圆的弦长问题（北京）题型专项练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以垂径定理为核心，构建“几何法优先+代数法备用”的解题体系，系统整合知识逻辑与北京考纲要求，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识点|5大核心模块|垂径定理弦长公式、韦达联立技巧、动弦最值结论|从定理推导公式，延伸至圆心角转化与定点判断| |四大题型|3类15道北京真题|分类讨论斜率、最值模型应用、特殊三角形转化|题型与方法一一对应，形成“问题-方法-结论”链条| |易错点|8项扣分提醒|竖直线遗漏、弦长公式运算等规避策略|针对知识应用误区，强化严谨思维| |应试技巧|7条得分策略|几何法提速、分步得分规范|结合北京命题特点，提升解题效率与准确性|

北京高中数学圆的弦长问题分类专项练习（原卷版） 一、北京高考 / 高二考纲核心要求 1. 掌握垂径定理，熟练使用几何法（优先）、代数韦达法两种弦长计算方法； 2. 能结合弦长公式反求直线斜率、参数、圆半径，完整分类讨论斜率存在 / 不存在两种情况； 3. 掌握过圆内定点动直线的最长弦、最短弦模型，北京期中期末选择填空高频； 4. 结合圆心角、等腰 / 等边 / 直角△ACB，建立弦长与弦心距等量关系； 5. 综合四边形面积、定点直线系、隐圆、存在性问题求解最值与参数范围； 6. 数形结合，优先几何思路，减少联立计算，规范大题分步得分步骤。 二、基础核心知识点 （一）垂径定理（专题核心） 1.定理内容：圆心到弦的垂线平分弦，半径 r、弦心距 d、半弦长构成直角三角形。 2.核心弦长公式（几何法，考场首选） 变形： 3. 点到直线距离（求 d 必备） 直线，圆心： （二）代数弦长公式（联立韦达，大题备用） 直线与圆联立消 x，得一元二次方程， 判别式 （三）动直线弦长最值结论（必背） 设点P在圆内，过P作任意直线交圆于A、B 1. 最长弦：直线过圆心，长度 = 直径2r； 2. 最短弦：直线⊥CP（C为圆心），弦长； 3. 定点直线系恒过圆内点时，直线一定与圆相交，无需验证。 （四）圆心角与弦心距转化（高频模型） 设弦AB对应圆心角∠ACB=，，弦心距d： 1. △ACB为直角三角形（）：，； 2. △ACB为等边三角形（）：，； 3. ：； 通用关系：，。 （五）直线恒过定点快速求法 直线含参数m：，分离参数，令参数系数、常数项均为 0，解方程组得定点； 判断定点在圆内：定点到圆心距离，则直线恒相交。 三、四大题型分类 + 标准作答模板 题型一：已知固定弦长，求参数 / 直线方程 通用解题步骤 1. 圆方程配方，写出圆心、半径r； 2. 分两类讨论：①斜率不存在（竖直线）；②斜率存在（点斜式）； 3. 由弦长公式反求弦心距d； 4. 代入点到直线距离公式列方程，解参数\(k、m\)； 5. 检验，舍去增根。 答题关键技巧 竖直线极易遗漏，选择题可直接代入验算，解答题必须分两类书写。 题型二：动直线弦长最值、取值范围 考法 1 过圆内定点，求最长、最短弦 1. 计算圆心C与定点P距离； 2. 最长弦 = 直径2r（直线CP）； 3. 最短弦：直线，代入公式。 考法 2 弦长为整数，求符合条件直线条数 1. 计算弦长取值区间； 2. 区间内普通整数弦长对应 2 条对称直线；直径仅 1 条； 3. 汇总总直线数量。 考法 3 弦长大于 / 小于定值，求斜率范围 1. 由|AB|≥L变形得2，化简d≤； 2. 代入距离公式列绝对值不等式，解斜率区间。 题型三：已知圆心角 / 特殊三角形求参数 固定转化思路 给出为直角 / 等边三角形，直接推导弦心距d； 解题步骤： 1. 根据圆心角写出d与r等量关系； 2. 点到直线距离公式列等式，求解参数； 例：。 题型四：弦长综合大题（面积、双垂直直线） 1. 两条互相垂直动直线截圆，四边形面积； 2. 分别用弦长公式表示两条弦长，构造函数； 3. 利用均值不等式求解面积最大值。 四、高频易错扣分点 1. 只讨论斜率存在，遗漏竖直线，少一组解； 2. 弦长公式运算错误，忘记半弦，直接使用； 3. 长短弦结论记反，误以为过圆心是最短弦； 4. 圆心角配套三角函数混淆； 5. 解距离绝对值方程后不检验，保留增根； 6. 定点判断失误，定点在圆外仍判定恒相交； 7. 联立代数法忘记验证，出现无效解； 8. 配方圆心符号写错，弦心距全程计算错误。 五、北京期中 / 高考应试答题技巧 1. 选择、填空全部使用几何法，不联立韦达，节约计算时间； 2. 题干出现 “圆内一点”，直接套用最长、最短弦模型； 3. 解答题标准得分步骤：配方→分类讨论→求弦心距→列距离方程→检验； 4. 圆心角题型先画图，直角三角形直观推导d； 5. 含参数直线第一步分离参数找定点，快速判断相交； 6. 整数弦条数题目先算取值区间，直径单独计数； 7. 面积综合题分开表示两条垂直弦，均值不等式求最值。 六、题型专项练习 类型一：已知弦长固定值，求参数 / 直线方程 1．（北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知圆C：，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“”是“直线l的方程为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（北京市东城区2025-2026学年高二上学期期末样卷数学试题）若直线被圆截得的弦长为6，则的值为______ 3．（北京市平谷区第五中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆的圆心在轴上，且经过坐标原点和点 (1)求圆的标准方程； (2)设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 4．（北京市第十五中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知圆的圆心在轴上，且经过点，. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 5．（云南省昆明理工大学附属高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷）已知点，直线及圆. (1)求过点的圆的切线方程； (2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值. 6．（北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的标准方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 7．（广东兴宁市齐昌中学2025-2026学年高二上学期第三次阶段考试数学试卷）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 8．（北京理工大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若过点的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程． 9．（北京市丰台区2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知圆心为的圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当时，求的值. 类型二：动直线弦长最值 / 范围问题 1．（北京朝阳垂杨柳中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）过点的直线交圆与、两点，当最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2021年北京市高考数学试题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 3．（山西省晋城市第一中学2022-2023学年高二上学期第八次联赛数学试题）已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（    ） A． B． C． D． 4．（北京市延庆区2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（北京市西城区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷）过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（北京市第一零一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025-2026学年第一学期教学质量监控样卷高二数学）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（浙江省之江教育评价联盟2022-2023学年高三第二次联考数学试题）已知直线，.若，则的值为___________；若直线与圆交于两点，则___________. 9．（北京市第一七一中学2021-2022学年高二上学期数学期中调研试题）过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______． 10．（北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷）直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________. 11．（天津市静海区第六中学2024-2025学年高二上学期第三次质量监测数学试卷）直线过点且被圆截得的弦长最短，则直线的方程为__________. 12．（【全国百强校】北京市海淀区北京市57中2023学年高二上学期期中考试数学试题）已知点，圆． (1)设，求过点且与圆相切的直线方程． (2)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程． (3)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 13．（湖南省张家界市慈利县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆经过，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 14．（北京市北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，半径是1，直线的方程为，点. (1)若与圆相切，求的值； (2)若经过点A，求直线与圆的交点的坐标； (3)若过点A的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围. 15．（北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 类型三：结合圆心角、特殊三角形求弦长参数 1．（北京一零一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题）若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（A））若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（北京市房山区2024-2025学年高二上学期学业水平调研（二）数学试题）已知圆与直线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．（北京市平谷区第五中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知直线与圆：相交于，两点，且为正三角形，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2021-2022学年浙江省杭州高中高二上学期期中数学）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________． 6．（【全国区级联考】北京市朝阳区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）若直线与圆相交于，两点，为圆心，且，则的值为_________． 7．（北京市清华大学附属中学2022－2023学年高二上学期10月统练数学试题（1））已知直线与圆O：交于A，B两点，若∠AOB=90°，则实数_______． 8．（北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二上学期数学统练五）已知直线与：交于，两点，且，则______. 9．（北京市大兴区2020-2021学年度高二上学期期末检测试卷数学试题）已知直线：与直线：，. （1）若，求a的值； （2）求证：直线与圆恒有公共点； （3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值. 10．（高中数学解题兵法第八讲运用函数与方程思想解解析几何问题）已知经过点，，且圆心在直线上.又直线l：与相交于P，Q两点. （1）求的方程； （2）过点作直线与l垂直，且直线与交于M，N两点，求四边形面积的最大值. 11．（北京工业大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆心坐标为（2，1）的圆C与y轴相切. (1)求圆C的方程； (2)设直线与圆C交于A，B两点，从条件①，条件②中选择一个作为已知，求m的值. 条件①；条件②：. 12．（北京市密云区2024-2025学年高二上学期期末数学试题）已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京高中数学圆的弦长问题分类专项练习（解析版） 一、北京高考 / 高二考纲核心要求 1. 掌握垂径定理，熟练使用几何法（优先）、代数韦达法两种弦长计算方法； 2. 能结合弦长公式反求直线斜率、参数、圆半径，完整分类讨论斜率存在 / 不存在两种情况； 3. 掌握过圆内定点动直线的最长弦、最短弦模型，北京期中期末选择填空高频； 4. 结合圆心角、等腰 / 等边 / 直角△ACB，建立弦长与弦心距等量关系； 5. 综合四边形面积、定点直线系、隐圆、存在性问题求解最值与参数范围； 6. 数形结合，优先几何思路，减少联立计算，规范大题分步得分步骤。 二、基础核心知识点 （一）垂径定理（专题核心） 1.定理内容：圆心到弦的垂线平分弦，半径 r、弦心距 d、半弦长构成直角三角形。 2.核心弦长公式（几何法，考场首选） 变形： 3. 点到直线距离（求 d 必备） 直线，圆心： （二）代数弦长公式（联立韦达，大题备用） 直线与圆联立消 x，得一元二次方程， 判别式 （三）动直线弦长最值结论（必背） 设点P在圆内，过P作任意直线交圆于A、B 1. 最长弦：直线过圆心，长度 = 直径2r； 2. 最短弦：直线⊥CP（C为圆心），弦长； 3. 定点直线系恒过圆内点时，直线一定与圆相交，无需验证。 （四）圆心角与弦心距转化（高频模型） 设弦AB对应圆心角∠ACB=，，弦心距d： 1. △ACB为直角三角形（）：，； 2. △ACB为等边三角形（）：，； 3. ：； 通用关系：，。 （五）直线恒过定点快速求法 直线含参数m：，分离参数，令参数系数、常数项均为 0，解方程组得定点； 判断定点在圆内：定点到圆心距离，则直线恒相交。 三、四大题型分类 + 标准作答模板 题型一：已知固定弦长，求参数 / 直线方程 通用解题步骤 1. 圆方程配方，写出圆心、半径r； 2. 分两类讨论：①斜率不存在（竖直线）；②斜率存在（点斜式）； 3. 由弦长公式反求弦心距d； 4. 代入点到直线距离公式列方程，解参数\(k、m\)； 5. 检验，舍去增根。 答题关键技巧 竖直线极易遗漏，选择题可直接代入验算，解答题必须分两类书写。 题型二：动直线弦长最值、取值范围 考法 1 过圆内定点，求最长、最短弦 1. 计算圆心C与定点P距离； 2. 最长弦 = 直径2r（直线CP）； 3. 最短弦：直线，代入公式。 考法 2 弦长为整数，求符合条件直线条数 1. 计算弦长取值区间； 2. 区间内普通整数弦长对应 2 条对称直线；直径仅 1 条； 3. 汇总总直线数量。 考法 3 弦长大于 / 小于定值，求斜率范围 1. 由|AB|≥L变形得2，化简d≤； 2. 代入距离公式列绝对值不等式，解斜率区间。 题型三：已知圆心角 / 特殊三角形求参数 固定转化思路 给出为直角 / 等边三角形，直接推导弦心距d； 解题步骤： 1. 根据圆心角写出d与r等量关系； 2. 点到直线距离公式列等式，求解参数； 例：。 题型四：弦长综合大题（面积、双垂直直线） 1. 两条互相垂直动直线截圆，四边形面积； 2. 分别用弦长公式表示两条弦长，构造函数； 3. 利用均值不等式求解面积最大值。 四、高频易错扣分点 1. 只讨论斜率存在，遗漏竖直线，少一组解； 2. 弦长公式运算错误，忘记半弦，直接使用； 3. 长短弦结论记反，误以为过圆心是最短弦； 4. 圆心角配套三角函数混淆； 5. 解距离绝对值方程后不检验，保留增根； 6. 定点判断失误，定点在圆外仍判定恒相交； 7. 联立代数法忘记验证，出现无效解； 8. 配方圆心符号写错，弦心距全程计算错误。 五、北京期中 / 高考应试答题技巧 1. 选择、填空全部使用几何法，不联立韦达，节约计算时间； 2. 题干出现 “圆内一点”，直接套用最长、最短弦模型； 3. 解答题标准得分步骤：配方→分类讨论→求弦心距→列距离方程→检验； 4. 圆心角题型先画图，直角三角形直观推导d； 5. 含参数直线第一步分离参数找定点，快速判断相交； 6. 整数弦条数题目先算取值区间，直径单独计数； 7. 面积综合题分开表示两条垂直弦，均值不等式求最值。 六、题型专项练习 类型一：已知弦长固定值，求参数 / 直线方程 1．（北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知圆C：，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“”是“直线l的方程为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据弦长公式和点到直线的距离公式判断直线方程即可. 【详解】设半径为，圆心到直线的距离为， 则，当时， ， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 则, 当时，， 所以满足使得. 当直线斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离，也满足弦长. 所以当时，直线的方程可能为或 故“”是“直线l的方程为”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（北京市东城区2025-2026学年高二上学期期末样卷数学试题）若直线被圆截得的弦长为6，则的值为______ 【答案】1 【分析】根据题意可得弦长等于直径，直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程求解. 【详解】由题意知圆心坐标为，半径为3，则直径为6， 因为直线被圆截得的弦长为6，所以直线经过圆心， 则，解得， 故答案为：1. 3．（北京市平谷区第五中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆的圆心在轴上，且经过坐标原点和点 (1)求圆的标准方程； (2)设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，由此求出，进而求出圆C的方程. （2）根据垂径定理可得圆心到直线的距离，分斜率存在与斜率不存在时两种情况，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆C的方程为． （2）因为与圆相交所得弦长为， 则圆心到直线的距离， 当斜率存在时，设直线l为，整理得， 则圆心到直线的距离，解得：， 所以直线方程为，整理得； 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 综上，所求直线方程为和. 4．（北京市第十五中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知圆的圆心在轴上，且经过点，. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心，根据圆过已知两点，可确定圆心和半径，可得圆的标准方程. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，分直线存在斜率和不存在斜率，利用点到直线的距离公式，可求直线方程. 【详解】（1）设圆心为，由 ， 所以. 所以圆的方程为：. （2）因为直线与圆相交，弦长为， 所以圆心到直线的距离为：. 如图：    若直线斜率不存在，则：，圆心到的距离为1，故满足题意； 若直线斜率存在，则设：即， 由 . 所以直线：即. 综上，所求直线的方程为：或. 5．（云南省昆明理工大学附属高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷）已知点，直线及圆. (1)求过点的圆的切线方程； (2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，分别求出切线的方程，即可得到答案； （2）由题意得到圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设圆的圆心为， 当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，此时与圆相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则方程为， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，即切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. （2）取的中点，连接，则， 在直角中，，， 所以， 则圆心到直线的距离，解得. 故的值为. 6．（北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的标准方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用待定系数法可求圆的标准方程； (2)利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，可求解直线方程. 【详解】（1）已知三个点，，，设圆的标准方程为，将三个点代入方程得： ，消得：，解得，， 代入可得：， 因此圆的标准方程为：； （2）设直线到圆心的距离为，由弦长公式：， 代入和可解得：， 若直线l斜率不存在，则直线l方程为，此时圆心到直线距离为，舍去； 若直线l斜率存在，则可设直线l方程为，即， 由点到直线距离公式： ，两边平方整理得， 解得或， 因此直线的方程为：或. 7．（广东兴宁市齐昌中学2025-2026学年高二上学期第三次阶段考试数学试卷）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【详解】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 8．（北京理工大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若过点的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出直线PC的方程，再与直线联立求出圆心坐标即可求解作答. （2）求出圆心C到直线l的距离，设出直线l的方程，借助点到直线距离公式计算作答. 【详解】（1）设过点且与直线垂直的直线方程为， 因为点在直线上， 即有，解得，即. 因为圆心C也在直线上， 所以由，解得，则圆心，半径， 所以圆C的方程为. （2）因直线l被圆C截得的弦AB长为6，则圆心C到直线l的距离， 当直线l的斜率不存在时，直线l：， 圆心C到此直线的距离为2，半径，弦长为，符合题意. 当直线l的斜率存在时，设过点的直线斜率为， 则直线方程为，即， 圆心C到此直线的距离，解得，此时直线的方程为. 所以直线l的方程为或. 9．（北京市丰台区2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知圆心为的圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当时，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，求解半径，即可得解， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设圆的半径为， 则圆心到直线的距离， 故圆的方程为. （2）由可得圆心C到直线的距离为. 则圆心到直线的距离为，解得或. 类型二：动直线弦长最值 / 范围问题 1．（北京朝阳垂杨柳中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）过点的直线交圆与、两点，当最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆的一般方程化成标准方程，得到圆心和半径，由题意可得直线过圆心，则能求出直线的斜率，然后利用点斜式方程即可得到答案 【详解】解：把圆的方程化为标准方程为，∴圆心坐标为，半径为， 若要使最大，则直线过圆心，又， 所以，所以直线的方程为即， 故选：． 2．（2021年北京市高考数学试题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 3．（山西省晋城市第一中学2022-2023学年高二上学期第八次联赛数学试题）已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值. 【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得. 故选：C 4．（北京市延庆区2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 5．（北京市西城区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷）过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出过圆心与点的直线的斜率，当直线与垂直时，取得最小值，则可得直线的斜率，则直线的方程可求． 【详解】由题意得圆的标准方程为，则圆心. 过圆心与点的直线的斜率为. 当直线与垂直时，取得最小值， 故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 故选：C． 6．（北京市第一零一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆的弦长确定圆心到直线的距离范围，再结合各选项中曲线的性质，判断直线与曲线是否一定有公共点即可. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则（其中为弦长）， 因为弦长不小于，所以，即， 两边同时平方可得，移项可得，即. 选项A： 抛物线的焦点为，准线方程为， 当直线为时，圆心到直线的距离， 满足，但直线与抛物线无公共点，A错误； 选项B：圆的圆心为，半径为， 当直线为时，直线与圆无公共点，B错误； 选项C：当直线为时，到圆心的距离，满足弦长条件， 将代入双曲线方程，得，， 则方程无实数解，所以直线与双曲线没有公共点，C错误. 选项D：椭圆，原点在椭圆内部，该椭圆上的点到中心距离的范围为 则直线一定过椭圆内部或椭圆上的点， 所以直线与椭圆一定有公共点，D正确. 故选：D. 7．（2025-2026学年第一学期教学质量监控样卷高二数学）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，结合弦长最短时直线，求解即可. 【详解】圆：，配方得. 圆心，半径. 直线：，整理为，故直线恒过点. 经验证，点在圆内，当直线时，弦长最短. 又，所以. 此时直线的方程为，即. 故选：B. 8．（浙江省之江教育评价联盟2022-2023学年高三第二次联考数学试题）已知直线，.若，则的值为___________；若直线与圆交于两点，则___________. 【答案】 -1 .. 【分析】由列式求解值；利用直线系方程求出直线所过定点，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，作出图象，再由垂径定理求． 【详解】解：直线， 若，则，解得； 直线过定点， 化圆为， 可知圆心坐标为，半径为5. 如图，， 则. 故答案为：-1；.    【点睛】本题考查直线的一般方程与直线平行的关系，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法． 9．（北京市第一七一中学2021-2022学年高二上学期数学期中调研试题）过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是______． 【答案】 【分析】由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程. 【详解】解：由得，所以圆的圆心为， 所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得， 所以直线l的方程为，即， 故答案为：. 10．（北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷）直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________. 【答案】0 【分析】由题意可知当直线与过定点的直径垂直时，弦AB最短，通过垂直关系即可求出结果. 【详解】由题得，直线，即， ，解得：， 所以直线过定点， 圆的圆心为，半径为2， 当垂直直线时，弦最短， 此时直线为，则. 故答案为：. 11．（天津市静海区第六中学2024-2025学年高二上学期第三次质量监测数学试卷）直线过点且被圆截得的弦长最短，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】首先判断点在圆内，不妨令，当直线时，直线被圆截得弦长最短，求出，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】圆的圆心为，因为， 所以点在圆内，不妨令， 当直线时，直线过点且被圆截得的弦长最短， 因为，所以，则直线的方程为，即. 故答案为： 12．（【全国百强校】北京市海淀区北京市57中2023学年高二上学期期中考试数学试题）已知点，圆． (1)设，求过点且与圆相切的直线方程． (2)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程． (3)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 【答案】(1)切线方程为或 (2)直线的方程为或 (3)方程为即. 【分析】1）已知直线上一点，设出直线方程，点斜式，再根据直线和圆的位置关系，，解得，求得方程．（2）根据垂径定理，即圆心到直线的距离为，得到结果．（3）首先要分析出来线段最短时直线和圆的位置关系：，故当时，，再根据垂径定理得到直线的斜率． 【详解】（1） 如图所示，此时， 设切线为或， 验证知与题意相符； 当切线为，即时， 圆心到切线的距离 ，解得， 所以，切线方程为或． （2） 如图所示，此时， 设直线为或（舍）， 设弦的中点为，则，， 所以，即圆心到直线的距离为， 于是，解得或， 所以，直线的方程为或． （3） 如图所示，此时， 设所截得的线段为，圆心到直线的距离为，则 ， 即，因为直线过点， 所以圆心到直线的距离为 ，故当时，， 此时，因为，所以， 故直线方程为，即． 13．（湖南省张家界市慈利县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆经过，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，设圆心 且圆为，结合所过的点并应用待定系数法求参数，即可得； （2）首先确定直线所过的定点，再判断点圆位置，结合圆的性质和弦长最短确定所求直线与的位置关系，即可得. 【详解】（1）由题意，设圆心 ，则圆为（为半径）， 则且，解得， 即圆的标准方程为； （2）已知直线过定点，圆心为， 又，即在圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即. 14．（北京市北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，半径是1，直线的方程为，点. (1)若与圆相切，求的值； (2)若经过点A，求直线与圆的交点的坐标； (3)若过点A的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式运算求解； （2）先求直线方程，联立直线与圆的方程求交点坐标； （3）根据题意分析可得，结合点到直线距离公式运算求解. 【详解】（1）圆的方程为. 由题意知，圆心到直线的距离， 解得或. （2）若直线过点A，则，直线的方程为， 联立直线与圆的方程，解得或， 即交点坐标分别为. （3）设直线斜率为，则直线的方程为， 即. 设圆心到直线的距离为，有， 因为，所以， 即，解得， 故的斜率的取值范围. 15．（北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解. 【详解】圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 设直线被圆截得的弦长为， 由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论： 当时，，解得， 当时，，化简得，解得， 当时，，化简得，该方程无解， 当时，，化简得，该方程无解， 而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定， 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 类型三：结合圆心角、特殊三角形求弦长参数 1．（北京一零一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题）若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析出为等腰直角三角形，可得出原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，由此可解得的值. 【详解】圆的圆心为原点，由于且， 所以，为等腰直角三角形，且圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求解参数. 2．（北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（A））若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】画出图形，首先由垂径分线定理算出原点到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】如图所示：    不妨设中点为，因为， 所以由垂径分线定理可知， 由圆的方程可知，， 所以， 即原点到直线的距离为， 解得或. 故选：D. 3．（北京市房山区2024-2025学年高二上学期学业水平调研（二）数学试题）已知圆与直线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程，得圆心坐标和半径，再由，得到圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式，列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为； 且圆与直线交于两点，， 所以为等腰直角三角形，，则， 因此圆心到直线的距离为， 即，解得或； 故选：C 4．（北京市平谷区第五中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知直线与圆：相交于，两点，且为正三角形，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据圆的性质可知圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆：的圆心为，半径， 若为正三角形，则圆心到直线的距离， 可得，解得. 故选：D. 5．（2021-2022学年浙江省杭州高中高二上学期期中数学）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________． 【答案】 【详解】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得. 考点：直线与圆的位置关系，解三角形． 【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径. 6．（【全国区级联考】北京市朝阳区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）若直线与圆相交于，两点，为圆心，且，则的值为_________． 【答案】 【详解】由题意得圆心为半径为． ∵， ∴圆心到直线的距离为， 即，解得． 答案： 7．（北京市清华大学附属中学2022－2023学年高二上学期10月统练数学试题（1））已知直线与圆O：交于A，B两点，若∠AOB=90°，则实数_______． 【答案】 【分析】先由圆的方程得到圆心坐标与半径，由题意求出圆心到直线的距离d，再结合点到直线距离公式，列出方程即可求出结果. 【详解】圆O：的圆心为，半径， 取AB的中点D，连接OD，则， ∵∠AOB=90°，则， 即圆心到直线的距离， 解得. 故答案为：. 8．（北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二上学期数学统练五）已知直线与：交于，两点，且，则______. 【答案】或 【分析】根据题意求出弦心距，再由圆心到直线的距离求解. 【详解】如图， 作于, 由圆知，圆心， 因为，所以, 即， 所以, 即圆心到直线的距离， 解得或， 故答案为：或 9．（北京市大兴区2020-2021学年度高二上学期期末检测试卷数学试题）已知直线：与直线：，. （1）若，求a的值； （2）求证：直线与圆恒有公共点； （3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值. 【答案】（1）； （2）证明：由，令可得，所以直线过定点， 因为显然满足，即点在圆上， 所以直线与圆恒有公共点； （3）. 【分析】（1）根据两直线平行，可直接得出的值； （2）求出直线所过定点在圆上，即可证明结论成立； （3）根据题中条件，由为直角三角形，得到为斜边，且，由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由圆的几何法表示出弦长，列出等量关系求解，即可得出的值. 【详解】（1）因为直线：的斜率为， 又，直线：，所以，则； （2）略 （3）因为圆的圆心为，半径为， 又直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，为直角三角形，所以，则为斜边，且， 又圆心到直线的距离为显然恒成立， 根据圆的性质可得：， 所以，解得. 【点睛】关键点点睛： 求解本题第三问的关键在于根据圆的性质，以及题中条件，确定为的斜边，并得到的长度，再结合点到直线距离公式，以及弦长公式，即可求解. 10．（高中数学解题兵法第八讲运用函数与方程思想解解析几何问题）已知经过点，，且圆心在直线上.又直线l：与相交于P，Q两点. （1）求的方程； （2）过点作直线与l垂直，且直线与交于M，N两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）；（2）7. 【分析】（1）由的中垂线及圆心所在直线得圆心坐标，得半径，从而得圆方程； （2）用斜率k的式子表示弦的长度，同理可得弦的长度，也可用含k的式子表示，结合图形特征得到函数，运用不等式知识求其最大值. 【详解】解：（1）由题设知的圆心既在的中垂线上，又在直线上，易得圆心为原点，半径为2.∴：. （2）设四边形的面积为S，当直线l的斜率时， 则的斜率不存在，此时； 当直线l的斜率时，设：. 联立，得.所以有. 同理可得. ， 因为，所以. 当且仅当时等号成立，所以S的最大值为7. 11．（北京工业大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆心坐标为（2，1）的圆C与y轴相切. (1)求圆C的方程； (2)设直线与圆C交于A，B两点，从条件①，条件②中选择一个作为已知，求m的值. 条件①；条件②：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出圆心和半径，即可得圆的方程；（2）对于①②均可根据垂径定理分析得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：圆C的圆心坐标为，半径为， 故圆C的方程为. （2）若选①：圆心C到直线的距离， 则，解得. 若选②：圆心C到直线的距离， 则，解得. 12．（北京市密云区2024-2025学年高二上学期期末数学试题）已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，由此可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式可求出参数的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）由已知得圆心的坐标为，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得或． 故直线的方程为或． （2）在直角中，因为，所以，则为等腰直角三角形， 因此直线与圆所截的弦长， 所以，圆心到直线的距离为， 显然，当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，设它的方程为，即， 所以， ，解得，则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $