变量取值范围】 6 【题型3 求自变量的值或函数值】 8 【题型4 函数的三种表示方法】 12 【题型5 函数解析式】 14 【题型6 函数图像识别】 17 【题型7 从函数的图像获取信息】 19 【题型8 动点问题的函数图像】 22 【探究式学习】 25 【课后检测】 28 【复盘笔记】 40 知识点一．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点二．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点三．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点四．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点五．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点六．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点七．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点八．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 【题型1 函数的概念】 【例1】．（2026·江苏常州·中考真题）如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为．一段时间内，小球距离操作台台面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（     ） A．释放小球的位置距离操作台台面的高度是 B．小球距离操作台台面的最低高度是 C．当时，小球在的右侧 D．当从增大到时，小球距离操作台台面的高度越来越大 【答案】C 【分析】分析图2，原点纵坐标上对应点释放位置，而后小球开始摆动，在、处位于最低点，判断相应选项是否符合即可． 【详解】选项，由图2对照分析可知，释放小球的位置位于点处，此时距离操作台台面的高度是，选项正确； 选项，小球分别在、处位于最低点，此时高度为，选项正确； 选项，小球自释放开始，先向左摆动，经过后到达左侧的最高点，而后向右摆动，在处到达最低点，故当时，小球位于左侧，选项错误； 选项，小球在位于最低点，而后向右摆动至，即时间从至时，小球离操作台面的高度越来越大，选项正确； 故选择选项． 【变式1-1】下列说法正确的是（     ） A．变量x，y满足，则y是x的函数 B．变量x，y满足，则y是x的函数 C．变量x，y满足，则y是x的函数 D．变量x，y满足，则y是x的函数 【答案】A 【分析】判断y是否为x的函数，核心是看对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，据此逐项判断即可． 【详解】解：对各选项逐一分析： A选项：对于x的每一个确定值，都有唯一确定的y值与之对应，该说法正确，符合题意； B选项： 二次根式无意义，不存在对应关系，该说法错误； C、D选项：当x取正值时，与均对应y有两个互为相反数的值，不满足唯一对应，说法均错误． 【变式1-2】下列表达形式中，能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． 年份x 2010 2020 人口数y/亿 13.71 14.12 D．   【答案】C 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：A和B，在的取值范围内，对于的每一个确定的值，有两个值与其对应，故A和B不符合题意； C，能表示是的函数，故C符合题意； D，在的取值范围内，对于的每一个确定的值，有多个值与其对应，故D不符合题意． 【变式1-3】下列各曲线不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数．在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】解：A、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； B、对x的一个值y的值不是唯一的，因而不能表示y是x的函数，故此选项符合题意； C、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； D、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意． 【题型2 求自变量取值范围】 【例2】（2026·江苏扬州·一模）已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解得． 【变式2-1】小明在劳动技术课中要制作一个周长为的等腰三角形，则底边长，腰长的函数表达式和自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查一次函数的应用、不等式的应用等知识，正确地用代数式表示三角形的周长，根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题的关键． 由周长为的等腰三角形，则底边长，腰长得，则，由三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵周长为的等腰三角形，则底边长，腰长， ∴， 整理得， 根据三角形的三边关系得， 解得， 故选：D． 【变式2-2】等腰三角形的周长是，腰长是底边长的函数，此函数解析式和自变量取值范围正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形周长公式可求出底边长与腰的函数关系式，由三角形两边之和大于第三边的关系可知的取值范围． 【详解】解：由题意可得：， 化简得：， 又由三角形两边之和大于第三边的关系可知： ，即， 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式、三角形的三边关系及等腰三角形的性质．正确列出函数解析式是解题的关键． 【变式2-3】已知是关于的函数，函数图象如图，则当时，自变量的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象和数据即可求出答案． 【详解】解：时，即轴上方的部分， 自变量的取值范围分两个部分是，． 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 【题型3 求自变量的值或函数值】 【例3】．（2026·江苏淮安·中考真题）在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（     ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将温度值分别代入函数关系式逐一验证排除即可． 【详解】解：将分别代入四个选项，所得值均为101，与表格数据一致． 将代入各选项： A． ，排除． B． ，符合． C． ，排除． D． ，排除． 将代入B选项，得； 将代入B选项，得，均与表格数据一致． 因此，与之间的函数关系可能是． 【变式3-1】图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的有几个（     ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流） ①电阻的初始阻值为 ②当的阻值为时，报警器会报警 ③传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 ④定值电阻的阻值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据时的取值可判断①的正误，根据图象的变化形式可判断②③的正误，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，判断④的正误． 【详解】解：当时，，故电阻的初始阻值不为0，故①错误； 当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时的阻值为， 随着的减小，的阻值也在逐渐减小， 故当的阻值为时，， 报警器会报警， 故②正确，③错误； 当时，， ， ∴， 故④正确； 故正确的是②④，共两个． 【变式3-2】很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（如图①中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图②），空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度c的关系见图③．下列说法不正确的是（     ） A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，的阻值越小 B．当浓度c为时，的阻值为 C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D．当时，燃气报警器为报警状态 【答案】D 【分析】根据气敏传感器的阻值与一氧化碳浓度的关系，以及体积浓度和质量浓度的换算关系，从而判断报警器是否报警，结合图②、图③逐一分析． 【详解】解：对于A选项：由图②可知，随着一氧化碳质量浓度的增大，的阻值逐渐减小，故A选项正确； 对于B选项：由图②可知，当时，，故B选项正确； 对于C选项：由图③可知，一氧化碳体积浓度一氧化碳质量浓度，当时报警器报警，此时体积浓度，当空气中一氧化碳体积浓度是时，，故燃气报警器为报警状态，C正确； 当时，由图②可知对应的一氧化碳质量浓度，而报警条件是，故此时燃气报警器不为报警状态，D错误． 【变式3-3】在一次实验中，小明同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，所挂物体的质量与弹簧长度的几组对应值如表格所示，下列结论中，错误的是（     ） 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 A．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而变长 B．不挂物体时，弹簧长 C．当所挂物体的质量为时，弹簧长度是 D．当弹簧长度为（在弹性限度内）时，所挂物体的质量是 【答案】C 【分析】先根据表格数据得到弹簧长度与所挂物体质量的函数关系，再逐一判断选项，找出错误结论即可． 【详解】解：观察表格可知，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加，当时，，因此可得函数关系式为． A、由得y随x的增大而增大，即弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而变长，故本选项结论正确； B、当时，，故不挂物体时弹簧长，故本选项结论正确； C、当时， ，故当所挂物体的质量为时，弹簧长度是，故本选项结论错误； D、当时，，解得，故当弹簧长度为（在弹性限度内）时，所挂物体的质量是，故本选项结论正确． 【题型4 函数的三种表示方法】 【例4】．（25-26八年级下·河南商丘·期末）下列不能表示y是x的函数的是（     ） A． x … 0 1 2 … y … 3 0 … B． C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念，即一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，列表法表示y是x的函数； B选项，解析法表示y是x的函数； C选项，图像法表示y是x的函数； D选项，变量x的每一个值，变量y大部分情况下有2个值与它对应，不能表示y是x的函数． 【变式4-1】下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义是在一个变化过程中有两个变量，对于每一个变量取一个值，有唯一值与其对应，就说是的函数，判断即可． 【详解】解：∵C选项的图象显示对于一个有两个值与其对应， ∴C选项不能表示是的函数． 【变式4-2】下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 【变式4-3】漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 【题型5 函数解析式】 【例5】（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】篱笆总长应恰好为25米，据此列出等式．根据题意可得，继而可得出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意可知，， 所以． 【变式5-1】变量随变化的关系式如图所示，当的大小从变化到时，的变化情况是（     ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 【答案】D 【分析】分别求出，时的值即可得到的变化情况． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 当的大小从变化到时，增加了． 【变式5-2】下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（     ） ①正方形边长为5，若边长增加，则面积增加，是的函数； ②表达式中，是的函数； ③下表中，是的函数； 1 2 3 8 9 2 ④如图中，曲线表示是的函数． A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据函数的定义判定即可． 【详解】解：正方形边长为5，若边长增加，则正方形的边长为， ∴面积，任取一个数，都有唯一的一个y值与之对应，是的函数，①正确，符合题意； 在中，当时，任取一个数，都有唯一的一个y值与之对应，则是的函数，②正确，符合题意； 任取一个数，都有唯一的一个n值与之对应，则是的函数，③正确，符合题意； 任取一个数，都有唯一的一个y值与之对应，则是的函数，④正确，符合题意 ． 【变式5-3】一个蓄水池有50m3的水，打开放水闸门放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下列说法不正确的是（　　） 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中的水量（） 48 46 44 42 … A．每分钟放水 B．放水10分钟后，水池中还有的水 C．水池中的水量是自变量，放水时间是因变量 D．放水25分钟，水池中的水全部放完 【答案】C 【分析】先根据表格数据得到每分钟放水量，推导出水池水量与放水时间的关系式，再逐一判断各选项，找出错误说法即可． 【详解】解：根据表格数据可知，放水时间每增加1分钟，水池水量减少，即每分钟放水，故A选项正确，不符合题意； 设放水时间为分钟，水池中水量为，则， 当时，，即放水10分钟后水池还有水，故B选项正确，不符合题意； 放水时间是主动变化的量，水池水量随放水时间变化，因此放水时间是自变量，水池水量是因变量，故C选项错误，符合题意； 当时，，解得，即放水25分钟水全部放完，故D选项正确，不符合题意； 【题型6 函数图像识别】 【例6】（25-26八年级下·吉林长春·期末）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像的倾斜程度判断水面上升的快慢，进而推断容器底面积的大小变化，图像越陡水面上升越快，容器越细，据此分析判断即可． 【详解】解：由图像可知，水面高度h随时间t的变化分为两段， 第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗）， 第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细）， ∴容器的形状应为下部较粗，上部较细， 观察各选项，A、C上下粗细相同，D下部细上部粗，B下部粗上部细， 故选项B符合题意． 【变式6-1】下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作轴的垂线，若垂线与图象有且只有一个交点，则图象表示是的函数，否则不是，由此逐项判断即可． 【详解】解：作轴的垂线，如图所示： ， 由上述可知，垂线与图象有且只有一个交点的图象是第一、二个图象的，即题中图象表示是的函数只有个． 【变式6-2】如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出，能刻画蓄水池中水的高度h（米）与放水时间t（时）的函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0，而水池上宽下窄，则一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意． 【变式6-3】甘德尔山隧道是内蒙古自治区最长的高速铁路隧道，全长．如图，一辆列车匀速通过隧道（隧道长大于列车长）时，从车头进入隧道开始计时，到车尾驶出隧道计时结束，在这个过程中，列车在隧道内的长度y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系用图象描述大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知列车进入隧道的长度和时间的关系具体可分为：列车车头进入隧道、列车完全进入隧道和列车车头驶离隧道三个阶段，分段讨论即可． 【详解】解：第一阶段列车车头进入隧道，随时间的增加，列车在隧道内的长度逐渐增加， 第二阶段列车完全进入隧道，随时间增加，列车在隧道内的长度不变，对应图象平行于轴， 第三阶段列车车头驶离隧道，随时间的增加，列车在隧道内的长度逐渐减小， ∵列车匀速运动， ∴在每一个阶段，y与x之间的关系图象呈直线型， ∴列车在隧道内的长度y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系用图象描述大致是： 【题型7 从函数的图像获取信息】 【例7】某数学兴趣小组在“音乐与数学”实践活动中，将一段乐曲的音高（单位：级）与时间（单位：拍）的关系用函数图象表示，如图所示． 根据该图象，下列说法正确的是（     ） A．在拍时，音高为 B．从第2拍结束到第3拍结束，音高升高了2级 C．该段乐曲的音高始终大于1级 D．在0到4拍内，音高最大值与最小值的差为4 【答案】A 【分析】根据时间和音高的变化，将时间分为4段：0-1，1-2，2-3，3-4，分别观察每段中的音高变化，由此即可求出答案． 【详解】解：A.在拍时，音高为，原说法正确，符合题意； B.从第2拍结束到第3拍结束，音高降低了级，原说法错误，不符合题意； C.该段乐曲的音高始终大于等于1级，原说法错误，不符合题意； D.在0到4拍内，音高最大值与最小值的差为，原说法错误，不符合题意； 【变式7-1】如图，在我校女子800米比赛中，小莹和小珊所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，下列说法正确的是（     ） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．小珊的平均速度比小莹的平均速度大 【答案】B 【分析】观察函数图像，明确横轴表示时间，纵轴表示路程，根据图像走势及关键点坐标逐项判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，小莹的图像是线段，表示路程随时间均匀增加，即做匀速运动，速度保持不变，故A错误； B.由图像可知，当时，小珊的对应点B在小莹的对应点上方，即， 所以在起跑后50秒时，小珊在小莹的前面，故B正确； C.由图像可知，当时，小莹到达终点A（），小珊到达点C（），两人路程不相等，未相遇，故C错误 D.小莹跑完全程用时180秒，小珊跑完全程用时220秒，路程均为800米， ∵， ∴小莹的平均速度比小珊的大，故D错误． 【变式7-2】已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图，图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象，下列结论不正确的是（     ） A．体育场离该同学家2.5千米． B．该同学在体育场锻炼了15分钟． C．该同学跑步的平均速度是步行的平均速度的2倍． D．若该同学骑行的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 【答案】C 【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义，结合行程问题的数量关系，逐条分析各选项即可． 【详解】解：A、由函数图象可知，体育场离该同学家千米，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，该同学在体育场锻炼了分钟，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知该同学跑步的平均速度为，步行的平均速度为， ∵， ∴该同学跑步的平均速度不是步行的平均速度的2倍，原说法错误，符合题意； D、若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则，原说法正确，不符合题意． 【变式7-3】硫酸钠（）是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度y（g）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【详解】解：由图象可知： A、当温度为时，硫酸钠在水中是溶解的，原说法错误； B、至时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大；在时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，原说法错误； C、时，函数图象不是一条直线，则温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同，说法正确； D、要使硫酸钠的溶解度大于，温度可控制在接近至，原说法错误． 【题型8 动点问题的函数图像】 【例8】如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐段分析变化趋势即可解答． 【详解】解：由题意得： 当蚂蚁从点O出发，在段，S随t的增大而增大； 在段，S随t的增大逐步变小；蚂蚁在中点时最小，然后逐步变大；其变化为曲线变化． 在段，即蚂蚁在圆弧上时，S不随t的变化而变化； 在段，S随t的增大逐步变小，最后S为0． 综上，选项B符合题意． 【变式8-1】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，关于的函数图象如图2所示．当时，的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据点的运动路线及函数图象得出点在上运动，在上运动，在上运动，根据运动速度得出，，，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用“等积法”求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止， ∴点在上时，随的增大而增大， 点在上时，随的增大，先减小，后增大， 点在上时，随的增大而减小， ∴由图象可知，点在上运动，在上运动，在上运动， ∵点的运动速度为， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 解得：． ∴当时，的值是． 【变式8-2】七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将行程分为去程、参观、返程三个阶段，分别分析离学校的距离y随时间x的变化情况即可得到答案． 【详解】解：第一阶段：从学校出发匀速行驶，离学校的距离y随时间x的增大而增大，图象为从原点出发的上升线段； 第二阶段：参观博物馆，离学校的距离y保持不变，图象为平行于x轴的水平线段； 第三阶段：按原路匀速返程，离学校的距离y随时间x的增大而减小，直至回到学校，图象为下降线段； ∴符合题意的图象是先上升，再水平，最后下降， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 【变式8-3】周末，小明从家出发晨练，他不间断地匀速跑了后回家．小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数图像如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图：应根据每个时间段小明离家的距离变化情况，进行思考．其中段表示小明离家的距离保持不变，据此即可解答． 【详解】解：根据图像得到，段S随时间t的增大而增大，因而到家的距离增大；段距离不变，说明这段所走的路线到家的距离不变，即路线是以家为圆心的圆；段S随时间t的增大而减小，因而到家的距离减小，即选项A符合题意． 【探究式学习】 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）数学活动课上，同学们在探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，同学们发现：每增加一个纸杯，叠在一起的纸杯增加的高度是一样的，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图，纸杯的个数与纸杯的高度的关系如下表：根据上表，回答以下问题： 纸杯的个数 纸杯的高度（） 1 8 2 3 4 … … (1)表中有两个变量，分别是__________和__________； (2)请同学们用自己喜欢的字母表示上述两个变量，建立一个函数关系，用来描述变量之间的变化规律； (3)若有25个上述规格的纸杯，求其叠放在一起的高度． 【答案】(1)纸杯的个数；纸杯的高度 (2)解：设纸杯的个数为x个，纸杯的高度为；； (3) 【分析】（1）由表格可知，纸杯个数变化引起叠放高度变化，故变量为纸杯的个数和纸杯的高度； （2）由表格可知，每增加一个纸杯，叠在一起的纸杯增加的高度为，即可写出函数关系； （3）根据（2）所得的关系式，将代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得：每增加一个纸杯，叠在一起的纸杯增加的高度为， 设纸杯的个数为x个，纸杯的高度为；由题意得： ， 即； （3）解：将25代入（2）所得的关系式中，得： ， 所以有25个上述规格的纸杯叠放在一起的高度为． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．如图1，可得等式，现用四个长与宽分别为，的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： ①【探索发现】观察图2，若，，则 ． ②【解决问题】我们还可以利用图1中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，求的值． 解：设，，则，． ． 请仿照上面的方法，求解下面问题：当，则的值为多少？ (2)如图1，在长方形中，，动点以的速度从点出发，沿的路径运动，记的面积为．与运动时间（单位：）的关系如图2所示． ①求的长； ②求图2中，的值； ③求点在线段上运动时，与的关系式． 【答案】(1)①37；②10． (2)①；②，；③． 【分析】（1）①根据图2发现，再将、代入求解即可；②设，，则，．再利用求解即可； （2）①由图2可知点P从点B运动到点C用时，再求的长即可；②先求得点P运动到点D的路程为：，再求所需时间即可求得n；如图：当点P在上时，的底边上的高为，求得的面积即为m的值；③如图：当点在线段上运动时，的底边上的高为，且，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①如图2；阴影部分的面积为：或， ∴， ∵，， ∴； ②设，，则，． ． （2）解：①由题意得∶点P从点B运动到点C用时， ∵点P的速度为， ∴； ②∵长方形中， ∴， ∴点P运动到点D的路程为：， ∴所用时间为，即； 如图：当点P在上时，的底边上的高为， ∴的面积为，即． ③如图：当点在线段上运动时，的底边上的高为， ∵， ∴的面积，即． 【课后检测】 1．（26-27八年级上·全国·单元测试）下列各曲线中不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解函数的定义，即“对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应．对于一个图象，任意作一条垂直于x轴的直线，如果直线与图象只有1个交点，则y是x的函数；如果直线与图象有2个或2个以上的交点，则不符合函数定义，据此判断即可． 【详解】解：选项A：任意垂直于x轴的直线只和曲线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意； 选项B：任意垂直于x轴的直线只和直线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意； 选项C：观察可知，在y轴右侧作一条垂直于x轴的直线，会与曲线产生两个交点，即一个x的值对应两个y的值，不能表示y是x的函数，该选项符合题意； 选项D：任意垂直于x轴的直线只和波浪曲线交于一点，y是x的函数，该选项不符合题意． 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）南宁某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天小时的气温变化情况．下列说法正确的是（     ） A．上午点时，该地气温最低 B．这一天早上点之后，该地气温一直在升高 C．该地这天的最高与最低气温差大约是 D．该地这天只有一个时刻的气温达到摄氏度 【答案】C 【分析】根据图象观察最高气温、最低气温、气温变化趋势及特定气温对应的时刻进行判断即可． 【详解】解：对于，时气温约为，时气温约为，时不是气温最低时刻，故错误． 对于，时至时气温随时间增加而降低，点之后气温不是一直在升高，故错误． 对于，最高气温约为，最低气温约为，温差约为，故正确． 对于，气温为的时刻有时以及时至时之间、时至时之间，不止一个时刻，故错误． 3．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：观察图象可知，选项A、B、D，存在的值，有2个值与之对应，故不是的函数，即A、B、D不符合题意； 选项C，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意． 4．（26-27八年级上·广西崇左·阶段检测）下列图形中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断图象即可． 【详解】解：根据函数的定义：当每取一个值时，都有一个值和一一对应． ∵A、B、D这三个选项中的图象当每取一个值时，都有一个值和一一对应， ∴这三个图象能表示为是的函数； ∵C选项中的图象当时，的取值会有两个与其对应， ∴此图不能表示为是的函数． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积 B．当加入絮凝剂的体积为时，净水率最高 C．未加入絮凝剂时，净水率为0 D．随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低 【答案】C 【详解】解：A、在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积，故说法正确； B、当加入絮凝剂的体积为时，净水率为，综合图象，此时净水率最高，故说法正确； C、未加入絮凝剂时，净水率为，不为0，故说法错误； D、由图象可知，随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低，故说法正确． 6．（25-26八年级下·云南红河·期末）李想从家跑步到书店，在那里看一会儿书，过了一段时间后又跑步到他妈妈公司，然后步行回家（李想家、李想妈妈公司、书店依次在同一直线上），如图表示的是李想离家的距离与时间的关系．下列说法不正确的是（     ） A．李想家到书店的距离为 B．李想在他妈妈公司待了 C．李想在书店看书时间是 D．李想家离他妈妈公司 【答案】C 【分析】根据图像结合判断，折线为李想跑步或者步行时间，横线为李想看书或待在妈妈公司的时间． 【详解】、李想家到书店的距离为，正确所以不选 、李想在他妈妈公司待了，正确所以不选 、李想在书店看书时间是，错误，看书时间应是30所以选 、李想家离他妈妈公司，正确所以不选 7．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）甲、乙两种植物在下，净光合速率随浓度的变化趋势如图所示，则下列说法中，错误的是（     ） A．当浓度为时，甲的净光合速率比乙的净光合速率大 B．当浓度为时，甲、乙的净光合速率相同 C．在浓度未达到时，浓度对甲的净光合速率影响比对乙的净光合速率影响大 D．随着浓度增加，甲、乙两种植物的净光合速率先增加后逐渐趋于稳定 【答案】A 【分析】结合图象给出的信息逐项判断． 【详解】解：A：由图可知，当浓度为时，乙的净光合速率比甲的净光合速率大，故该选项符合题意； B：当浓度为时，两条曲线相交，即甲、乙的净光合速率相同，故该选项不合题意； C：在浓度未达到时，甲种植物对应的曲线上升更快，即浓度对甲的净光合速率影响比对乙的净光合速率影响大，故该选项不合题意； D：由图可知，随着浓度增加，两条曲线均先上升后持平，即甲、乙两种植物的净光合速率先增加后逐渐趋于稳定，故该选项不合题意． 8．（2026·辽宁·中考真题）一个试验室在保持的恒温，在匀速升温至，试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数图像如图所示，则这个试验室在时的温度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察函数图像，根据函数图像求解即可． 【详解】解：根据图像知，共升温（）， 则每小时升温（）， 则在时的温度为（）． 9．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路线前往．如图，，分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程/千米与所用的时间/时的关系，下列说法错误的是（    ） A．小斌比小明晚走2小时 B．小斌的速度是小明速度的2倍 C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明 【答案】C 【分析】观察函数图象，获取两人出发时间、到达时间及总路程，再结合速度公式逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图象可知，小明从时出发，小斌从时出发， ∴小斌比小明晚走小时，故A正确，不符合题意； 小明的速度为（千米/时），小斌的速度为（千米/时）， 又∵， ∴小斌的速度是小明速度的倍，故B正确，不符合题意； 当小斌到达目的地时，，此时小明行驶的路程为（千米）， ∴小明距离目的地还有（千米），故C错误，符合题意； 小斌走了一半的路程即千米，用时小时，此时时刻为时， 小明行驶路程为（千米）， ∴两人相遇，即小斌走了一半的路程时追上小明，故D正确，不符合题意． 10．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度与注水时间的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法错误的是（     ） A．注水前，蓄水池水的初始深度为0.2米 B．水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C．注水时间为1.6小时时水泵报警 D．注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.2米 【答案】C 【详解】解：注水前，蓄水池水的初始深度为米，故A选项正确，不符合题意； 水泵报警前的注水速度是每小时米，故B选项正确，不符合题意； 由图象可得，当时，，即注水时间为小时时水泵报警，故C选项错误，符合题意； 注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时米，故D选项正确，不符合题意． 11．（2026·江苏常州·中考真题）正方形的周长关于它的边长的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】根据正方形周长等于边长的4倍，结合边长为正，即可得到函数表达式． 【详解】解：∵正方形的周长等于边长的4倍，边长为正数，即， ∴周长关于边长的函数表达式为． 12．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知一个长方形的长为，宽比长少，设长方形的面积为，则与的变量关系式为________． 【答案】 【详解】解：长方形的长为，宽比长少， 宽为， ， 长方形的边长为正数， ，即， 与的变量关系式为． 13．（25-26七年级下·四川乐山·期末）在中，如果，那么________． 【答案】0.5 【分析】将代入给定的一次函数解析式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入，得． 14．（2026·山东济南·中考真题）某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发，七年级经过抵达目的地．两个年级之间的距离（单位：）和七年级出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是________． 【答案】 【分析】从函数图象可求出七年级的速度，进而可求出总路程，再根据当时，七年级已到达终点，两个年级之间的距离，且八年级走了，可求出八年级的速度，最后即可求出八年级所需的时间． 【详解】解：根据图象可知，七年级的速度为：， 总路程为：， 当时，七年级已到达终点，两个年级之间的距离， 且八年级走了， 则八年级的速度为：， 则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是：． 15．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．则与的函数关系式为________． 【答案】 【分析】设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为．三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为．据此即可列出函数关系式． 【详解】解：设篱笆与墙平行一边的长为，与墙垂直一边的长为． ∵在靠墙（墙足够长）的地方围建一个矩形养鸡场，另外三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为． ∴与的函数关系式为． 16．（26-27八年级下·全国·课后作业）党的十八大以来，通过推进城乡人居环境整治等系列工程，我国城乡人居环境明显改善，美丽中国建设成效显著．下表是2014年至2020年我国城市绿地面积的统计情况： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 城市绿地面积/万公顷 252.80 266.96 278.61 292.13 304.71 315.29 331.22 (1)其中有哪些变量？ (2)可以把其中的哪个变量看作另一个变量的函数？ 【答案】(1) 变量有年份和城市绿地面积． (2) 可以把城市绿地面积看作年份的函数． 【分析】（1）根据变量的定义，从统计过程中找出数值发生变化的量． （2）依据函数的定义，判断两个变量的对应关系． 【详解】（1） 解： 在2014年至2020年我国城市绿地面积的统计过程中， 年份的数值不断变化，城市绿地面积的数值也随之变化， ∴变量为年份和城市绿地面积． （2）解：∵对于每一个确定的年份，都有唯一确定的城市绿地面积与之对应， 满足函数的定义， ∴可以把城市绿地面积看作年份的函数． 17．（26-27八年级下·全国·课后作业）在某超市中，橙子标价为12元/千克．设购买这种橙子，付费y元． (1)请指出这个过程中的常量和变量． (2)请写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】(1) 常量是12元/千克；变量是购买橙子的质量和付费． (2) 与的函数关系式为，自变量的取值范围是． 【分析】（1）依据常量与变量的定义，识别固定不变的量和可变化的量． （2）根据总价、单价、数量的关系列函数式，结合实际意义确定自变量取值范围． 【详解】（1）解： ∵购买过程中橙子的单价12元/千克保持不变， ∴常量为12元/千克． ∵购买橙子的质量和付费可以取不同的数值， ∴变量为和． （2）解：∵总价 = 单价 × 数量， ∴． ∵购买橙子的质量不能为负数， ∴自变量的取值范围是． 18．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图是某地区学生的平均体重随年龄（岁）变化的图象． (1)在哪个年龄段，女生的平均体重略高于男生的平均体重？ (2)从哪个年龄开始，男生的平均体重超过了女生的平均体重？ 【答案】(1)在9岁到15岁左右这个年龄段，女生的平均体重略高于男生的平均体重 (2)从16岁（大约）开始，男生的平均体重超过了女生的平均体重 【分析】（1）（2）根据函数图象所给的信息即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，在9岁到15岁左右这个年龄段，女生的平均体重略高于男生的平均体重； （2）解：由函数图象可知，从16岁（大约）开始，男生的平均体重超过了女生的平均体重． 19．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是________米，甲起飞________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若乙起飞后，两架无人机所在的高度相差米，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)甲无人机的上升速度是米/秒 (3)秒或秒 【分析】（1）由图象可知，甲起飞后上升到米的高度保持不变，以及甲起飞后到乙起飞之间间隔秒即可得到答案； （2）无人机在上升过程中匀速飞行，根据“速度路程时间”求出速度即可； （3）根据图象可得乙起飞后，满足两架无人机所在高度相差米的种情况，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，甲在空中的停留高度为米， 甲起飞后到乙起飞之间间隔秒， ∴乙在甲起飞秒后开始起飞； （2）解：∵甲上升到米处，用时秒， ∴甲上升的速度为：（米/秒）； ∴甲无人机的上升速度是米/秒； （3）解：乙起飞后，满足两架无人机所在高度相差米的值共分为种情况： 当时， 由（2）可知，甲无人机的上升速度是米/秒， ∵乙上升到米处时，用时（秒）， ∴乙上升的速度为：（米/秒）， ∴此时用甲的上升高度减去乙的上升高度，可得， 解得秒， 当时，用乙的上升高度减去甲的上升高度，可得， 解得秒， 综上所述，满足条件的值有个：秒或秒． 20．（25-26八年级下·北京丰台·期末）如图，矩形长为3，宽为2．若长和宽各增加，则矩形面积增加． (1)补全表格； 1 2 3 4 6 14 36 (2)求出关于的函数解析式． 【答案】(1)24 (2) 【分析】（1）依题意计算即可； （2）根据矩形面积增加等于新矩形面积减去原矩形面积计算即可． 【详解】（1）解：依题意得： 当时，； 补全表格； 1 2 3 4 6 14 24 36 （2）解：依题意得：． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 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