4.4 一次函数的应用（第3课时 两个一次函数的应用）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦两个一次函数的应用，核心是理解图象交点及位置关系的实际意义。课堂导入通过《新龟兔赛跑》函数图象复习读图方法，衔接单个一次函数知识，为分析两个函数图象搭建学习支架。 该资料以销售、追及等实际问题为载体，通过“建立模型—绘制图象—分析交点”逻辑线，渗透数形结合思想，培养几何直观与模型意识。如销售问题中，学生从图象交点理解盈亏分界点，提升抽象能力和应用能力，为教师提供清晰教学路径和丰富实例，助力教学目标达成。

4.4 一次函数的应用（第3课时 两个一次函数的应用） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 教学目标 1.会用一次函数解决复杂的实际问题。 2.会根据两个一次函数图象去分析解决问题。 3.能够将实际问题转化为一次函数的问题，培养举一反三的发散性思维，锻炼抽象能力和应用能力。 教学重点 两个一次函数图象的交点及其实际意义的理解和应用。 教学难点 将实际问题转化为一次函数模型； 从两条直线的相对位置、交点坐标中提取有价值的数学信息，并用其解答实际问题。 教材分析 本节教学内容源于北师大版八年级上册第四章第四节《一次函数的应用》（第 3 课时 两个一次函数的应用），是一次函数单元的综合应用课。在学生掌握单个一次函数图象、表达式与实际应用的基础上，本节课重点研究两个一次函数图象的交点问题，借助交点的几何意义解决实际情境中的方案对比、决策问题，是数形结合与函数建模思想的综合体现。 依照课标要求，教材将内容划分为分析实际情境、画出两个一次函数图象、利用交点坐标分析决策三个模块，从生活方案选择问题入手，引导学生读懂图象信息，理解交点的实际含义，符合八年级学生的认知发展逻辑。教材以 “建立两个函数模型 — 绘制函数图象 — 找到交点坐标 — 做出方案决策” 的逻辑线推进，打通数与形之间的关联。本节是一次函数单元知识的综合运用，也为后续二元一次方程组的学习埋下伏笔。教材借助对比决策类问题，渗透数学建模、数形结合思想，落实数学建模、直观想象核心素养，让学生体会函数在方案选择中的应用价值。 学情分析 学生已学习一次函数的概念、图象与性质，能够用待定系数法求一次函数表达式，也具备解一元一次方程和初步读图的能力。但本课时要求学生同时分析两个一次函数图象，理解两条直线的交点是两个函数值相等的对应点，并能结合具体情境解释交点及上下位置关系的实际含义，这对学生而言有一定抽象性。多数学生对“从图象中找信息”较为熟悉，但把实际问题转化为两个函数关系式，尤其是正确确定自变量的意义和两个函数的等量关系，仍然是学习的难点。教学中应借助具体情境，引导学生从图象直观过渡到代数表达，逐步突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 呈现《新龟兔赛跑》的路程与时间函数图象，提问：从图象中你能得到哪些信息？ 【引导学生观察并归纳】 1.上升线表示函数值随自变量的增大而增大；下降线表示函数值随自变量的增大而减小；2.水平线表示函数值不随自变量的变化而变化。 3.直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢。 以学生熟悉的龟兔赛跑故事引入，复习函数图象的读图方法，激发学习兴趣，明确本课重点是分析两个一次函数图象并解决实际问题。 探究点1：两个一次函数图象与销售问题 【问题引入】 某公司产品的销售收入与销售量、销售成本与销售量分别由直线 、 表示，怎样通过图象分析公司的盈亏情况？ (1)当销售量为 2 t 时，销售收入=_____元，销售成本=_____元； (2)当销售量为 6 t 时，销售收入=_____元，销售成本=_____元； (3)当销售量等于_____时，销售收入等于销售成本； (4)当销售量等于_____时，该公司盈利(收入大于成本)； (5)当销售量等于_____时，该公司亏损(收入小于成本)； 【师生活动】 教师出示图象，引导学生观察并填空； 教师追问“两条直线的交点表示什么？直线在某段的上方或下方又表示什么？”学生分组讨论并归纳。 【详细过程】 根据图象填空： （1）当销售量为 2 t 时，销售收入＝2000 元，销售成本＝3000 元； （2）当销售量为 6 t 时，销售收入＝6000 元，销售成本＝5000 元； （3）当销售量等于 4 t 时，销售收入等于销售成本； （4）当销售量大于 4 t 时，该公司盈利（收入大于成本）； （5）当销售量小于 4 t 时，该公司亏损（收入小于成本）。 【归纳】 从图象上看：直线 与 的交点是盈亏分界点； 在 上方的部分表示盈利， 在 下方的部分表示亏损。 求函数表达式： 过原点，设 ，由图象上点 ，得 ，所以 ，即 。 不过原点，设 ，由图象上点 、，得 ，，即 。 当 时，销售收入＝6000 元，销售成本＝5000 元，盈利（收入－成本）＝1000 元。 若盈利 1000 元，则=1000解得 。 【思考交流】 对于 ， 表示每销售 1 吨产品可收入 1000 元， 表示未销售时销售收入为 0 元； 对于 ， 表示每销售 1 吨产品的成本为 500 元， 表示未销售时销售成本为 2000 元。 通过销售收入与销售成本的实际问题，帮助学生理解两个一次函数图象的交点及上下部分对应的实际意义，渗透数形结合思想，突破用图象分析盈亏问题的难点。 探究点2：两个一次函数图象与追及问题 【问题引入】 某景区游览路线示意图中，甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图中 ， 分别表示甲、乙两人到观景台1的路程 （单位：m）与追赶时间 （单位：min）之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： （1） 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ （2）甲和乙哪个人的速度快？ （3）30 min 内甲能否追上乙？ （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ （5）设 与 对应的两个一次函数分别为 与 ，， 的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 【师生活动】 学生读图，教师引导类比“销售问题”中图象交点的意义，学生独立完成前两问，小组讨论后三问，再全班交流。 【详细过程】 解：（1）当 时，甲到观景台1的路程为 0 m，即 ，故 表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 （2） 从 0 增加到 20 时， 上点的纵坐标增加了 1000， 上点的纵坐标增加了 600，即 20 min 内甲行走了 1000 m，乙行走了 600 m，所以甲的速度快。 （3）延长 ，，可以看出，当 时， 上的对应点在 上对应点的下方，这表明，30 min 时甲尚未追上乙。 （4）在图中， 与 交点 P 的纵坐标小于2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙。 （5） 表示甲的速度， 表示乙的速度。甲的速度是 50 m/min，乙的速度是 30 m/min。 【思考】 你能用其他方法解决（1）~（4）吗？ 方法一：依据“速度＝路程÷时间”，求出甲的速度是 50 m/min，乙的速度是 30 m/min，问题即可依据行程问题解决。 方法二：求出 和 对应的函数表达式，，，再依据实际意义解决。 以追及问题为载体，训练学生从两个一次函数图象中提取速度、路程、时间等信息，并能用代数方法验证图象结论，培养抽象能力和应用能力。 探究点3：待定系数法求函数表达式与几何面积 【问题引入】 已知一次函数 和 的图象都经过点 ，且与 轴分别交于 、 两点，求 的面积。 【师生活动】学生独立审题，教师引导学生将点 的坐标分别代入两条函数表达式，求出 、，再求与 轴交点坐标，最后计算三角形面积。 【详细过程】 解：因为 与 的图象都过点 ， 所以 +a=0，+b=0。 所以 ，。 所以两个一次函数分别是 和 。 与 轴交于点 ，则 ，所以 ； 与 轴交于点 ，则 ，所以 。 所以 =16。 【方法技巧】求此类图形面积，先求得相关点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与 轴、 轴交点的坐标，再利用三角形面积公式求解。 通过待定系数法求函数表达式，再求两函数图象与坐标轴围成的三角形面积，沟通一次函数、方程与几何知识，提升综合解题能力。 课堂小结 板书设计 4.4.3 两个一次函数的应用 1.两个一次函数图象的“看点” o交点：表示两个量相等（如销售收入＝销售成本） o上方：表示对应函数值较大（如收入＞成本，盈利） o下方：表示对应函数值较小（如收入＜成本，亏损） 2.求函数表达式 o过原点：设 y＝kx，只需一个点坐标 o不过原点：设 y＝kx＋b，需两个点坐标 3.例题精讲 o行程追赶问题：l₁、l₂ 分别表示甲、乙的路程—时间图象 o速度看斜率：k 的实际意义 o能否追上：看两直线交点位置 o三角形面积问题：先求交点及与 y 轴交点坐标，再用面积公式 4.方法总结 o图象读信息 → 确定表达式 → 列方程求解 → 回归实际问题 随堂练习 1．(跨学科) 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20 m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 10 s． 甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y (m) 与无人机上升的时间 x (s) 之间的关系如图所示．下列说法正确的是( B ) A. 5 s时，两架无人机都上升了40 m B. 10 s 时，两架无人机的高度差为 20 m C. 乙无人机上升的速度为 8 m/s D. 10 s 时，甲无人机距离地面的高度是 60 m 2.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为__________米． 解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意得 1600+100a=1400+100b, 1600+300a=1400+200b, 解得a=2,b=4. 故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米． 3.如图，l1，l2分别表示某工厂甲、乙两车间的产量y(t)与所用时间x(天)之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)乙车间生产200t时，甲车间生产了____t； (2)甲车间每天生产____t，乙车间每天生产____t； (3)乙车间从开始生产到第几天结束时，两车间的总产量相同？. 解：（1）400 （2）10；20 （3）乙车间从开始生产到第20天结束时，两车间的总产量相同。 教学反思 本节课教学目标基本达成：学生能够从两个一次函数图象中读取交点、上下位置等信息，并能初步用函数表达式解决实际问题。在“销售收入与销售成本”的实例中，多数学生能理解交点的实际含义，但部分学生对“图象上方/下方对应盈利或亏损”仍理解不透，需借助具体数值对比强化。在“追及问题”中，学生能直观看出甲速度快，但在通过图象判断“30 min 内能否追上”时，部分学生忽略延长线的操作，暴露出对图象延伸趋势的感知不足。今后应增加“先估后算”的环节，先让学生根据图象趋势猜测，再通过表达式或方程验证。整体来看，学生从图象到表达式的转化仍需加强训练，可设计更多小组合作交流活动，让学生在互讲中深化理解。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $