专题08一次函数的图象知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题08一次函数的图象知题通关讲义 知识点01:函数概念 1. 一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k ≠ 0的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数 在一次函数 y=kx+b 中，当 b=0时，函数变为 y=kx（k 是常数，k ≠ 0），这样的函数叫做正比例函数。 3. 概念关系 正比例函数是特殊的一次函数；一次函数包含正比例函数，正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 4. 概念判定要点 （1）解析式必须是关于自变量 x 的整式； （2）自变量 x 的次数为1； （3）一次项系数 k 不能为 0，若 k=0，该函数不再是一次函数。 左图一次函数 右图正比例函数 知识点02:正比例函数的图象性质 【补充】 正比例函数图像的位置和增减性由k决定。 2）正比例函数 y=kx(k≠0) 中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴。 知识点 03 一次函数y=kx+b图象形状与定点 1. 图象形状 一次函数 y=kx+b (k≠0)\) 的图象是一条直线，因此也叫直线y=kx+b。 2. 两点确定一条直线（画图最简方法） 两点确定一条直线，优先取直线与坐标轴交点，步骤固定： 求与y轴交点：令x=0，得 y=b，交点坐标 (0,b)； 求与x轴交点：令y=0，得 x=，交点坐标 (,0)； 在坐标系描出两点，连接成直线，标注解析式。 补充：正比例函数画图只需取 (0,0)和 (1,k) 两点即可。 知识点04:一次函数的图象与性质（重点） 知识点05:k、b 的几何意义（本章重难点） 1. 参数k：决定直线倾斜方向与增减性 2. 参数b：决定直线与y轴交点位置 b 叫做直线的纵截距，交点固定为 (0,b)： 知识点06:一次函数平移规律 知识点07:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点08:函数图象的画法（三步） 描点法作图 1. 混淆一次函数与正比例函数图像特征 提醒：正比例函数图像必过原点；一般一次函数图像与y轴交于(0,b)，不一定经过坐标原点。 2. 依据k、b符号判断图像位置出错 提醒：k决定函数增减性，b决定直线与y轴交点位置，二者作用不可混淆。 3. 错判一次函数增减性 提醒：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小，增减关系不可颠倒。 4. 绘制一次函数图像取点不合理 提醒：画一次函数图像至少选取两个点，优先选用直线与坐标轴的交点，简化作图。 5. 求直线与坐标轴交点坐标计算错误 提醒：求x轴交点令y=0；求y轴交点令x=0，代入解析式求解。 6. 直线平移时误解k、b的变化规律 提醒：直线上下平移，斜率k保持不变，仅常数项b发生改变，遵循上加下减规则。 7. 比较函数值大小未限定同一函数 提醒：利用增减性比较函数值，必须针对同一个一次函数，不可跨函数直接比较函数值。 8. 混淆图像上点的横、纵坐标含义 提醒：图像上点的横坐标为自变量x，纵坐标为对应的函数值y，二者不可互换。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的图象 ★ 题型二 正比例函数的性质 ★ 题型三 判断一次函数的图象 ★★ 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 ★★ 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型七 用描点法画函数图象 ★ 题型八 一次函数图象平移问题 ★★ 题型九 一次函数图象与对称问题 ★★★ 题型十 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十一 根据一次函数增减性求参数 ★★ 题型十二 由一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★ 题型十三 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十四 一次函数的规律探究问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 正比例函数的图象 1．在平面直角坐标系中，点都在直线上，则的值是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵点在直线上， ∴把代入解析式得 ，解得 ，即直线解析式为， ∵点在直线上， ∴把代入解析式得 . 2．已知、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据 两点在 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可． 【详解】将点 与点 代入 ，得： ， 两式相减，得： ， ， y随x的增大而减小， 当 时，， 当m＞3时，t＜-， 故答案为：t＜-. 【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题． 3．图中表示一次函数与正比例函数（a是常数，且）图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图像， 分和两种情况分别确定函数图像所在象限，再判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一，二，三象限，正比例函数经过第二，四象限； 当时，一次函数的图像经过第二，三，四象限，正比例函数经过第一，三象限， 所以C符合题意． 故选：C． 题型二 正比例函数的性质 4．如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________． 【答案】增大 【分析】根据正比例函数图象经过的象限得到的取值范围，再结合正比例函数性质判断随的变化趋势． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴ ， 根据正比例函数的性质，当时，的值随着的值增大而增大． 5．若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点，都在正比例函数的图象上，且， ∴． 6．若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数中，的值随着值的增大而减小，可知，所以可知直线过第二、四象限，根据各点所在的象限判断该点是否可能在该函数的图象上． 【详解】解：正比例函数中，的值随着值的增大而减小， ， 直线过第二、四象限， 点在第一象限， 不在该函数的图象上， 故A选项不符合题意； 点在轴上， 不在该函数的图象上， 故B选项不符合题意； 点在第三象限， 不在该函数的图象上， 故C选项不符合题意； 点在第二象限， 可能在该函数的图象上， 故D选项符合题意． 故选：D． 题型三 判断一次函数的图象 7．已知一次函数的函数值随的增大而减小，则该函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先求出一次函数的图象经过定点，再结合一次函数的增减性进行判断即可得． 【详解】解：将代入一次函数得：， ∴一次函数的图象经过定点， ∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴该函数的图象大致是． 故选：C． 8．已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（     ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】根据点在第二象限，得，的符号，然后根据，的符号即可确定一次函数的图象经过的象限，从而确定大致图象． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 9．以下图象可以表示直线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得直线过点，据此判断即可． 【详解】解：当时，， 直线过点， 故只有选项A符合题意． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 10．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 11．已知过点的直线（）不经过第一象限，设，则s的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据图象在坐标平面内的位置关系确定m的取值范围，从而求解． 【详解】解：把，代入中，可得：， 因为过点的直线（）不经过第一象限； 所以可得：，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 12．下列图象中，一次函数与一次函数（k，b为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，，四种情况，判断两条直线经过的象限，进行判断即可. 【详解】解：当时，两个函数图象都经过一，二，三象限； 当时，一次函数的图象经过一，三，四象限；一次函数的图象经过一，二，四象限； 当时，一次函数的图象经过二，三，四象限；一次函数的图象经过二，三，四象限； 当时，一次函数的图象经过一，二，四象限；一次函数的图象经过一，三，四象限； 观察给出的图象，只有选项A的图象符合题意. 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 13．已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】一次函数中，时图象经过第一、三象限，截距时图象与轴交于正半轴，经过第二象限． 【详解】解：将函数整理为，可得，截距为， 函数图象经过第一、二、三象限，已经满足图象过第一、三象限，要经过第二象限，需图象与轴交于正半轴，即， 解得． 14．如果一次函数（m为常数）的图象经过第一、四象限，那么m的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】先判断出一次函数与y轴交点的位置，再根据一次函数经过第一、四象限得到一次项系数的取值范围，取符合条件的的值即可． 【详解】解：对于一次函数，其与轴交点的纵坐标为， ， ，即该一次函数与轴交于轴负半轴， 函数图象经过第一、四象限， 一次项系数，解得， 的值可以为1，（答案不唯一，满足即可） 15．直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】解：A、由图知直线中的，直线中的，即，得出的结论存在矛盾，不符合题意； B、由图知直线中的，直线中的，即，得出的结论存在矛盾，不符合题意； C、由图知直线中的，直线中的，即，得出的结论存在矛盾，不符合题意； D、由图知直线中的，直线中的，即，得出的结论一致，符合题意． 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 16．一次函数的图象与轴交点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令，得，解得， 故直线与轴的交点为. 17．如图直线与轴、轴交于，两点，则_______ 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的值． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． ． 18．已知直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线变形，观察与直线的平移规律，得到点的平移规律即可． 【详解】解：∵直线， 即将直线向左平移 个单位长度得到直线， ∵直线与轴的交点坐标为， ∴将直线与轴的交点坐标向左平移 个单位长度得到坐标为． 题型七 用描点法画函数图象 19．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 【详解】解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 20．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 21．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查函数的表示方法，以及画函数图象，掌握相关知识是解题关键．利用描点法画出图象并判断即可解题． 【详解】解：由表格描点得下图： 根据图象可知，风寒温度与风速的函数关系最可能是一次函数， 故选：B． 题型八 一次函数图象平移问题 22．将直线向下平移5个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线向下平移5个单位长度后，得到的直线表达式为. 23．如图，是一个正比例函数的图像， （1）把该图像向上平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为__________________． （2）把该图像向左平移个单位长度，得到的函数图像的解析式为__________________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再根据一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 将代入得， 解得， 正比例函数的解析式为， （1）把的图像向上平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为； （2）把的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像的解析式为． 24．将直线向左平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】利用“左加右减”的平移规则得到平移后的解析式，再结合一次函数图象性质求解m的范围，即可判断选项． 【详解】解：根据一次函数图象平移“左加右减”的规则，原直线向左平移个单位长度后，解析式为， 整理得， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次项系数， ∴截距， 解得， 观察选项，只有D选项符合题意． 题型九 一次函数图象与对称问题 25．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 26．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 27．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 题型十 判断一次函数的增减性 28．已知点，在一次函数的图像上，则下列关于，大小关系的判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化趋势，再比较两点横坐标大小，即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，其中， ∴该一次函数中，y随x的增大而增大， ∵点，，且， ∴对应函数值． 29．对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，．当时，；如：，，若关于的函数为．则该函数的最小值为____． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据新定义得到时，，当时，，分别求出两种情况下的函数的最小值，进行判断即可． 【详解】解：当，即：时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最小值为：； 当，即：时，， ∴随着的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， 故该函数的最小值为2； 故答案为：2． 30．已知点，，都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，判断一次函数的增减性是解题的关键． 通过比较三个点的横坐标大小，结合直线斜率为负的性质，判断纵坐标的大小关系即可． 【详解】解：∵点，，都在直线上，且斜率， ∴y随x的增大而减小， ∵ ， ∴，即， 故选：A． 题型十一 根据一次函数增减性求参数 31．在式子中，x每增加1，增加k，b没变，因此y也增加k．在一次函数中，当x由2增加到3时，函数值y由5增加到7，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】确定和的增加量，结合x每增加1，y增加k可得答案． 【详解】解：∵由增加到，由增加到， ∴的增加量为，的增加量为， ∵每增加时，的增加量等于， ∴． 32．已知一次函数（，是常数）的图象上有两点，，若当时，，那么的值可以是____________（写出一个满足题意的值即可）． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的值均可） 【分析】根据一次函数的增减性，由时，可判断函数随的增大而减小，得到一次项系数小于，进而求出的取值范围，写出范围内任意一个值即可. 【详解】解：，是一次函数的图象上两点， 当时，， 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解得， 可取（答案不唯一）. 33．如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不与点，重合），直线的表达式为（），当随的增大而减小时，点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点和点的坐标判断出轴，则，且，结合一次函数的增减性可得，从而判断出选项． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵是线段上一点（不与点，重合） ∴，且， ∵随的增大而减小， 又∵， ∴，即， 综上，，， ∴只有选项D符合． 题型十二 由一次函数的增减性判断自变量的变化情况 34．若点 ，，都在一次函数 的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，由解析式可得函数值随的增大而增大．根据各点的纵坐标大小关系即可推断对应的横坐标大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴随的增大而增大， ∵点 ，，都在一次函数 的图像上，且． ∴， 故选；A． 35．如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系． 首先利用图象过，确定函数值，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， 时， 又由图像知，一次函数随的增大而增大， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 36．如图是一次函数的图象，点，点在该函数图象上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像得到，随增大而增大，根据，即可求解， 本题考查了，一次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握一次函数的增减性． 【详解】解：如图可知， ∴随增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 题型十三 比较一次函数值的大小 37．已知一次函数，点，在该函数图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题利用一次函数的增减性求解，先根据一次项系数判断y随x的变化趋势，再比较两个点横坐标的大小，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数中，一次项系数， ∴ 随的增大而减小， ∵ 点，在该函数图象上，且， ∴ ． 38．点、在一次函数的图象上，则______（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：＜． 39．点都在直线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x的增大而减小， 又， ∴， 故选：B． 题型十四 一次函数的规律探究问题 40．如图，已知直线：，直线：，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的求出规律是解题的关键．轴，，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，得到，同理，；，即；，求得，于是得到结论． 【详解】解：轴，， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 的横坐标为， 在直线上， ， ， 同理，； ，即； ； ， ， ， 的横坐标为，和的纵坐标为， 在直线上， 故选：B． 41．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 42．将正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，，，......，，（为正整数）， ∴点的横坐标为． 解答题 1．请画出函数的图象： (1)列表为： (2)描点、连线后画出该函数图象为： (3)结合图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1)；；；；； (2) 如图所示： (3)该函数图象经过第一、三、四象限；随的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据的值求出的值即可； （）描点、连线即可作出的图象； （）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：列表为： （2）略 （3）解：该函数的性质该函数图象经过第一、三、四象限； 随的增大而增大． 2．已知一次函数． (1)当为何值时，随的增大而增大？ (2)当为何值时，图象与轴的交点在轴的下方？ (3)当为何值时，图象经过第二、三、四象限？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）根据一次函数的性质得到当y随x的增大而增大时，，求解即可； （2）根据一次函数的性质得到函数图象与y轴的交点在x轴的下方时，，，求解即可； （3）根据一次函数的性质列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且． （3）解：∵一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴． 3．对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． (1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； (2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； (3)已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①的取值范围是;②的取值范围是 【分析】（1）先写出的1阶明珠函数，根据点的横坐标判断所属分段，代入解析式求； （2）写出的阶明珠函数，分情况讨论的取值； （3）①写出的2阶明珠函数，分别求两段在对应区间内的取值范围，再合并；②根据函数单调性，结合给定的的取值范围反推的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的1阶明珠函数为 ． 点中， 将代入，得 ． 故． （2）解：正比例函数的-1阶明珠函数为 ． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，或． （3）解：一次函数的2阶明珠函数为 ． ①当时，随增大而减小， 时，；时，， ； 当时，随增大而增大， 趋近2时，趋近；时，， ； 综上，当时，的取值范围是． ②当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， 此时， ∵当时，的取值范围是， ∴， 当时，随增大而增大， 趋近2时，接近；时，． 则时，， ∵当时，的取值范围是， 且时，；， ∴， 解得， 故的取值范围是． 4．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”．    (1)如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； (2)如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 【答案】(1)点关于直线的“L距离”为； (2)点关于直线的“L距离”为. 【分析】本题考查了一次函数的坐标特征、函数图象的平移，解题的关键是根据“L路径”的定义，确定点、的坐标，进而计算“L距离”． （1）根据轴得的纵坐标为，代入直线的解析式求的横坐标，得的长度；根据轴得的横坐标为，代入直线的解析式求的纵坐标，得的长度，两者相加即“L距离”； （2）先根据平移规律得到直线的解析式，再同理确定、的坐标，计算与的长度和． 【详解】（1）解：∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴． ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴ ∴点关于直线的“L距离”为． （2）解：直线 向左平移个单位，得直线的解析式： ∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴ ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴． ∴点关于直线的“L距离”为． 答：（1）点关于直线的“L距离”为； （2）点关于直线的“L距离”为． 5．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【详解】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一次函数的图象知题通关讲义 知识点01:函数概念 1. 一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k ≠ 0的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数 在一次函数 y=kx+b 中，当 b=0时，函数变为 y=kx（k 是常数，k ≠ 0），这样的函数叫做正比例函数。 3. 概念关系 正比例函数是特殊的一次函数；一次函数包含正比例函数，正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 4. 概念判定要点 （1）解析式必须是关于自变量 x 的整式； （2）自变量 x 的次数为1； （3）一次项系数 k 不能为 0，若 k=0，该函数不再是一次函数。 左图一次函数 右图正比例函数 知识点02:正比例函数的图象性质 【补充】 正比例函数图像的位置和增减性由k决定。 2）正比例函数 y=kx(k≠0) 中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴。 知识点 03 一次函数y=kx+b图象形状与定点 1. 图象形状 一次函数 y=kx+b (k≠0)\) 的图象是一条直线，因此也叫直线y=kx+b。 2. 两点确定一条直线（画图最简方法） 两点确定一条直线，优先取直线与坐标轴交点，步骤固定： 求与y轴交点：令x=0，得 y=b，交点坐标 (0,b)； 求与x轴交点：令y=0，得 x=，交点坐标 (,0)； 在坐标系描出两点，连接成直线，标注解析式。 补充：正比例函数画图只需取 (0,0)和 (1,k) 两点即可。 知识点04:一次函数的图象与性质（重点） 知识点05:k、b 的几何意义（本章重难点） 1. 参数k：决定直线倾斜方向与增减性 2. 参数b：决定直线与y轴交点位置 b 叫做直线的纵截距，交点固定为 (0,b)： 知识点06:一次函数平移规律 知识点07:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点08:函数图象的画法（三步） 描点法作图 1. 混淆一次函数与正比例函数图像特征 提醒：正比例函数图像必过原点；一般一次函数图像与y轴交于(0,b)，不一定经过坐标原点。 2. 依据k、b符号判断图像位置出错 提醒：k决定函数增减性，b决定直线与y轴交点位置，二者作用不可混淆。 3. 错判一次函数增减性 提醒：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小，增减关系不可颠倒。 4. 绘制一次函数图像取点不合理 提醒：画一次函数图像至少选取两个点，优先选用直线与坐标轴的交点，简化作图。 5. 求直线与坐标轴交点坐标计算错误 提醒：求x轴交点令y=0；求y轴交点令x=0，代入解析式求解。 6. 直线平移时误解k、b的变化规律 提醒：直线上下平移，斜率k保持不变，仅常数项b发生改变，遵循上加下减规则。 7. 比较函数值大小未限定同一函数 提醒：利用增减性比较函数值，必须针对同一个一次函数，不可跨函数直接比较函数值。 8. 混淆图像上点的横、纵坐标含义 提醒：图像上点的横坐标为自变量x，纵坐标为对应的函数值y，二者不可互换。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的图象 ★ 题型二 正比例函数的性质 ★ 题型三 判断一次函数的图象 ★★ 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 ★★ 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型七 用描点法画函数图象 ★ 题型八 一次函数图象平移问题 ★★ 题型九 一次函数图象与对称问题 ★★★ 题型十 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十一 根据一次函数增减性求参数 ★★ 题型十二 由一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★ 题型十三 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十四 一次函数的规律探究问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 正比例函数的图象 1．在平面直角坐标系中，点都在直线上，则的值是（     ） A． B． C．1 D．2 2．已知、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______． 3．图中表示一次函数与正比例函数（a是常数，且）图象的是（   ） A． B． C． D． 题型二 正比例函数的性质 4．如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________． 5．若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 题型三 判断一次函数的图象 7．已知一次函数的函数值随的增大而减小，则该函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（     ） A． B．C．D． 9．以下图象可以表示直线的是（     ） A． B． C． D． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 10．一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知过点的直线（）不经过第一象限，设，则s的取值范围是_________． 12．下列图象中，一次函数与一次函数（k，b为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 13．已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（     ） A．； B．； C．； D．． 14．如果一次函数（m为常数）的图象经过第一、四象限，那么m的值可以是___________（写出一个即可）． 15．直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 16．一次函数的图象与轴交点是（     ） A． B． C． D． 17．如图直线与轴、轴交于，两点，则_______ 18．已知直线与轴的交点坐标为，则直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 题型七 用描点法画函数图象 19．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 20．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 21．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为时，风寒温度T（）和风速（）的几组对应值，那么当气温为时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是（   ） 风速v（单位：） 0 10 20 30 40 风寒温度T（单位：） 5 3 1 A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．无法确定 题型八 一次函数图象平移问题 22．将直线向下平移5个单位长度后得到的直线的表达式是（     ） A． B． C． D． 23．如图，是一个正比例函数的图像， （1）把该图像向上平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为__________________． （2）把该图像向左平移个单位长度，得到的函数图像的解析式为__________________． 24．将直线向左平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D．1 题型九 一次函数图象与对称问题 25．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 27．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 题型十 判断一次函数的增减性 28．已知点，在一次函数的图像上，则下列关于，大小关系的判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 29．对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，．当时，；如：，，若关于的函数为．则该函数的最小值为____． 30．已知点，，都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型十一 根据一次函数增减性求参数 31．在式子中，x每增加1，增加k，b没变，因此y也增加k．在一次函数中，当x由2增加到3时，函数值y由5增加到7，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 32．已知一次函数（，是常数）的图象上有两点，，若当时，，那么的值可以是____________（写出一个满足题意的值即可）． 33．如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不与点，重合），直线的表达式为（），当随的增大而减小时，点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 题型十二 由一次函数的增减性判断自变量的变化情况 34．若点 ，，都在一次函数 的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 36．如图是一次函数的图象，点，点在该函数图象上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十三 比较一次函数值的大小 37．已知一次函数，点，在该函数图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 38．点、在一次函数的图象上，则______（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 39．点都在直线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型十四 一次函数的规律探究问题 40．如图，已知直线：，直线：，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 41．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 42．将正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的横坐标是______． 解答题 1．请画出函数的图象： (1)列表为： (2)描点、连线后画出该函数图象为： (3)结合图象，写出该函数的两条性质． 2．已知一次函数． (1)当为何值时，随的增大而增大？ (2)当为何值时，图象与轴的交点在轴的下方？ (3)当为何值时，图象经过第二、三、四象限？ 3．对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． (1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； (2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； (3)已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 4．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”．    (1)如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； (2)如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 5．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $