精品解析：河北省张家口市部分高中2026-2027学年高三上学期9月学情检测数学试题

高三学情检测（九月） 数　　学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合和常用逻辑用语、不等式、函数、导数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定是存在命题，即可得到结果. 【详解】，，则其否定是，. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故，所以，， ， 故 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性和时函数值正负的分布情况，利用排除法可得到结果. 【详解】函数定义域关于原点对称，且由， 知函数为奇函数，所以的图象关于原点对称，选项BD不符合， 当时，， 故选项C不符合， 故选：A. 4. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】取，，满足，但是，所以甲推不出乙. 由柯西不等式可得， 结合可得，即，因此乙能推出甲. 综上甲是乙的必要不充分条件，选项B成立. 5. 已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】先求出时函数的零点，结合函数周期得到零点个数 【详解】时，，令得， 解得或2， 又，即的一个周期为3， 所以函数在区间上的零点个数为. 6. 若在区间上，函数的最小值不小于的最大值，则正数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出两个函数的图象，结合图象观察可求. 【详解】 如图，作出与的图象，可得． 由图可知，当时，在上的最小值总小于的最大值； 当时，在上的最小值不小于的最大值，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，数形结合是有效的捷径，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 7. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 8. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【分析】讨论两根大小解一元二次不等式. 【详解】当时，函数开口向下 若，不等式解集为 若，不等式的解集为 若，不等式的解集为 综上所述：B、C项都可能成立． 故选：BC. 10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造辅助函数，求导判断单调性，然后逐项判断即可. 【详解】构造辅助函数，求导得， 因为，所以， 所以在上单调递增. 所以，所以，即，所以A正确； 根据单调性有，所以，即，所以B错误； 因为，所以， 则有，即，所以C正确； 根据单调性有，，即，所以D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用，，及是偶函数，经过等量代换可推出，可得为偶函数，判断A选项；推出可判断B选项；由的周期性可求解C选项；利用可求解D选项. 【详解】由，用代入，得， 又，两式相加得， 由是偶函数，得，代入上式，得， 可得，所以，即， 因为，则， 所以，所以为偶函数，A选项错误； 由，得， 又，两式相减得， 所以，因此，即4是的一个周期，B选项正确； 由，可得，所以， 由可得，所以， 由，，可得， 由，，可得. 所以，C选项正确； 由上面推导可知， 因为奇数的平方可表示为，所以奇数的平方除以4的余数为1， 同理可得偶数的平方除以4的余数为， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设方程的两个不相等的实数根为，由题得，解不等式即得解. 【详解】设方程的两个不相等的实数根为， 由题得或. 由题得. 综合得或. 故答案为：或 13. 若函数的图象关于点对称，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得到，代入解析式即可求解. 【详解】由可得: ， 即恒成立， 得到恒成立，即， 即，恒成立， 因为在定义域内不恒为0， 所以， 即恒成立， 展开可得，即或， 当时，定义域为空集，舍去， 所以，所以． 故答案为：2 14. 已知函数，点在曲线上，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性，进而求解值域范围，计算得到结果. 【详解】求导得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以， 点在曲线上，则，所以， 设，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故单调递增， 故，即的最大值是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 因为，所以，. 【小问2详解】 因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 因为，所以恒成立，所以集合， 所以，解得， 当时，，此时集合是集合的真子集； 当时，，此时集合是集合的真子集. 故实数的取值范围为． 16. 已知，，且，证明： （1）； （2）． 【答案】（1） ， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知幂函数在上单调递减． （1）求的解析式； （2）若，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可； (2)根据题意分离变量得到在恒成立，利用函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为幂函数在上单调递减，所以， 解得，所以的解析式为． 【小问2详解】 由，可得，则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1． 所以a的取值范围为． 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集． 【答案】（1），令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 19. 已知函数，，设函数. （1）当时，求的极值点； （2）证明：当时，； （3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）的极小值点是，无极大值点 （2） ，由（1）可知，当时，单调递增， 取且，则，取且，则， 所以存在唯一的，使得，即， 所以, ； （3） 【解析】 【分析】（1）易得，再利用导数法求解； （2）由（1）知当时，存在唯一的，使得，为极小值点，则由证明； （3）设，转化为恒成立和恒成立求解. 【小问1详解】 当时，，则，， 因为，均为增函数，所以单调递增，所以当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以函数的极小值点是，无极大值点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，得到，所以， 当时，，显然成立. 设，则恒成立， 当时，，符合题意； 当时，，不符题意. 同理，恒成立，即， 设，则，所以， ，令，解得或. 当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，符合题意； 当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为，，所以符合题意，所以. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三学情检测（九月） 数　　学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合和常用逻辑用语、不等式、函数、导数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 30 6. 若在区间上，函数的最小值不小于的最大值，则正数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，当取最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______. 13. 若函数的图象关于点对称，则________． 14. 已知函数，点在曲线上，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知，，且，证明： （1）； （2）． 17. 已知幂函数在上单调递减． （1）求的解析式； （2）若，，求a的取值范围． 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集． 19. 已知函数，，设函数. （1）当时，求的极值点； （2）证明：当时，； （3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $