4.4 一次函数的应用（第3课时 两个一次函数的应用）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

年级

八年级

学科

数学

课型

新授课

教材

北师大版八年级上册

教学目标

1.会用一次函数解决复杂的实际问题。

2.会根据两个一次函数图象去分析解决问题。

3.能够将实际问题转化为一次函数的问题，培养举一反三的发散性思维，锻炼抽象能力和应用能力。

教学重点

两个一次函数图象的交点及其实际意义的理解和应用。

教学难点

将实际问题转化为一次函数模型；

从两条直线的相对位置、交点坐标中提取有价值的数学信息，并用其解答实际问题。

教材分析

本节教学内容源于北师大版八年级上册第四章第四节《一次函数的应用》（第 3 课时 两个一次函数的应用），是一次函数单元的综合应用课。在学生掌握单个一次函数图象、表达式与实际应用的基础上，本节课重点研究两个一次函数图象的交点问题，借助交点的几何意义解决实际情境中的方案对比、决策问题，是数形结合与函数建模思想的综合体现。

依照课标要求，教材将内容划分为分析实际情境、画出两个一次函数图象、利用交点坐标分析决策三个模块，从生活方案选择问题入手，引导学生读懂图象信息，理解交点的实际含义，符合八年级学生的认知发展逻辑。教材以 “建立两个函数模型 — 绘制函数图象 — 找到交点坐标 — 做出方案决策” 的逻辑线推进，打通数与形之间的关联。本节是一次函数单元知识的综合运用，也为后续二元一次方程组的学习埋下伏笔。教材借助对比决策类问题，渗透数学建模、数形结合思想，落实数学建模、直观想象核心素养，让学生体会函数在方案选择中的应用价值。

学情分析

学生已学习一次函数的概念、图象与性质，能够用待定系数法求一次函数表达式，也具备解一元一次方程和初步读图的能力。但本课时要求学生同时分析两个一次函数图象，理解两条直线的交点是两个函数值相等的对应点，并能结合具体情境解释交点及上下位置关系的实际含义，这对学生而言有一定抽象性。多数学生对“从图象中找信息”较为熟悉，但把实际问题转化为两个函数关系式，尤其是正确确定自变量的意义和两个函数的等量关系，仍然是学习的难点。教学中应借助具体情境，引导学生从图象直观过渡到代数表达，逐步突破难点。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情景，引入新课】

呈现《新龟兔赛跑》的路程与时间函数图象，提问：从图象中你能得到哪些信息？

【引导学生观察并归纳】

1.上升线表示函数值随自变量的增大而增大；下降线表示函数值随自变量的增大而减小；2.水平线表示函数值不随自变量的变化而变化。

3.直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢。

以学生熟悉的龟兔赛跑故事引入，复习函数图象的读图方法，激发学习兴趣，明确本课重点是分析两个一次函数图象并解决实际问题。

探究点1：两个一次函数图象与销售问题

【问题引入】

某公司产品的销售收入与销售量、销售成本与销售量分别由直线 、 表示，怎样通过图象分析公司的盈亏情况？

(1)当销售量为 2 t 时，销售收入=_____元，销售成本=_____元；

(2)当销售量为 6 t 时，销售收入=_____元，销售成本=_____元；

(3)当销售量等于_____时，销售收入等于销售成本；

(4)当销售量等于_____时，该公司盈利(收入大于成本)；

(5)当销售量等于_____时，该公司亏损(收入小于成本)；

【师生活动】

通过销售收入与销售成本的实际问题，帮助学生理解两个一次函数图象的交点及上下部分对应的实际意义，渗透数形结合思想，突破用图象分析盈亏问题的难点。

教师出示图象，引导学生观察并填空；

教师追问“两条直线的交点表示什么？直线在某段的上方或下方又表示什么？”学生分组讨论并归纳。

【详细过程】

根据图象填空：

（1）当销售量为 2 t 时，销售收入＝2000 元，销售成本＝3000 元；

（2）当销售量为 6 t 时，销售收入＝6000 元，销售成本＝5000 元；

（3）当销售量等于 4 t 时，销售收入等于销售成本；

（4）当销售量大于 4 t 时，该公司盈利（收入大于成本）；

（5）当销售量小于 4 t 时，该公司亏损（收入小于成本）。

【归纳】

从图象上看：直线 与 的交点是盈亏分界点； 在 上方的部分表示盈利， 在 下方的部分表示亏损。

求函数表达式：

过原点，设 ，由图象上点 ，得 ，所以 ，即 。

不过原点，设 ，由图象上点 、，得 ，，即 。

当 时，销售收入＝6000 元，销售成本＝5000 元，盈利（收入－成本）＝1000 元。

若盈利 1000 元，则=1000解得 。

【思考交流】

对于 ， 表示每销售 1 吨产品可收入 1000 元， 表示未销售时销售收入为 0 元；

对于 ， 表示每销售 1 吨产品的成本为 500 元， 表示未销售时销售成本为 2000 元。

探究点2：两个一次函数图象与追及问题

【问题引入】

某景区游览路线示意图中，甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图中 ， 分别表示甲、乙两人到观景台1的路程 （单位：m）与追赶时

以追及问题为载体，训练学生从两个一次函数图象中提取速度、路程、时间等信息，并能用代数方法