精品解析：河北省雄安新区部分校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 3. 若是奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 6. 函数f（x）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为，则该正四棱柱的体积（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列判断正确的是（ ） A. 的充要条件是 B. 是的必要不充分条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的既不充分也不必要条件 10. 已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 不可能是一次函数 11. 已知函数，则（ ） A. 只有一个极值点 B. 当时，无零点 C. 当，时， D. 当时，集合有7个真子集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是______． 13. 若，则______，复数的虚部为______． 14. 若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求； （2）求的值域； （3）求曲线的对称中心的坐标． 16. （1）解方程：． （2）若，求关于的函数表达式． （3）若二次函数是偶函数，且，求t的值． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且曲线的切线经过点，求的斜率． 18. 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． （3）若函数，求的最大值与俏值． 19. 已知函数． （1）证明：． （2）若函数在上有零点，求的取值范围． （3）若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，，因此. 已知全集， 因此. 2. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得， 3. 若是奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知是奇函数，且当时，， 则. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，代入得到切线斜率，再结合切点坐标由点斜式即可写出方程. 【详解】因为， 将代入导函数，可得， 已知切点为，由点斜式可得切线方程为，即. 5. 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 令， 因为和在上均为增函数，所以为增函数， 又因为， 所以的解集为， 所以的最大值与最小值的差为4. 6. 函数f（x）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，所以的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以为偶函数，的图象关于轴对称，故排除选项A，C； 当时，，故排除选项D．只能选B． 7. 已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为，则该正四棱柱的体积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设正四棱柱的底面边长为x，由正四棱柱的一个侧面的周长为12，正四棱柱的高为， 可得，故， 则该正四棱柱的体积， 即. 8. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数性质可得，结合基本不等式可求，故可求目标代数式的最大值. 【详解】因为，所以，其中， 所以． 而，故， 故即，当且仅当时等号成立， 而． 故的最大值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列判断正确的是（ ） A. 的充要条件是 B. 是的必要不充分条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的既不充分也不必要条件 【答案】BD 【解析】 【详解】由，得，即，则或，所以的充要条件不是，A错误． 由，得，由，得，所以是的必要不充分条件，B正确． 若，则，则未必成立，即未必成立，若，则，即，所以是的必要不充分条件，C错误． 取，但，所以推不出，，但，所以推不出，所以是的既不充分也不必要条件，D正确． 10. 已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 不可能是一次函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、函数单调性的性质，结合一次函数的性质、代入法逐一判断即可. 【详解】A： 在中，令， ，解得，因此本选项说法正确； B：在中，令， ，解得， 因为，， 所以，又因为在上单调， 所以在上单调递增，所以，因此本选项说法正确； C：在中，令， ， 解得，所以函数不是上的奇函数，因此本选项说法不正确； D：由上可知：， 假设是一次函数，设， 因为，所以有， 当时，，这与矛盾，假设不成立，所以不可能是一次函数，因此本选项说法正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 只有一个极值点 B. 当时，无零点 C. 当，时， D. 当时，集合有7个真子集 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数分析的单调性和极值即可；对于B：可知函数的最小值为，利用零点代换可得，结合零点存在性定理即可判断；对于C：取即可判断；对于D：根据最小值可得，进而分析判断. 【详解】对于选项A：因为函数的定义域为，且， 可知函数在内单调递增， 且，， 则函数在内有且仅有一个零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数只有一个极值点，故A正确， 对于选项B：由选项A可知：函数的最小值为， 且当趋近于0或时，趋近于， 又因为，即，， 则， 令，可知在内单调递增， 则，可得， 当时，则， 所以函数有且仅有2个零点，故B错误； 对于选项C：当，时， 可得，且，所以，故C正确； 对于选项D：当时，则，可得， 又因为在内单调递减，在内单调递增， 且当趋近于0或时，趋近于， 由，则或， 可知与均有2个不同的解， 则集合有4个元素，其真子集有个，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是______． 【答案】 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”． 13. 若，则______，复数的虚部为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】由，得，得， 因为，得，所以． 因为，所以，得，又，所以，则． 因为， 所以的虚部为． 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先比较与的大小和与的大小，再通过这两组大小去构造出题目条件的不等式，发现构造出大于等于的不等式，故原式只能取等号从而求出的值. 【详解】构造函数，，故， 所以当时，，故在时单调递减， 当时，，故在时单调递增， 所以时，取最小值，即， 故，当且仅当时，等号成立， 同理构造函数，则， 当时，，即在时单调递减， 当时，，即在时单调递增， 故当时，取最小值，即， 故（当且仅当时，等号成立）， 所以，，则， 所以． 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求； （2）求的值域； （3）求曲线的对称中心的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ∵，∴， ∴的值域为. 【小问3详解】 由（2）知， 令，，解得， ∴的对称中心的坐标为. 16. （1）解方程：． （2）若，求关于的函数表达式． （3）若二次函数是偶函数，且，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质结合对数的性质可求的值； （2）法1：分离常数后反解结合指对数转化可求关于的函数表达式；法2：去分母反解结合指对数转化可求关于的函数表达式； （3）利用待定系数法可求的值. 【详解】（1）因为， 所以，则，所以． （2）法1：因为， 所以，即， 则，所以y关于x的函数表达式为． 法2：因为，所以， 即，则，所以， 则，所以y关于x的函数表达式为． （3）依题意设． 因为是偶函数，所以由，得， 所以， 所以，解得． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且曲线的切线经过点，求的斜率． 【答案】（1）当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在，上单调递减，在上单调递增． （2）切线的斜率为或. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性； （2）先求得，再根据导数的几何意义可求切线方程的一般形式，代入所过的点后可求切点横坐标，从而可得斜率. 【小问1详解】 ， 令，得或． 当，即时， 若，则， 若，则， 故在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，（不恒为零）， 则在上单调递减，无增区间. 当，即时， 若，则， 若，则， 故在上单调递增；在上单调递减. 综上，当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在，上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由，得， 则，则． 设切线与曲线相切于点， 则，， 所以的方程为， 将点的坐标代入，得， 则， 即，解得或． 当时，；当时，． 故的斜率为或． 18. 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值． （1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一． （2）若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由． （3）若函数，求的最大值与俏值． 【答案】（1） 对，，当且仅当时等号成立， 因此，函数在上有最小值，故函数为俏函数，是的一个俏值， 对任意大于的正整数，函数在上有最小值，故都不是的俏值， 综上所述，是俏函数，且是其唯一的俏值. （2）是俏函数，理由如下： 设，的图象可由的图象向右平移个单位得到， 因为定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增， 所以定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增， 不妨设，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，又因为的值域为，所以， 故是俏函数，是它的一个俏值. （3）最大值为，俏值为 【解析】 【分析】（1）先求的最小值并找出一个俏值证明其是俏函数，再证明该俏值的唯一性； （2）先分析函数的单调性及值域，再根据俏函数的定义证明； （3）先将转换为一个二次函数与的复合函数，可求得最大值，再结合二次函数及的单调性和对称性，分类讨论，确定俏值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 经化简，函数， 设，则由基本不等式得当且仅当时等号成立， 对，，，则恒成立， 所以的图象关于对称， 对，且， 则， 因为，所以，，即， 因此，即， 因此在上单调递减，在上单调递增， 且代入可得，，，可大致画出图象， 因此存在，使得，此时可取最大值； 由二次函数的性质可知，在时单调递增，在时单调递减， 即越大，则越小，而，，， 而当时，且单调递增，所以单调递增， 因此对于， 当时，，所以此时在区间上没有最小值； 当时，此时有最小值，所以是的一个俏值； 当时，此时有最小值，所以不是的俏值； 当时，因，所以，所以都不是的俏值. 综上所述，的最大值为，俏值为. 19. 已知函数． （1）证明：． （2）若函数在上有零点，求的取值范围． （3）若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：． 【答案】（1）设， 则，令， 得；令，解得； 令，解得. 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在处取极小值，也是最小值，故，所以. （2） （3）设,， 那么得到，， 所以，即， 由（1），得 即， 设，则函数在上单调递增， ， 由（1）可得， 故. 故 ，所以, 故， 要证，只需证，即证， 令，则.由于，所以由得， 即，解得， 要证，即证，即证， 要证，只需证,即, 又，即证， 即证，即， 设，则，那么 令，得 ， 所以函数单调递增，又， 故在区间上，即， 所以，故. 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导，证明函数最小值大于0即可得证; （2）方法一：对函数求导得到函数的单调性，再通过虚设导函数零点，要使在上有零点，则，从而求得的取值范围；方法二：在上有零点等价于在上有解，先证明不等式，则，那么，再通过分类讨论确定的取值范围； （3）设,，则，由交点坐标可得 ，设，则函数在上单调递增，结合（1）的结论可证 ，所以,从而得到，结合换元法代入化简，最终只需证，再通过构造函数最终证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由题意得，则． 对于任何实数，当时，，当时，． 因为在上为增函数，所以存在唯一的，使得． 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以且． 因为在上有零点，所以，即． 设，则在上单调递减． 因为，所以，则，故的取值范围是． 方法二：在上有零点等价于在上有解． 设，则， 故在上单调递增，所以，即， 所以， 又，故， 则，则． 当时，，在上有零点； 当时，，当时，， 由函数零点存在定理可知，在上必有零点．故的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $